5.1.任意角和弧度制及任意角的三角函数

1、授课主题：任意角、弧度制、同角三角函数基本关系教学目标1 .理解任意角的概念，特别是象限角、区间角、终边相同的角的概念及其表示法.2 .理解并掌握弧度制的定义，理解1弧度的定义，能熟练进行弧度与角度的互化.3 .理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式，能运用弧长、扇形面积公式计算.4 .理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示，能熟练求三角函数的值.5 .掌握同角三角函数的基本关系式并灵活运用于解题，提高学生分析，解决问题的能力.6 .灵活运用同角三角函数基本关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立 化归思想方法.教学内容便耍错构1 .象限角和轴线角象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角

2、的始边与X轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫 做第几象限的角.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合时，如果角的终边落在坐标轴上，就把这 个角叫做轴线角.注意：直角坐标系中角的分类是根据角在坐标系内终边的位置而定义的，而初中学习的角的分类是根据角的范围 而定义的，通过定义比较我们可以知道锐角是第一象限的角，钝角是第二象限的角，直角，平角，周角都是轴线角.但 要注意反之则不然，也就是说第一象限的角不都是锐角.2 .终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合为知=a+k360。，k£Z.即任一与角a终边相同 的角，都可以表示

3、成角a与整数个周角的和.由终边相同的角的定义可知，相等的角，终边一定相同：终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数多个， 它们相差360°的整数倍.3 .弧度制的概念1）弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2）由弧度定义，一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值是确定的，与圆的半径大小无关.4 .角度制与弧度制的互化角度制与弧度制的换算：因为周角所对的弧是整个圆周，其长为2兀，所以周角的弧度数是2兀，但周角又等于 360。，所以360。=2兀，所以180。=兀，故得：1°=弓？ 1 rad=( )°57.3O=57°18；loU

4、 n /度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度07T6n4713n227r 33n 45n 6n3兀T2n5 .弧长公式与扇形面积公式1)角度制：半径为R，圆心角为。的扇形中，圆心角所对的弧长/和面积S分别为: 弧长/=黑，扇形的面积5=需.2)弧度制：半径为R,圆心角为arad的扇形中，圆心角所对的弧长/和面积S分别为:弧长l=ar,扇形的面积S=Jr=产3)根据扇形的面积公式和弧长公式，在弧长，面积，圆心角，半径四个量中，只需知道两个量就

5、可以求出其它 量.6 .任意角的三角函数1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.2)三角函数的定义：设角a的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合.在直角坐标系中，角a终边与单位圆交于一点尸(心y),则，=IOPI=1 那么：叫做a的正弦，记作sin a, HP y=sin a：(2) x叫做a的余弦，记作cos a,即x=cos a；(3):叫做a的正切，记作tan a,即:=tan a(xW0).3)正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称 为三角函数.4)三角函数的值与点P在终边上的位置有关系吗？答

6、：利用三角形的相似性可知任意角a的三角函数值只与a有关，而与点P的位强无关.对于a角的终边上任意 一点、P,设其坐标为(x, y)9点P到原点的距离=7炉+、2>0(1)比值;叫做a的正弦，记作sin a,即sina=：xx(2)比值;叫做a的余弦，记作cos a,即cos a="(3)比值'叫做a的正切，记作tan a,即tan a=.I点p在单位圆上是一种特殊情形.7 .三角函数值在各个象限内的符号9由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号.sina=%其中r>0,于是sin a的符号与y的符号相同，即：当a是第一、二象限

7、角时，sin a>0：当a是第三、 四象限角时，sin a<0：cosa=,其中/>0,于是cos a的符号与x的符号相同，即：当a是第一、四象限角时，cos30；当a是第二、 三象限角时,cos a<0；tana=>当人与y同号时，它们的比值为正，当;v与y异号时，它们的比值为负，即：当a是第一、三象限角时, tan <z>0：当a是第二、四象限角时，tan a<0.根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：(1) “sina=%上正下负横为0： cosa=a左负右正纵为0； tan 交叉正负”.y-一 +sin atana(2) “一全正二正弦，

