上海大学通信原理教材配套课件

1、第第2 2章章 预备基础知识预备基础知识 信号的频谱分析信号的频谱分析 信号能量和功率信号能量和功率 卷积和相关卷积和相关 信号带宽信号带宽 希尔伯特变换希尔伯特变换本章主要内容本章主要内容 (参考学时为2学时) 掌握信号傅立叶变换、卷积、相关和带宽的掌握信号傅立叶变换、卷积、相关和带宽的 概念和分析方法概念和分析方法 理解信号能量与功率的概念和关系理解信号能量与功率的概念和关系 了解希尔伯特变换的方法和意义了解希尔伯特变换的方法和意义本章要求本章要求信号傅里叶变换信号傅里叶变换信号能量与能量谱密度信号能量与能量谱密度信号功率与功率谱密度信号功率与功率谱密度信号卷积积分与相关函数信号卷积积分与

2、相关函数信号带宽信号带宽希尔伯特变换希尔伯特变换 知识要点知识要点2.2 2.2 信号的频谱分析信号的频谱分析 2.2.1 2.2.1 傅里叶级数傅里叶级数 信号信号 展为傅里叶级数必须满足的条件：展为傅里叶级数必须满足的条件： （1） 是周期为 的周期函数 （2） 在区间 上绝对可积)(tf)(tf)(tf)(tf)(tf0T)(tf2200TT， 傅里叶级数的二种表示形式傅里叶级数的二种表示形式 （1）傅里叶级数的三角级数表示形式 1000)sincos(2)(nnntnbtnaatf2200TtT或100)cos(2)(nnntnAAtf2200TtT式中:220000cos)(1TTn

3、tdtntfTa，210n 220000sin)(1TTntdtntfTb， 21n 002T 00aA 22nnnbaAnnnabarctg （2）傅立叶级数的复指数形式 ntjnneCtf0)(2200TtT 式中:220000)(1TTtjnndtetfTC210，n 把周期函数的频率 作为基本频率，用具有整数倍频率的正弦波成份对 进行分解。因此, 的成份称为基波， 的成份称为高次谐波， 的成份是直流成份。 确定了周期性信号 的第 次谐波分量的幅度，故由 与频率关系波形可得到信号 的离散幅度频谱。 信号信号 用傅里叶级数表示的意义：用傅里叶级数表示的意义： )(tf002 T)(tf1n

4、1n0nnC)(tfnnC)(tf 2.2.2 2.2.2 傅里叶变换傅里叶变换 函数函数 存在傅里叶变换的条件：存在傅里叶变换的条件： （1） ； （2） 在 内分段光滑，即导数 只有第一类间断点。 )(tf)(tfdttf)()(tf， 傅里叶变换傅里叶变换 的傅里叶变换 的傅里叶反变换 记作 )(tf dtetftfFFtj)()()( )(FdeFFFtftj)(21)()(1deFFFtftj)(21)()(1deFFFtftj)(21)()(1)()(Ftf 提供了信号在频率域和时间域之间的相互变换关系。通常把 称为 的频谱密度，简称频谱。 傅里叶变换的意义傅里叶变换的意义)(F)

5、(tf 傅里叶变换的常用特性傅里叶变换的常用特性 平移特性： 微分特性： 对称特性： 0)()(0tjeFttfFtjetfFF0)()(01)()()(FjdttfdFnnn)()()(1tfjtdFdFnnn)(2)(ftFF 卷积特性： 式中： 积分特性： )()()()()()(212121FFtfFtfFtftfF)()()()()()(212121FFtfFtfFtftfF)()(21)()(2121FFtftfFdftfdtfftftf)()()()()()(212121)()0()(1)(FFjdfFt 2.2.3 2.2.3 常用信号的频谱常用信号的频谱 周期矩形脉冲信号的频

6、谱周期矩形脉冲信号的频谱 方法一：采用傅里叶级数表示 时域波形时域波形)(tf图图2.2.1周期矩形脉冲波形周期矩形脉冲波形0-T0T0At22 傅里叶级数表达式傅里叶级数表达式 ntjneTnSaTAtf0)()(00复指数形式复指数形式 三角级数形式三角级数形式 tnTnSaTATAtfn00100cos)(2)( 讨论讨论 210T为偶数，为奇数，nnnSa07252322)2(1.当 时， 所以)7cos715cos513cos31(cos221)(0000ttttAtf 周期矩形脉冲信号的频谱图周期矩形脉冲信号的频谱图 图2.2.2（a） 的周期矩形脉冲频谱00TAnC0705030

