必修四 第三章 三角恒等变换

1、 必修四 第三章 三角恒等变换3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道 ，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式（二）

2、探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。思考1：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦公式： （三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差. 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵

3、活运用.例2、已知，是第三象限角，求的值.解：因为，由此得又因为是第三象限角，所以所以点评：注意角、的象限，也就是符号问题. 思考：本题中没有，呢？（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：解: 2教材P127面1、2、3、4题（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（1）牢记公式（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系（六）作业：习案作业二十九3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切

4、公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式： （2）？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式. 探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除

5、以，得到注意： 5、将、称为和角公式，、称为差角公式。（三）例题讲解例1、已知是第四象限角，求的值.解：因为是第四象限角，得， ，于是有： 思考：在本题中，那么对任意角，此等式成立吗？若成立你能否证明？ 练习：教材P131面1、2、3、4题例2、已知求的值（）例3、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、解：（1）、；（2）、；（3）、练习：教材P131面5题（四）小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，学会灵活运用.（五）作业：习案作业三十。3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）一、教学目标1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公

6、式，体会三角恒等变换特点的过程；2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及类型的变换。二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：（1）基本公式 （2）练习：教材P132面第6题。思考：怎样求类型？（二）新课讲授例1、化简解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.归纳：例2、已知：函数（1） 求的最值。（2）求的周期、单调性。例3已知A、B、C为ABC的三內角，向量，且，（1

7、） 求角A。（2）若，求tanC的值。练习：（1）教材P132面7题 （2）在ABC中，则ABC为（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 （2） （ ） A 0 B2 C D思考：已知，求三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及类型的变换四、作业：习案作业三十一的1、2、3题。3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、教

8、学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， 练习：（1）在ABC中，则ABC为（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 （2） （ ） A 0 B2 C D思考：已知，求我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），（二）公式推导：；思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；注意： （三）例题讲解例1、已知求的值解：由得又因为于是；例2在ABC中，例3已知求的值解：，由此得解得或例4已知（四）练习：教材P135面1、2、3、4、5题（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过

9、程中要善于发现规律，学会灵活运用.（六）作业：习案作业三十二。3.2简单的三角恒等变换（一）一教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已

10、有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台 例1、试以表示解：我们可以通过二倍角和来做此题因为，可以得到；因

11、为，可以得到又因为思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点例2已知，且在第三象限，求的值。例3、求证：（）、；（）、证明：（）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手；两式相加得；即；（）由（）得；设，那么把的值代入式中得思考：在例3证明中用到哪些数学思想？例3证明中用到换元思想，（）式是积化和差的形式，（）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还

12、有六个关于积化和差、和差化积的公式三练习：P142面1、2、3题。四小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用五作业：习案三十三。3.2简单的三角恒等变换（二）一、教学目标1、通过三角恒等变形，形如的函数转化为的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。二、教学重点与难点重点：三角恒等变形的应用。难点：三角恒等变形。三、教学过程（一）复习：二倍角公式。（二）典型例题分析例1： ；解：（1）由得（2）例2解： .例已知函数（1） 求的最小正周期，（2）当时，求的最小值及取得最小值时的集合点评：例是三角恒等变换在数学中应用的

13、举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用例4若函数上的最大值为6，求常数m的值及此函数当时的最小值及取得最小值时的集合。（三）练习：教材P142面第4题。（四）小结：(1) 二倍角公式：(2)二倍角变式：(3)三角变形技巧和代数变形技巧常见的三角变形技巧有切割化弦；“1”的变用；统一角度，统一函数，统一形式等等（五）作业：习案作业三十四3.2简单的三角恒等变换（三）教学目标（一） 知识与技能目标熟练掌握三角公式及其变形公式（二） 过程与能力目标抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题（三） 情感与态度目标培养学生观察、分析、解决问题的能

14、力教学重点和、差、倍角公式的灵活应用教学难点如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明教学过程例1：教材P141面例4例1. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记COPa，求当角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.例2：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）解：（1）如图，设矩形长为l，则面积，所以当且仅当即时，取得最大值，此时S取得最大值，矩形的宽为即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为，矩形长与宽分别为