8、三正切四余弦”cos a8 .诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值相等，这样就有 下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k7r+a)=sin a, cos(27r+a)=cos a> tan(2兀+a)=tan a, kGZ.注意：公式一中的角a不一定是锐角.也就是说，对于任意角。，公式一都成立.9 .三角函数的定义域题型一象限角的确定三角函数sin acos atan a定义域RR1kGZ -9例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在X轴的非负半轴上,在0%x<360。范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第

9、几象限角.(1)-150°；(2)730°：(3)-795°：(4)950°18r解析：(1)；-150。= -360。+210。，在0。W.<360。范围内，终边与一 150。相同的角是210。，它是第三象限角；(2)V730o=2X3600+10°,，在0。圣.<360。范围内，终边与730。相同的角是10。，它是第一象限角；(3)V -7950 =-3X360°+285°,，在0。圣&<360。范围内，终边与一795。相同的角是285。，它是第四象限角；(4)V950°18r =2X

10、360°4-230°18",，在0。圣.<360。范围内，终边与950。18'相同的角是230。18',它是第三象限角.题型二 终边相同的角的表示【例2】分别写出终边落在以下直线上的角的集合：(1)终边落在轴上：(2)终边落在直线y=x上.解析：(1)在0°Wa<360。范围内，终边落在x轴上的角有0。和180。，与0。角终边相同的角的集合为S = ala=k360。，k£Z,与180。角终边相同的角的集合为52=旬。=180。+360。，k£Z.故终边在x 轴上的角的集合为:S=SUS2=da=2360。

11、, k£Z U akz= 180。+攵360。，k£Z = akz = 2k 180。, k£ZUakx=(2M+l)180。，k£Z = akz=k 180°, k£Z.在0Wa<360。范围内，终边落在直线y=x上的角有45。和225°,与45。角终边相同的角的集合为：S3= 。1。=45。+0360。，kGZ,与225。角终边相同的角的集合为：54=仪9=225。+k360。，k£Z,故终边在直线 y=x 上的角的集合为：S=S3US4 = ala=45°+-360°, k£

12、;Z U /叮=225。+大360。，kZ = aa =450+”180。, kZ U da=45°+(2jl+ 1)- 180°, "£Z = akz=450+k 180。，k£Z.巩固1与一457。角终边相同的角的集合是()A.ala=360。+457。，k£ZB.ah=h360。+97。，k£ZC.ala=/：-360o + 263% kZD,ala=k360。-263。, kZ解析：V -4570 = - 2 X 360°+263°,，一457。与263。是终边相同的角，选C.答案：C【巩固】分别

13、写出终边落在以下直线上的角的集合：(1)终边落在y轴上：(2)终边落在直线)，=一工上；(3)终边落在坐标轴上.解析：(1)在(TWa<360。范围内，终边落在y轴上的角有90。和270。，与90。角终边相同的角的集合为：S尸ala=90°+k-360。，kGZ,与270。角终边相同的角的集合为：S2=ala=270o+360°, k£Z,故终边在y 轴上的角的集合为:5=SjUS2 = ala=90°+h360°, kZ U da=270°+360°, k£Z =%应=90。+2/180。，kZ U aa=

14、90Q+(2k+1)-180°, Z；eZ = ala=90o+Z:-180°, kGZ.(2)在0。W0<360。范围内，终边落在直线、=一;v上的角有135。和315。，与135。角终边相同的角的集合为：S3=«I«=135o+360°, kGZ,与315。角终边相同的角的集合为：54=。匕=315。+&360。，4£Z,故终边在直线 y=;v 上的角的集合为：S=S3US4= ala= 135°+jt-360°, k£Z U Ha=315°+h360。，k£Z =

