高三(物理)江苏省南京师范大学附属中学2017届高三物理自主招生辅导讲义2-电路

1、电路一、电路的基本知识 【例1】为了使一圆柱形导体棒电阻不随温度变化，可将两根截面积相同的碳棒和铁棒串联起来，已知碳的电阻率为，电阻率温度系数，而铁，求这两棒的长度之比是多少？解： 各种材料的长度和截面积都会随温度变化而变化，但它们电阻率的变化比线度的变化要明显得多（一般相差两个数量级），因此可以忽略线度的变化。将代入，得式中为材料0时电阻将碳棒和铁棒串联，总电阻为要R不随温度变化，必须有由，可知截面积相同的两棒长度之比为 二、纯电阻电路的简化和等效在复杂电路中，当导体间串、并联的组合关系不很规则时，要进行电路的简化，简化电路方法较多，这里介绍几种常用的方法： 1分支法：【例2】画出图(甲)的

2、等效电路。【解析】第一支线：以A经电阻R1到B(原则上以最简便直观的支路为第一支线) 第二支线：以A经由电阻R2到C到B 第三支线：以A经电阻R3到D再经R4到B 以上三支线并联，且C、D间接有S简化图(乙)所示2等势缩点法：将电路中电势相等的点缩为一点，是电路简化的途径之一。至于哪些点的电势相等，则需要具体问题具体分析【例3】在图甲所示的电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A、B两端的等效电阻RAB 。【模型分析】这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图对

3、于图8-4的乙图，求RAB就容易了。【答案】RAB = R 。【例4】在图甲所示的电路中，R1 = 1 ，R2 = 4 ，R3 = 3 ，R4 = 12 ，R5 = 10 ，试求A、B两端的等效电阻RAB 。【模型分析】这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，C、D两点的电势有什么关系？学员判断结论：相等。因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙对于图8-5的乙图，求RAB是非常容易的。事实上，只要满足=的关系，我们把桥式电路称为“平衡电桥”。【答案】RAB = 。相关介绍英国物理学家惠斯登曾将图8-5中的R5换成灵敏电流计，将R1 、R2中

4、的某一个电阻换成待测电阻、将R3 、R4换成带触头的电阻丝，通过调节触头P的位置，观察电流计示数为零来测量带测电阻Rx的值，这种测量电阻的方案几乎没有系统误差，历史上称之为“惠斯登电桥”。请参照图8-6思考惠斯登电桥测量电阻的原理，并写出Rx的表达式（触头两端的电阻丝长度LAC和LCB是可以通过设置好的标尺读出的）。【答案】Rx =R0 。【例5】在图8-7甲所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A、B两点之间的等效电阻RAB 。【模型分析】在本模型中，我们介绍“对称等势”的思想。当我们将A、B两端接入电源，电流从A流向B时，相对A、B连线对称的点电流流动的情形必然是完全相同的，即

5、：在图8-7乙图中标号为1的点电势彼此相等，标号为2的点电势彼此相等。将它们缩点后，1点和B点之间的等效电路如图8-7丙所示。不难求出，R1B = R ，而RAB = 2R1B 。【答案】RAB = R 。3电流注入法：【例6】对图8-9所示无限网络，求A、B两点间的电阻RAB 。【模型分析】显然，等势缩点和Y型变换均不适用这种网络的计算。这里介绍“电流注入法”的应用。应用电流注入法的依据是：对于任何一个等效电阻R，欧姆定律都是适用的，而且，对于每一段导体，欧姆定律也是适用的。现在，当我们将无穷远接地，A点接电源正极，从A点注入电流I时，AB小段导体的电流必为I/3 ；当我们将无穷远接地，B点

6、接电源负极，从B点抽出电流I时，AB小段导体的电流必为I/3 ；那么，当上面“注入”和“抽出”的过程同时进行时，AB小段导体的电流必为2I/3 。最后，分别对导体和整个网络应用欧姆定律，即不难求出RAB 。【答案】RAB =R 。【例7】将电阻r1、r2、r3、r4各三个共12个连成立方形系统，如图所示，求等效电阻RAB【例8】10根电阻均为r的电阻丝接成如图2-4-13所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻。由结构对称性，要求电流I从A点流入后在A点的电流分布应与电流I从B点流出前的电流分布相同，中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右电流分布对称，因此网络内电流分布应如图2-4-14

