江苏省苏州市常熟市2016届高三(上)期中数学试卷(解析版)

1、2015-2016学年江苏省苏州市常熟市高三（上）期中数学试卷一、填空题：1设集合A=x|1x2，B=x|0x4，则AB=2函数y=ln（x2x2）的定义域是3已知sin=，（，），则tan=4定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=2xx2，则f（1）+f（0）+f（3）=5函数y=sinxcosx2（x0）的值域是6等差数列an中，前n项和为Sn，若S4=8a1，a4=4+a2，则S10=7设函数f（x）=，若f（a）f（1），则实数a的取值范围是8等比数列an的公比大于1，a5a1=15，a4a2=6，则a3=9将函数y=sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位后，得到函数f（

2、x）的图象，若函数f（x）是偶函数，则的值等于10已知函数f（x）=ax+（b0）的图象在点P（1，f（1）处的切线与直线x+2y1=0垂直，且函数f（x）在区间，+）上是单调递增，则b的最大值等于11已知f（m）=（3m1）a+b2m，当m0，1时，f（m）1恒成立，则a+b的最大值是12在ABC中，若tanA=2tanB，a2b2=c，则c=13已知x+y=1，x0，y0，则+的最小值为14设f（x）和g（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f（x）g（x）0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反若函数f（x）=x32ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）

3、上单调性相反（a0），则ba的最大值为二、解答题：15已知函数f（x）=2cos（cossin）（0）的最小正周期为2（1）求函数f（x）的表达式；（2）设（0，），且f（）=+，求cos的值16设数列an的前n项和为Sn，满足2Sn=an+12n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列（1）求a1，a2的值；（2）求证：an+2n是等比数列并求数列an的通项公式17已知函数f（x）=x22ax+1（1）若函数g（x）=logaf（x）+a（a0，a1）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当x0时，恒有不等式lnx成立，求实数a的取值范围18如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅

4、游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10千米公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A，B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元设CDA=，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元（1）写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？19设函数f（x）=x|x1|+m，g（x）=lnx（1）当m1时，求函数y=f（x）在0，m上的最大值；（2）记函数p（x）=f（x）g（x），若函数p

5、（x）有零点，求m的取值范围20已知数列an的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列an的前n项和，a1=1，a2=2（1）若S5=16，a4=a5，求a10；（2）已知S15=15a8，且对任意nN*，有anan+1恒成立，求证：数列an是等差数列；（3）若d1=3d2（d10），且存在正整数m、n（mn），使得am=an求当d1最大时，数列an的通项公式2015-2016学年江苏省苏州市常熟市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1设集合A=x|1x2，B=x|0x4，则AB=x|0x2【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】由题意通过数轴直

6、接求出A和B两个集合的公共部分，通过数轴求出就是AB即可【解答】解：集合A=x|1x2，B=x|0x4，所以AB=x|1x2x|0x4=x|0x2故答案为：x|0x2【点评】本题是基础题，考查集合间的交集及其运算，考查观察能力，计算能力2函数y=ln（x2x2）的定义域是（，1）（2，+）【考点】对数函数的定义域【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】根据对数函数的定义，真数大于0，列出不等式，求出解集即可【解答】解：函数y=ln（x2x2），x2x20，即（x+1）（x2）0，解得x1，或x2；函数y的定义域是（，1）（2，+）故答案为：（，1）（2，+）【点评】本题考查了对数函

7、数的定义与不等式的解法和应用问题，是基础题目3已知sin=，（，），则tan=【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tan的值【解答】解：sin=，（，），cos=，则tan=，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题4定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=2xx2，则f（1）+f（0）+f（3）=2【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】根据奇函数f（x），当x0时，f（x）=2xx2，先求出f（1），f（0），f（3），进而求出f（1），相加可得答案【解答】解：定义在

8、R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=2xx2，f（1）=1，f（0）=0，f（3）=1，f（1）=1，f（1）+f（0）+f（3）=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题5函数y=sinxcosx2（x0）的值域是4，0【考点】两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数的值域【解答】解：函数y=sinxcosx2=2sin（x）2 的值域为4，0，故答案为：4，0【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题6等差数列an中，前n项和为Sn

9、，若S4=8a1，a4=4+a2，则S10=120【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入等差数列的求和公式可得【解答】解：设等差数列an的公差为d，S4=8a1，a4=4+a2，4a1+d=8a1，a1+3d=4+a1+d，联立解得a1=3，d=2S10=10×3+×2=120故答案为：120【点评】本题考查等差数列的求和公式，求出数列的公差d是解决问题的关键，属基础题7设函数f（x）=，若f（a）f（1），则实数a的取值范围是a1或a1【考点】其他不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】把不等式转化为两