15、ala=135°+2180°, G£Z U akz= 135°+(2k+1) 180。，GZ = da=135°+/t-180°, k£Z.(3)在00Wa<360。范围内，终边落在坐标轴上的角有0°, 90°, 180。和270。.与0。角终边相同的角的集合为S5=akz=k360。，k£Z = akz=4大90。，攵WZ,与90。角终边相同的角的集合为56=以7=90。+/360。，k£Z = akz=(4k+l)90。，k£Z,与 180。角终边相同的角的集合为

16、S7=ala=18(T+=360。, k£Z = akz=(4k+2)90。，kWZ),与 270。角终边相同的角的集合为 S8=ala=270°+360°, %£Z = akz = (4k+3)90。，kGZ), 故终边在坐标轴上的角的集合为：S=55U56U57USs=ala=90o, £Z.题型三区间角的表示【例 3】 已知集合从=。岷180。+30。<&<180。+90。，4WZ,集合 B= £k360。-45。<£<攵-360。+45。，k£Z"求 ACB. 解析

17、：4=(ak-180。+30。<仪<女180。+90。， *£Z,当 k=2n, £Z 时,A = aln-360°4-300<a</z. 360°+90°, k£Z,当 k=2+l, £Z 时，A = an-360°+210Q<a<n-360°+270°, k£Z,.角a为第一或第三象限角，而£角为第一或第四象限角或终边在x轴正半轴上，A C B = ak 360。+30Q<a<k- 360。+45。，R £ Z.【

18、巩固】(1)分别写出第一、三象限角的集合：(2)写出第一、三象限角的集合.解析：(1)设角a的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边落在第一象限内，则角a的集合为A = ak 360。+0。*< 360。+90。，k £ Z;同理，设角£的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边落在第三象限内，则角£的集合为B = £1大 3600 +180。<£<k 360°+270°, k £ Z.(2)由(1)知，终边落在第一或第三象限角的集合为A U5= al2n-1800<a

19、<2wl80o+90°U51(2 +1)-1800<<(2n +1)180°+90°, £Z= 180°<a<180o+90°, kZ.题型四等分角的表示 m 41已知角a是第二象限角，试问：多是第几象限角？解析：方法一是第二象限角，Ak-360。+900<a<A-360° +180°, kGZ,"-180。+45。<|<-180。+90。， kGZ,当 k=2，时，n-3600+45°<</r360°+90°

20、, nCZ, 此时，强第一象限角；当 k=2+l, £Z 时，360。+225。<今<360。+ 270。，£Z, 此时，F是第三象限角.1是第一或第三象眼角.方法二 如图所示，先将各象限分成二等分，再从九轴正向的上方依次将各区域标上I、II. UK IV,则标有II 的区域即为为终边所在的区域.故就第一、三象限角.【巩固】已知角a是第二象限角，试问：2a是第几象限角？ 解析：是第二象限角，Ak360。+90°va<h360° +180°, kGZ,2大360。+ 1800<2a<2k3600+360。, kGZ,

21、.2a是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上. 题型五弧度制的概念例5下列说法正确的是（）A. 1弧度是1度的圆心角所对的弧B. 1弧度是长度为半径的弧C. 1弧度是1度的弧与1度的角之和D. 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位解析：本题考查弧度制下，角的度量单位1弧度的概念.根据1弧度的定义，我们把长度等半径长的弧所对的圆 心角叫做1弧度的角，即可判断D正确.答案：D巩 固1下列说法不正确的是（）A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12元所对的圆心角C.根据弧度的定义知，180度一定等于

22、冗radD.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径的长短有关解析：根据角度与弧度的定义可知,无论是角度制还是弧度制，角的大小都与半径的长短无关，所以D错误,故选D.答案：D题型六 瓠度制与角度制的换算例6】将下列各角化成2E+a（k£Z.0WaV27i）的形式，并指出是第几 象限角？（1）1 140°；（2）一 弓兀：（3）,兀；（4）-315°.19 兀 19 7r19解析：（1）1 140。=9兀=6兀+可，不：与w的终边相同，故不兀是第一象限角；n=6n:4-, - W-兀与7的终边相同，是第二象限角； 6o o o晟=2n+'是第三象限