7、所示。对图中C点和D点，有电流关联解得 由A、E两点间不同路线等电压的要求，得图2-4-14即 解、两式得选择线路AEDB，可得 因此，A、B间等效电阻便为4添加等效法【例9】在图8-11甲所示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A、B两点间的电阻RAB 。【模型分析】解这类问题，我们要用到一种数学思想，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即RABR + R = RAB 解这个方程就得出了RAB的值。【答案】RAB

8、= R 。学员思考本题是否可以用“电流注入法”求解？解说可以，在A端注入电流I后，设第一级的并联电阻分流为I1 ，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图8-12所示对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有(I I1)R + (I I1)R I1R = 0解得 I1 = I很显然 UA IR I1R = UB 图2-4-15即 UAB = IR + IR = IR最后，RAB = = R 。【例10】如图2-4-15所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框架上A、

9、B两点间的电阻为多大？从对称性考虑原电路可以用如图2-4-16所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为的电阻器来代替由无数层“格子”所构成的“内”三角，并且电 图2-4-16阻是这样的，因此解此方程得到【例11】在图8-13甲所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A、B两点间的等效电阻RAB 。【解说】当A、B两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C、D、E各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。这里取后一中思想，将CD间的导体、DE间的导体取走后，电路可以等效为图8-13乙所示的二维无限网络。对于这个二维无限网络，不难求出

10、R= R显然，RAB = RR【答案】RAB = R 。4Y型变换（后面再讨论）三、基尔霍夫（克希科夫）定律1基尔霍夫第一定律：对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入的电流之和。或可表达为：汇于节点的各支路电流强度的代数和为零。若规定流入电流为正，则从节点流出的电流强度加负号。对于有n个节点的完整回路，可列出n个方程，实际上只有个方程是独立的。2基尔霍夫第二定律：沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零，即对于给定的回路绕行方向，理想电源，从正极到负极，电势降落为正，反之为负；对电阻及内阻，若沿电流方向则电势降落为正，反之为负。若复杂电路包括m个独立回路，则有m个独立回路方程。基尔霍夫第二定

11、律事实上是含源部分电路欧姆定律的变体。【例12】如图所示电路中，已知求各支路的电流。分析： 题中电路共有2个节点，故可列出一个节点方程。而支路3个，只有二个独立的回路，因而能列出两个回路方程。三个方程恰好满足求解条件。解： 规定正方向如图所示，则有两个独立回路，有联解方程得：0，说明实际电流方向与图中所假定电流方向相反。四、Y变换在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y型或，如图2-4-8所示，有时把Y型联接代换成等效的型联接，或把型联接代换成等效的Y型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽的电压图2-4-8及流过的电流与型联接的三个端纽相同。在Y型电路中有可解得

12、在型电路中等效即满足：即 类似方法可得 、式是将Y型网络变换到型电路中的一组变换。同样将型电路变换到Y型电路，变换式可由、式求得：、 图2-4-10图2-4-9【例13】试求如图2-4-9所示电路中的电流。分析： 这是包含一个Y型电路和一个型电路的网络，解决问题的方向可将左边Y型网络元变换成型网络元，或将右侧型网络元变换成Y型网络元。解： 将左侧Y型网络换成型，如图2-4-10所示已知 则有 图2-4-11由图2-4-10，可进一步电路整理为图2-4-11所示。将右侧型网络元换成Y型网络元同样可求得，这里不再叙述。五、含源电路的简化和计算1等效电源定理的应用实际的直流电源可以看作电动势为，内阻

13、为零的恒压源与内阻r的串图2-4-1 联，如图2-4-1所示，这部分电路被称为电压源。不论外电阻R如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源、r对外电阻R提供电流I为 其中为电源短路电流，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源，如图2-4-2所示。 图2-4-2 实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻

14、。如图2-4-3所示为两端有源网络A与电阻R的串联，网络A可视为一电压源，等效电源图2-4-3图2-4-4电动势等于a、b两点开路时端电压，等效内阻等于网络中除去电动势的内阻，如图2-4-4所示。等效电流源定理 又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。 【例14】如图2-4-5所示的电路中，图2-4-5（1）试用等效电压源定理计算从电源正极流出的电流；（2）试用等效电流源定理计算从结点B流向节点A的电流。分析： 根据题意，在求通过电源的电流时，可将ABCDE部分电路等效为一个电压源，求