7、0030507210T2.当 时，周期矩形脉冲信号的频谱图 510T图2.2.2（b） 的周期矩形脉冲频谱00TAnC01005020205010510T（1）周期信号的频谱是离散的；（2）若脉冲宽度较宽，相应的频谱宽度就较窄；若 脉冲宽度较窄，对应的频谱宽度就较宽。即时 域的压缩对应着频谱的展宽，说明提高传信是 以牺牲频带宽度为代价的。 结论结论 方法二：对周期信号 的傅里叶级数 表达式取傅里叶变换)(tf周期信号周期信号 的傅里叶变换的傅里叶变换)(tf)(2)()(00nCeCFtfFFnnntjnn周期矩形脉冲信号的傅里叶变换周期矩形脉冲信号的傅里叶变换 )()(2)(000nTnSa

8、TAFn（2.2-28） 结论结论 （1）周期信号的傅里叶变换由发生在原信号基波 频率整数倍（谐波）频率处的冲激所组成；（2）由（2.2-28）式画出的 频谱与图2.2.2 是一致的。)(tf 门函数的频谱门函数的频谱 时域表达式时域表达式 2,2,0)(ttAtg（2.2-29） 傅里叶变换傅里叶变换 )2()()()(22SaAdtAedtetgFtgtjtj 时域波形和频谱图时域波形和频谱图 A（b） 门函数的频谱门函数的频谱图图2.2.3门函数及其频谱门函数及其频谱0t0（a） 门函数门函数22A)(F22)(tg（1）非周期信号的频谱是连续的； （2）门函数 的第一零点频带宽度为 （

9、Hz），因此脉冲宽度越窄，信号的频带宽 度越宽。 结论结论 )(tg1B 单位冲激函数的频谱单位冲激函数的频谱 单位冲激函数的单位冲激函数的时域表达式时域表达式 单位冲激函数的傅里叶变换单位冲激函数的傅里叶变换 0,0,0)( ttt1)()()(dtetttj单位冲激函数的单位冲激函数的波形和频谱图波形和频谱图 01t0（a a） 单位冲激函数单位冲激函数（b b） 单位冲激函数的频谱单位冲激函数的频谱图图.4单位冲激函数及其频谱单位冲激函数及其频谱)(F)(t结论结论 ： 的能量均匀分布在整个频率域。 )(t 周期周期冲激序列的冲激序列的频谱频谱 时域表达式时域表达式 nT

10、nTtt)()(0 傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式ntjnTeTt001)( 傅里叶变换傅里叶变换nTTnTt)(2)()(00 时域波形和频谱特性图时域波形和频谱特性图图图2.2.5 2.2.5 周期冲激序列及其频谱周期冲激序列及其频谱（a a） 周期冲激序列周期冲激序列0t0（b b） 周期冲激序列频谱周期冲激序列频谱 )(T)(tT02T02T0202 结论结论 时域内的一个周期冲激序列，其傅里叶变换在 频率域内也是一个周期冲激序列，但冲激强度增加 倍 02T2.3 2.3 能量和功率能量和功率 什么是能量信号？什么是能量信号？ 在所有时间上的能量不为零且有限 的信号称为能量信号。 例

11、如：非周期的确定信号是能量信号,平均功率为零。 )0 (E 什么是功率信号？什么是功率信号？ 具有功率不为零且有限 的信号称为功率信号。 例如：周期信号是功率信号，随机信号也是能量无限的功率信号。 )0( P 2.3.1 2.3.1 信号能量与能量谱密度信号能量与能量谱密度 求能量信号求能量信号 的总能量的总能量 时域表示：时域表示： 频域表示：频域表示： )(tfdttfE2)(dSE)(21dSE)(21 称 为 的能量密度频谱函数，简称能量谱密度。它表示信号能量在频域中的分布状况。 如何求得 ？)(S)(tf)(S)()(FtfdFdttfE22)(21)(设 ，则有： 上式称为非周期能

12、量信号的帕什瓦尔能量定理，也称能量等式。由此得到 与 的关系式：)(S)(F2)()(FS 求功率信号求功率信号 的功率的功率 瞬时功率瞬时功率： 在一个周期内的平均功率（简称功率）：在一个周期内的平均功率（简称功率）： 2.3.2 2.3.2 信号功率与功率谱密度信号功率与功率谱密度 )(tf2)(tfp nnTTCdttfTP2222000)(1 上式称为帕什瓦尔功率定理。它表明一个周期信号的平均功率等于此信号所包含的各个谐波分量幅度平方之和。 求功率信号求功率信号 的功率谱密度的功率谱密度)(tf)(G周期信号的功率谱密度：周期信号的功率谱密度： nnnCG)(2)(02 是频率的离散函

13、数，它表示了各频率分量的相对功率大小。 )(G利用冲激函数的抽样特性，信号平均功率还可表示成： 0)(1)(21dGdGP非周期信号的功率谱密度的极限表达式：非周期信号的功率谱密度的极限表达式： 2)(1lim)(TTFTG 是非周期功率信号 的截短函数 的傅里叶变换。 )(TF)(tf)(tfT2.4 2.4 卷积和相关卷积和相关 2.4.1 2.4.1 卷积积分卷积积分 函数函数 与与 的卷积定义的卷积定义)(1tf)(2tfdtfftf)()()(21记作)()()(21tftftf 卷积定理卷积定理时域卷积定理时域卷积定理)()(11Ftf设)()(22Ftf)()()()(2121F