10、个不等式组，解不等式组可得【解答】解：由题意可得f（1）=214=2，f（a）f（1）可化为或，分别解不等式组可得a1或a1故答案为：a1或a1【点评】本题考查分段不等式的解法，转化为不等式组是解决问题的关键，属基础题8等比数列an的公比大于1，a5a1=15，a4a2=6，则a3=4【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等比数列的通项公式为an=a1qn1求出a1和q得到通项公式即可求出a3【解答】解：等比数列的通项公式为an=a1qn1由a5a1=15，a4a2=6得：a1q4a1=15，a1q3a1q=6解得：q=2或q=则a3=a1q2=4或4等比数列an的公

11、比大于1，则a3=a1q2=4故答案为4【点评】考查学生利用等比数列性质的能力9将函数y=sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位后，得到函数f（x）的图象，若函数f（x）是偶函数，则的值等于【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得的值【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位后，得到函数f（x）=sin2（x）+=sin（2x2+）的图象，若函数f（x）是偶函数，则2+=k+，即 =，kZ，=，故答案为：【点评】本题主要考查函数y=Asin（x

12、+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题10已知函数f（x）=ax+（b0）的图象在点P（1，f（1）处的切线与直线x+2y1=0垂直，且函数f（x）在区间，+）上是单调递增，则b的最大值等于【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得ab=2，再由题意可得a0在区间，+）上恒成立，即有x2的最小值，解b的不等式即可得到最大值【解答】解：函数f（x）=ax+（b0）的导数为f（x）=a，在点P（1，f（1）处的切线斜率为k=ab，由切线与直线x+2y1=

13、0垂直，可得k=ab=2，即a=b+2，由函数f（x）在区间，+）上是单调递增，可得a0在区间，+）上恒成立，即有x2的最小值，由x可得x2的最小值为即有，由b0，可得b则b的最大值为故答案为：【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查两直线垂直的条件和不等式恒成立恒成立问题的解法，属于中档题11已知f（m）=（3m1）a+b2m，当m0，1时，f（m）1恒成立，则a+b的最大值是【考点】函数恒成立问题【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】把已知函数解析式变形，结合当m0，1时，f（m）1恒成立，得到关于a，b的约束条件，然后利用线性规划知识求得a+b的最大值【解答】

14、解：f（m）=（3m1）a+b2m=（3a2）ma+b，当m0，1时，f（m）1恒成立，即画出可行域如图，联立，解得A（），令z=a+b，化为b=a+z，由图可知，当直线b=a+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故答案为：【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题12在ABC中，若tanA=2tanB，a2b2=c，则c=1【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用【专题】解三角形【分析】由tanA=2tanB，可得，利用正弦定理可得：acosB=2bcosA，由余弦定理化简整理可得：a2b2=c2，结合a2b2=c，即可解得c

15、的值【解答】解：tanA=2tanB，可得：，利用正弦定理可得：acosB=2bcosA，由余弦定理可得：a×=2b×，整理可得：a2b2=c2，又a2b2=c，c=c2，解得：c=1故答案为：1【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查13已知x+y=1，x0，y0，则+的最小值为【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】消元可得+=1+，然后换元令3x+2=t，x=（t2），代入要求的式子由基本不等式可得【解答】解：x+y=1，x0，y0，y=1x+=+=1+，令3x+2=t，

16、则t（2，5）且x=（t2），1+=1+=1+=1+，由基本不等式可得2t=2（t+）22=16，当且仅当t=即t=3x+2=4即x=时取等号，2t+204，1+，故答案为：【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及消元和换元的思想，属中档题14设f（x）和g（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f（x）g（x）0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反若函数f（x）=x32ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a0），则ba的最大值为【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】由条件知g（x）0恒成立，得f（x）0恒成立，从而求出a

17、、b的取值范围，建立ba的表达式，求出最大值【解答】解：f（x）=x32ax，g（x）=x2+2bx，f（x）=x22a，g（x）=2x+2b；由题意得f（x）g（x）0在（a，b）上恒成立，a0，ba0，2x+2b0恒成立，x22a0恒成立，即x；又0axb，b，即0a，解得0a2；baa=+，当a=时，取“=”，ba的最大值为故答案为：【点评】本题考查了利用导数判定函数的单调性问题，也考查了不等式的解法问题，是易错题二、解答题：15已知函数f（x）=2cos（cossin）（0）的最小正周期为2（1）求函数f（x）的表达式；（2）设（0，），且f（）=+，求cos的值【考点】三角函数中的恒