15、、，所以面积.而，所以，当且仅当时，S取最大值，所以当且仅当即时， S取最大值，此时矩形为内接正方形.变式：已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值PQRSO解：设则故S四边形PQRS故为时，课堂小结 建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.课后作业 1. 阅读教材P.139到P.142; 2. 习案作业三十五.第一章三角函数复习(一)教学目的【过程与方法】一、知识结构：二、知识要点：1. 角的概念的推广：(1) 正角、负角、零角的概念：(2) 终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合： 象限角的集合：

16、第一象限角集合为： ；第二象限角集合为： ；第三象限角集合为： ；第四象限角集合为： ； 轴线角的集合：终边在x轴非负半轴角的集合为： ；终边在x轴非正半轴角的集合为： ；故终边在x轴上角的集合为： ；终边在y轴非负半轴角的集合为： ；终边在y轴非正半轴角的集合为： ；故终边在y轴上角的集合为： ；终边在坐标轴上的角的集合为： .2. 弧度制：我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制. 在弧度制下，1弧度记做1rad. (1) 角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度： 将弧度化为角度： (2) 把上述象限角和轴线角用弧度表示.(3) 上述象限角和轴

17、线角用弧度表示：3. 任意角的三角函数： (2) 判断各三角函数在各象限的符号：(3) 三角函数线：4. 同角三角函数基本关系式： (1) 平方关系： (2) 商数关系：5. 诱导公式诱导公式(一)诱导公式(二)诱导公式(三)诱导公式(四)sin(pa)=sina cos(p a)=cosa tan (pa)=tana诱导公式(五)对于五组诱导公式的理解 ：函数名不变，符号看象限3. 利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤：三、基础训练：四、典型例题： 例3. 五、课堂小结1. 任意角的三角函数；2. 同角三角函数的关系；3. 诱导公式.六、课后作业1. 阅读教材P.67-P

18、.68；2. 习案作业十六中1至6题. 第二章 平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4. 了解向量形式的三角形不等式：|-|±|+|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|+|)=|+|+|.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=|cos=

19、xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直三、教学过程（一）重点知识： 1. 实数与向量的积的运算律：2. 平面向量数量积的运算律: 3. 向量运算及平行与垂直的判定:则 4. 两点间的距离: 5. 夹角公式:6. 求模： （二）习题讲解：习案P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题， P171面1

20、、2、3题，P172面5题，P173面6题。（三）典型例题例1 已知O为ABC内部一点，AOB=150°，BOC=90°，设=，=，=，且|=2，|=1，| |=3，用与表示 解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= , =， =-3所以-3=3+|即=33（四）基础练习：习案P178面6题、P180面3题。 （五）、小结：掌握向量的相关知识。（六）作业：习案作业

21、二十七。第二章 平面向量复习课（二）一、教学过程（一）习题讲解：习案P173面6题。（二）典型例题例1已知圆C：及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且，求点N的轨迹方程。练习：1. 已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=· （x，yR） 求点P（x，y）的轨迹方程；2. 已知常数a>0，向量，经过定点A（0，a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中.求点P的轨迹C的方程；例2.设平面内的向量, , ，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及ÐAPB的余弦值解 设

22、 点P在直线OM上， 与共线，而， x2y=0即x=2y，有 ， = 5y220y+12= 5(y2)28 从而，当且仅当y=2，x=4时，取得最小值8，此时，于是， 小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。作业：习案作业二十八。第三章 三角恒等变换复习（一）教学目标：1. 通过对本章的知识的复习、总结，使学生对本章形成一个知识框架网络.2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式.教学重点：运用公式求值、证明恒等式.教学难点：证明恒等式教学过程一、基础知识复习（略）二、作业讲评习案作业三十五中的第5、6题.三、已知三角函数值求三角函数值四、证明恒等式五、课堂小结1. 给值求角时，先要求所求角的某一三角函数值，