15、解通过的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。图2-4-6解： （1）设ABCDE等效电压源电动势，内阻，如图2-4-6所示，由等效电压源定理，应有电源与电源串联，故 图2-4-70，表明电流从负极流出。（2）将A、B两个节点短接，构成等效电流源（）如图2-4-7所示，由等效电流源定理，为原电路流经A、B短接后的支路电流。因为有两电源，必须用线性叠加原理，所谓叠加原理与力学中“力的独立作用原理”极为相似，其内容为：若电路中有多个电源，则通过任一支路的电流等于各个电动势单独存在时该支路产生的电流之和。由叠加原理 由和的分流关系【例15】在如图8-14甲所示电路中，电源 = 1.

16、4V，内阻不计，R1 = R4 = 2，R2 = R3 = R5 = 1，试用戴维南定理解流过电阻R5的电流。【模型分析】用戴维南定理的目的是将电源系统或与电源相关联的部分电路等效为一个电源，然后方便直接应用闭合电路欧姆定律。此电路中的电源只有一个，我们可以援用后一种思路，将除R5之外的电阻均看成“与电源相关联的”部分，于是将电路做“拓扑”变换，成图8-14乙图。这时候，P、Q两点可看成“新电源”的两极，设新电源的电动势为，内阻为r，则r= R1R2 + R3R4 = 为P、Q开路时的电压。开路时，R1的电流I1和R3的电流I3相等，I1 = I3 = = A ，令“老电源”的负极接地，则UP

17、 = I1R2 = V ，UQ = I3R4 = V ，所以 = UQP = V最后电路演化成图8-14丙时，R5的电流就好求了。【答案】R5上电流大小为0.20A，方向（在甲图中）向上。2、基尔霍夫定律的应用基尔霍夫定律的内容已经介绍，而且在（不含源）部分电路中已经做过了应用。但是在比较复杂的电路中，基尔霍夫第一定律和第二定律的独立方程究竟有几个？这里需要补充一个法则，那就是基尔霍夫第一定律的独立方程个数为节点总数减一；基尔霍夫第二定律的独立方程个数则为独立回路的个数。而且，独立回路的个数m应该这样计算m = p n + 1其中p为支路数目（不同电流值的数目），n为节点个数。譬如，在图8-1

18、5所示的三个电路中，m应该这样计算甲图，p = 3 ，n = 2 ，m = 3 2 + 1 = 2乙图，p = 6 ，n = 4 ，m = 6 4 + 1 = 3丙图，p = 8 ，n = 5 ，m = 8 5 + 1 = 4以上的数目也就是三个电路中基尔霍夫第二定律的独立方程个数。思考启发：学员观察上面三个电路中m的结论和电路的外部特征，能得到什么结果？学员：m事实上就是“不重叠”的回路个数！（可在丙图的基础上添加一支路验证）【例16】在图8-16所示的电路中，1 = 32V，2 = 24V，两电源的内阻均不计，R1 = 5，R2 = 6，R3 = 54，求各支路的电流。【模型分析】这是一个

19、基尔霍夫定律的基本应用，第一定律的方程个数为 n 1 = 2 ，第二方程的个数为 p n + 1 = 2由第一定律，有 I3 = I1 + I2由第二定律，左回路有 1 2 = I1R1 I2R2 左回路有 2 = I2R2 + I3R3代入数字后，从这三个方程不难解出I1 = 1.0A ，I2 = 0.5A ，I3 = 0.5A这里I2的负号表明实际电流方向和假定方向相反。【答案】R1的电流大小为1.0A，方向向上，R2的电流大小为0.5A，方向向下，R3的电流大小为0.5A，方向向下。【例17】用基尔霍夫定律解图8-14甲所示电路中R5的电流（所有已知条件不变）。【模型分析】此电路p =