18、等变换应用；正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）把已知的函数解析式变形，结合其最小正周期求出，则函数解析式可求；（2）把f（）=+代入函数解析式求得，结合的范围得到cos（），再由cos=cos展开两角和的余弦得答案【解答】解：（1）f（x）=2cos（cossin）=f（x）的最小正周期为2，=1，f（x）=；（2）f（）=+，（0，），（），则cos（）=则cos=cos=cos（）cossin（）sin=【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查了三角恒等变换中的应用，是基础的计算题16设数列an的前n项和为Sn，满足2Sn=an+12n+1+1，且a1，a2+5，a

19、3成等差数列（1）求a1，a2的值；（2）求证：an+2n是等比数列并求数列an的通项公式【考点】等比数列的通项公式；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由已知得a1+a3=2（a2+5），2a1=a23，2（a1+a2）=a37，由此能求出a1，a2的值（2）由2Sn=an+12n+1+1，得2Sn1=an2n+1，（n2），两式相减整理得an+2n是首项为3，公比为3的等比数列由此能求出an=3n2n【解答】（1）解：数列an的前n项和为Sn，满足2Sn=an+12n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列，a1+a3=2（a2+5），当n=1时，2a1=a23，当n=

20、2时，2（a1+a2）=a37，联立解得，a1=1，a2=5，a3=19（2）证明：由2Sn=an+12n+1+1，得2Sn1=an2n+1，（n2），两式相减得2an=an+1an2n（n2），=3（n2）=3，an+2n是首项为3，公比为3的等比数列an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，an+2n=3n，即an=3n2n【点评】本题考查数列中前两项的求法，考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用17已知函数f（x）=x22ax+1（1）若函数g（x）=logaf（x）+a（a0，a1）的定义域为R，求实数a的

21、取值范围；（2）当x0时，恒有不等式lnx成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）由题可知x22ax+1+a0在R上恒成立，利用二次函数的性质可得a的范围；（2）整理不等式得x+lnx2a，构造函数f（x）=x+lnx，利用导数求出函数的最小值即可【解答】（1）由题意可知，x22ax+1+a0在R上恒成立，=4a244a0，0a，且a1；（2）lnx，x+lnx2a，令f（x）=x+lnx，f'（x）=+1，令f'（x）=+1=0，x=，x（，+）时，f'（x）0，f（x）递增；x（0，）时，f

22、'（x）0，f（x）递减；f（x）f（）=ln，a（ln）【点评】考查了对数函数，二次函数的性质和恒成立问题的转换难点是利用导函数求出构造函数的最小值18如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10千米公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A，B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元设CDA=，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元（1）写出S关于的函数表达式，并指

23、出的取值范围；（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？【考点】在实际问题中建立三角函数模型【专题】应用题；导数的综合应用【分析】（1）由题在ACD中，由余弦定理求得CD、AD的值，即可求得运输成本S的解析式（2）利用导数求得cos=时，函数S取得极小值，由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值【解答】解：（1）由题在ACD中，CAD=ABC=ACB=，CDA=，ACD=又AB=BC=CA=10，ACD中，由正弦定理知，得CD=，AD=S=8AD+16BD+24CD=+160=40+120（）（2）S=40×，令S=0，得cos=当cos时，S0；当cos时，S0，当cos=时S取得最

24、小值此时，sin=，AD=5+，中转站距A处5+千米时，运输成本S最小【点评】本题主要考查正弦定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求极值，属于中档题19设函数f（x）=x|x1|+m，g（x）=lnx（1）当m1时，求函数y=f（x）在0，m上的最大值；（2）记函数p（x）=f（x）g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理【专题】计算题；压轴题【分析】（1）化简函数f（x）的解析式，分别在0，1和（1，m上求函数的最大值（2）函数有零点即对应方程有解，得到m的解析式m=h（x），通过导数符号确定h（x）=lnxx|x1|的单调性

25、，由h（x）的单调性确定h（x）的取值范围，即得m的取值范围【解答】解：（1）当x0，1时，f（x）=x（1x）+m=当时，当x（1，m时，f（x）=x（x1）+m=函数y=f（x）在（1，m上单调递增，f（x）max=f（m）=m2由得：又m1当时，f（x）max=m2；当时，（2）函数p（x）有零点即方程f（x）g（x）=x|x1|lnx+m=0有解，即m=lnxx|x1|有解令h（x）=lnxx|x1|，当x（0，1时，h（x）=x2x+lnx函数h（x）在（0，1上是增函数，h（x）h（1）=0当x（1，+）时，h（x）=x2+x+lnx=0函数h（x）在（1，+）上是减函数，h（x）h（1）=0方程m=lnxx|x1|有解时，m0，即函数p（x）有零点时m0【点评】本题考查用分类讨论的方法求函数最大值，利用导数求函数值域，及化归与转化的思想方法20已知数列an的奇数项是公差为d1的等差数列