14、Ftftf则表明：时域中两个信号的卷积等效于频域中它们 各自傅氏变换的乘积。 频域卷积定理频域卷积定理)()(21)()(2121FFtftf表明：时域中两个信号相乘等效于频域中它们各自 傅氏变换的卷积。 一个重要运算结果一个重要运算结果 )()()()()(tfdtfttf可推广得到：可推广得到： )()()(TtfTttf)()()(2121tttfttttf)()()(2121ttttttt 2.3.2 2.3.2 相关函数相关函数 互相关函数互相关函数 用来表征两个不同的信号波形在不同时刻用来表征两个不同的信号波形在不同时刻的的 相互关联或相似程度。相互关联或相似程度。 非周期功率信号

15、非周期功率信号 和和 的互相关函数的互相关函数 )(1tf)(2tf222112)()(1lim)(TTTTTdttftfTR 和和 分别为分别为 和和 的截短函数的截短函数 )(1tfT)(2tfT)(1tf)(2tf意义：如果对任何 值，有 ，则信号 和 是不相关的；反之，相关函数值越大， 说明这两个信号波形的关联性越大。 0)(12R)(1tf)(2tf 周期性功率信号周期性功率信号 和和 的互相关函数的互相关函数 )(1tf)(2tf222101200)()(1)(TTdttftfTR非周期能量信号非周期能量信号 和和 的互相关函数为的互相关函数为 )(1tf)(2tfdttftfR)

16、()()(2112注意： 和 的互相关函数 与 和 的互相关函数 一般是不相等的。 )(2tf)(1tf)(21R)(1tf)(2tf)(21R 自相关函数自相关函数 非周期功率信号的自相关函数非周期功率信号的自相关函数 22)()(1lim)(TTTTTdttftfTR 周期性功率信号的自相关函数周期性功率信号的自相关函数 22000)()(1)(TTdttftfTR 非周期能量信号的自相关函数非周期能量信号的自相关函数 dttftfR)()()(自相关函数定义自相关函数性质（1）当 时： 对非周期的功率信号，有 0PdttfTRTTTT222)(1lim)0(对周期性的功率信号，有 Pdt

17、tfTRTT222000)(1)0(结论：功率信号的自相关函数（ ）等于该 信号的平均功率。 0对非周期的能量信号，有 EdttfR2)()0(结论：能量信号的自相关函数（ ）等于该 信号的能量。 0（2） ，即自相关函数在原点有最大值； )()0(RR（3） ，即自相关函数 具有共轭 对称性。若 为实函数，则 是位移 的偶函数； )()(RR)(R)(R)(tf（4）功率信号 的自相关函数 与功率谱密 度 是一对傅里叶变换对；能量信号 的自相关函数 与能量谱密度 是一对 傅立叶变换对。即 )(tf)(tf)(R)(G)(R)(S 对非周期功率信号 2)(1lim)()(TTFTGR上式称为维

18、纳辛钦定理 对周期性功率信号 )(2)()(02nCGRnn对能量信号 2)()()(FSR上述式子表明：自相关函数只与信号的幅度谱有关，而与信号的相位谱 无关。 )(2.5 2.5 信号带宽信号带宽- -有效范围有效范围 以集中一定百分比的能量（功率）来定义带宽以集中一定百分比的能量（功率）来定义带宽 常用的信号带宽定义方式：常用的信号带宽定义方式： 对能量信号对能量信号 EdfFB02)(2对于功率信号对于功率信号 PdfTFBTT02)(lim2这里百分比 可以取90%、95%或99%等 半功率带宽半功率带宽 定义信号能量（功率）谱密度下降3dB对应的频率间隔为其带宽。对峰值位于对峰值位

19、于 处的信号，其带宽可定义为处的信号，其带宽可定义为 0f)0(21)2(1SfS)0(21)2(1GfG或或0.510图2.5.1信号的半功率带宽1f1ff)()(GS或1fB )0(2)(GdfGB 第一零点带宽第一零点带宽 适合适合矩形脉冲信号。取其频谱主峰的宽度 作为其带宽，即 A（b） 门函数的频谱门函数的频谱图图2.2.3门函数及其频谱门函数及其频谱0t0（a） 门函数门函数22A)(F22)(tg11B 等效矩形带宽等效矩形带宽 用一个矩形的频谱代替信号的频谱，两者最大幅度相同、能量相等。定义式为 ) 0(2)(SdfSB)0(2)(GdfGB或或0图2.5.2信号的等效矩形带宽)()(GS或)0()0(GS或fBB2.6 2.6 希尔伯特变换希尔伯特变换 希尔伯特变换定义希尔伯特变换定义信号信号 的希尔伯特变换的希尔伯特变换 )(tfdtftfHtf)(1)()( 的希尔伯