20、6 ，n = 4 ，故基尔霍夫第一定律方程个数为3 ，第二定律方程个数为3 。为了方便，将独立回路编号为、和 ，电流只设了三个未知量I1 、I2和I3 ，其它三个电流则直接用三个第一定律方程表达出来，见图8-17 。这样，我们只要解三个基尔霍夫第二定律方程就可以了。对回路，有 I2R1 + I1R5 I3R3 = 0 即 2I2 + 1I1 1I3 = 0 对回路，有 (I2 I1)R2 (I1 + I3)R4 I1R5 = 0 即 1(I2 I1) 2(I1 + I3) 1I1 = 0 对回路，有 = I3R3 + (I1 + I3)R4 即 1.4 = 1I3 + 2(I1 + I3) 解

21、式不难得出 I1 = 0.2A 。（I2 = 0.4A ，I3 = 0.6A）【答案】略。【例18】求解图8-18所示电路中流过30电阻的电流。【模型分析】基尔霍夫第一定律方程2个，已在图中体现基尔霍夫第二定律方程3个，分别为对回路，有 100 = (I2 I1) + I2·10 对回路，有 40 = I2·10 + I1·30 I3·10 对回路，有 100 = I3·10 + (I1 + I3) ·10 解式不难得出 I1 = 1.0A 。（I2 = 5.5A ，I3 = 4.5A）【答案】大小为1.0A，方向向左。小结解含源电路

22、我们引进了戴维南定理和基尔霍夫定律两个工具。原则上，对任何一个问题，两种方法都可以用。但是，当我们面临的只是求某一条支路的电流，则用戴维南定理较好，如果要求求出多个（或所有）支路的电流，则用基尔霍夫定律较好。而且我们还必须看到，随着独立回路个数的增多，基尔霍夫第二定律的方程随之增多，解题的麻烦程度G随之增大。六、电桥电路，补偿电路和电势差计惠斯通电桥用欧姆表测量电阻虽然方便，但不够精确，而用伏安法测电阻，电表所引起的误差又难以消除，精确地测量电阻，常用惠斯通电桥。图是惠斯通电桥的电路图，当B、D两点的电势相等时，通过检流计的电流强度Ig=0，此时就称电桥平衡（可通过调节滑动触头D的位置来实现）

23、。根据串联电路中电阻与电压成正比的原理，可知此时应有一般来讲，和由同一均匀电阻丝组成，其阻值与长度成正比，待测电阻的计算公式为测出电阻丝长度和之比，再由标准电阻的阻值即可确定待测电阻的阻值。备注：操作方法见实验部分。G图2-5-2电势差计精确地测量电源电动势常采用电势差计。电势差计是根据补偿原理来设计的，补偿法的原理可用图2-5-2所示来说明。通常情况下，用测量仪器对电源进行测量时，总有电流通过电源，因而造成测量误差。用图2-5-3所示的电路进行测量时，可以使待测电源中的电流为零。图中工作电源与粗细均匀的电阻线A、B相连。适当调节C的位置，当电阻线在A、C段的电势降刚好与待测电源的电动势Ex

24、相等时，灵敏电流计G内没有电流通过，待测电源中的电流也为零。这时，称待测电路得到了补偿。若先对一 个标准电池实现补偿，就可以对电路进行定标（测得A、C间单位长度相当多少伏电压），然后对某个待测电压实现补偿，即可精确地测定这个电压值。用这种方法既可以测量电源电动势，还可以测量某段电路两端电压。若再借助于比较法，还可测量电阻值。这种测量方法称为补偿法。滑线式电势差计的电路如图2-5-4所示。它由三部分组成：工作电源E、开关K1和变阻器R1组成“工作电路”；标准电池0、灵敏电流计G和保护电阻R2组成“标准电路”；待测电源x、开关K3、电阻箱R3、灵敏电流计G和保护电阻R2组成“测量电路”，三部分之间

25、接有转换开关K2和由粗细均匀的电阻线AB和滑动触头C。任何电势差计，无论结构多么复杂，都有以上三部分。测量前，应先对电势差计进行校准，回路中的工作电源电压可取34V间某个值。调节变阻器R1使工作电路中的电流达到规定值。再将转换开关K2接标准电池，调节滑动触头C，并逐步减小保护电阻R2，直至R2等于零时，接通灵敏电流计G，表中也有没电流通过。这时“标准回路”就达到了平衡，记下此时电阻线上AC1段长度l1。然后，将R2调至最大，将转换开关K2接待测电源，并断开开关K3。按以上方法再调节“测量电路”使其达到平衡，并记下此时触头位置所对应的电阻线上AC2的长度l2。在调节过程中，R1的位置不能动，以保