23、角：(4)-3150= -360。+45。= -2兀+会 是第一象限角.RI固】 把一 1480。角化成2E+a(KZ,0£o<27r)的形式：(2)若££-4兀，0,且£与一 1480。角的终边相同，求民 解析：(1) 1 480。=一甘= -10n+=2乂(-5)兀+与工 (2)£与-1 480°角的终边相同，16兀，£=2k7r+a=2k7rH"-,又££-4兀，0, 八 一 16 兀2兀八 4 . 167r207r £1 = -2兀+丁= 一勺，昆=-4兀+丁="

24、;钎固】 把一 1480。角化成2E+a(a£Z,0So<27r)的形式：(2)若££-4几，0,且8与一 1480。角的终边相同，求3 解析：(1)1 480°=一率=10n+率=2X(5)兀+等;(2)£与-1 480°角的终边相同, ，£=2E+a=2E+号，167r207r又££-4兀，0,. c ci 16兀27r - £1 = _2兀+丁=-5,但=_47H 题型七用弧度制表示角【例7用弧度制表示顶点在原点，始边重合x轴非负半轴，终边落在下图中阴影部分内的角的集合(包括边界).

25、解析：(1)图(1)中的阴影部分表示为仪145。+大180。忘。忘90。+大180。， kGZ;化为弧度制为a履，kGZ,；(2)图(2)中的阴影部分表示为。k90。忘仁45。+大90。，kSZ,化为弧度制为，a；(3)图(3)中的阴影部分表示为正一120。+2360。人忘150。+2360。, kGZ,化为弧度制为以一干+2%rWaWV+2E, kGZ .题型八 弧长公式与扇形面积公式的应用 【例8】(1)已知扇形周长为10,而积为4,求扇形圆心角的弧度数:已知一扇形的圆心角是72。，半径为20,求扇形的面积;(3)已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多

26、少?解析：由/=kd.R及S=；/R单独应用或联立，可做到知二求一.(1)设扇形圆心角的弧度数为a0<82兀)，弧长为/,半径为几 则心解得厂；或5/ r=4,1/=8r=4, /=2,代入弧长公式/=夕7=6=：,所以有6=8 rad>2兀(rad)(舍去)或6=；(rad).(2)设扇形弧长为I,因为圆心角72。=72乂焉=? rad, 1 oU 3所以扇形弧长/=同r=胃乂20 = 8兀，于是，扇形的面积S=；/r=4x8兀X20=80兀(3)设扇形圆心角的弧度教为a0<82兀)，弧长为/,半径为r,面积为S,0'| /+2r=4,所以/=4-2d'&l

27、t;r<2),所以 S=1/-r=X(42r)Xr=-r2+2r= (?- 1)2+1,所以当r=l时，S最大，且Smax=l,此是时，6=;=- j =2(rad).【巩固】一扇形周长为20cm,当扇形的圆心角a等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积?解析：设扇形的圆心角为a,半径为，由已知条件得，扇形的弧长/=ar,201A2r+ar=20, a=29 5=?97=10/一/=一。一5户+25,当，=5, a=2 时，Smax=25(cm)2.题型九 利用三角函数的定义求三角函数值13例9已知角a的终边过点P(3,2)，求sin a, cos a, tan a的值.