26、护工作电流不变。此时，由于电阻线的粗细均匀，故有即 如果要测量待测电源的内阻r，可以合上K3，用以上方法测得待测电源的路端电压再根据公式 读出电阻箱的阻值R3，即可求出电源内阻为图2-5-5利用电势差计还可以借助于比较法测电阻，测量方法如图2-5-5所示，图中R为标准电阻，Rx为待测电阻，先用电势差计测出Rx两端的电压Ux，再用同样的办法测出标准电阻R两端的电压U，由于电势差计没有分流作用，故因此 【例19】如图是测量灵敏电流计G的内电阻Rg的一个实验电路。P、R、S为阻值已知的电阻，Q为电阻箱，调节Q使电键K不论接通或断开，G表的读数都不发生变化，求：（1）电流表内阻Rg；（2）已知电源电动

27、势E，内阻不计，求通过电流表的电流强度。（培优教程p306）【例20】在图中所示的电路中，xy为一均匀电阻丝，全长155cm。当电键S1,S2都闭合时，将滑动接触点接在xy线上的p处，xp=135cm，检流计G指针恰好没有偏转，如果将电键S2打开，而S1仍闭合，则须将滑动触点移至y处，检流计才可不发生偏转。已知R1=8.00，试求电池1的内阻r的值。七、电表的改装常见的磁电式电流计主要由放在永久磁场中的由细漆包线绕制的可以转动的线圈、用来产生机械反力矩的游丝、指示用的指针和永久磁铁所组成。当电流通过线圈时，载流线圈在磁场中就产生一磁力矩，使线圈转动并带动指针偏转。线圈偏转角度的大小与线圈通过的

28、电流大小成正比，所以可由指针的偏转角度直接指示出电流值。1、测量量程、内阻 电流计允许通过的最大电流称为电流计的量程，用表示，电流计的线圈有一定内阻，用表示，与是两个表示电流计特性的重要参数。 测量内阻常用方法有： （1）半电流法也称中值法。测量原理图见图1。当被测电流计接在电路中时，使电流计满偏，再用十进位电阻箱与电流计并联作为分流电阻改变电阻值即改变分流程度，当电流计指针指示到中间值，且总电流强度仍保持不变，显然这时分流电阻值就等于电流计的内阻。 （2）替代法。测量原理图见图2。当被测电流计接在电路中时，用十进位电阻箱替代它，且改变电阻值，当电路中的电压不变时，且电路中的电流亦保持不变，则

29、电阻箱的电阻值即为被测电流计内阻。替代法是一种运用很广的测量方法，具有较高的测量准确度。2、改装为大量程电流表根据电阻并联规律可知，如果在表头两端并联上一个阻值适当的电阻，如图3所示，可使表头不能承受的那部分电流从上分流通过。这种由表头和并联电阻组成的整体（图中虚线框住的部分）就是改装后的电流表。如需将量程扩大倍，则不难得出 图3为扩流后的电流表原理图。用电流表测量电流时，电流表应串联在被测电路中，所以要求电流表应有较小的内阻。另外，在表头上并联阻值不同的分流电阻，便可制成多量程的电流表。 3、改装为电压表 一般表头能承受的电压很小，不能用来测量较大的电压。为了测量较大的电压，可以给表头串联一

30、个阻值适当的电阻 ，如图4所示，使表头上不能承受的那部分电压降落在电阻上。这种由表头和串联电阻组成的整体就是电压表，串联的电阻叫做扩程电阻。选取不同大小的，就可以得到不同量程的电压表。由图4可求得扩程电阻值为： 实际的扩展量程后的电压表原理见图4 用电压表测电压时，电压表总是并联在被测电路上。为了不致因为并联了电压表而改变电路中的工作状态，要求电压表应有较高的内阻。 4、改装微安表为欧姆表 用来测量电阻大小的电表称为欧姆表。根据调零方式的不同，可分为串联分压式和并联分流式两种。其原理电路如图5所示。图中 为电源，为限流电阻， 为调“零”电位器，为被测电阻，为等效表头内阻。图（b）中，与 一起组成分流电阻。欧姆表使用前先要调“零”点，即、 两点短路，（相当于），调节的阻值