28、分析：本题考查角a的三角函数值，已知工=-3, y=2,先求出心然后根据三角函数的定义求解.解析：y=2, ：.r=yj -3 2+22=VT3,点评：(1)解已知角a的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有两种；先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标3,，则对应角的正弦值sin a=余弦值cos a=当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论巩固1在平面直角坐标系中，若角。终边经过点P( 3,4),则cos a的值为(解析：Va=-3, y=4,

29、 ：.r=y 3 2+42=5, x 33/.cos a="=-=故选 B.答案：B【巩固】已知角a的终边落在直线y=2x,上，求sin a, cos a, tan a的值.分析：因为角a的终边是一条射线，故应分两种情况进行讨论.可在直线上取一特殊点转化成例1类似的问题, 进而求解.解析：当角a的终边在第一象限时，角a的终边上取点P（l,2）,Vx= 1, y=2, Ar=l24-22=V5, . y 2 2x 15 v 2,即。=；=4=矛，8S &=*=? tana=-=?=2.当角a的终边在第三象限时，角a的终边上取点。（一 1, -2）,Vx=-lt y=29 ；“=

30、勺 - 1 -+ 2 2=木,.'-22 p x -15 y 2,sma=；=p=_COSa=7=T5= 5 * tana=-=2.题型十 应用诱导公式（一）进行化简、求值例10】求下列各三角函数的值:(l)cos(-l 0500)；(2)sin一 斗r).解析：(l)V-l O5O0=-3x36O°+3O°,A - 1 050°角与30。角的终边相同,.cos( 1 050°)=cos(-3x360°+30°)=cos 30。=坐；(2).一下=-4乂2冗+小.一日兀角与全角的终边相同,Rfl 固】求值：cos17r+tan

31、(一%)=.解析：.cos?n：=cos(27r+W)=¥，tan(-%)=tan(-27r+§=tan*=乎,COS2tan(-*)=坐+*竺案.也+亚题型十一判断三角函数值的符号问题例11(1)若角a分别是第二、三、四象限角,则点P(sina, cosa)分别落在第、和象限.(2)依据三角函数线，作出如下四个判断：.兀 .7兀7i ( n7i3兀 尸、.3兀 ,4兀sin%=si唁； cosi=cos(-4% tanptang： )sin->siny.其中判断正确的有()A. 1个 B2个C3个D. 4个解析：(1)当角a是第二象限角时，sin a>0, c

32、os a<0t则点P(sina, cosa)在第四象限: 当角a是第三象限角时，sin a<0, cos a<0,则点P(sina, cosa)在第三象限；当角a是第四象限角时，sin a<0, cos a>0,则点P(sina, cosa)在第二象限.在平面直角坐标系中作单位圆，依次作相关角的三角函数线，由图象可知.兀,.7兀 n ( 7t n 37r. 3兀.4兀sin*sm, cosy=cos(-tangctair-，sin-y>siny,，序号判断正确，答案选B.答案：四三二（2）B巩 固判断下列各三角函数值的符号：sin 3, cos 4, tan

33、 5.<5<2h,解析：V<3<7t,Asin 3>0, cos 4<0, tan 5<0.寺勘珠初A组1 .下列说法正确的是（）A. 1弧度角的大小与圆的半径无关B.大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C.圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角180。解析：VI rad=-=57.3°=57°18,其大小与圆的半径无关.答案：A2.某扇形的面积为len；,周长为4 cm,那么该扇形圆心角的弧度数为（）A. 2°B, 2C. 4°D. 441解析：V4=lal-r4-2r=>r=- 且 1=

34、那1 ,3， /十 kzlz.1=3版1（百*7上 解得1加=2,故选B.答案：B3 . 一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是（）A,3C,1 D.兀答案：A4 .扇形弧长为兀，面积为几，圆的半径是.解析：弧长/=兀；5期=3=兀，；X7U=7U,即r=2,，圆的半径为2.答案：2B组1 .将一300。化为弧度等于（）4兀-5兀-7兀-7兀A-?B. -yC. -彳D. 一8答案：B2 .将一 1 485。化成2版+a, （0Wg<2兀，kWZ）的形式是（）兀7兀A. -8兀+：B. 8n一金兀77rC, IOtu-D. -10 兀+T答案：D33 .已知半径为1的扇形而

35、积为四，则扇形的圆心角为（） OA卷答案：C4 .终边在x轴正半轴上的角的集合为,终边在x轴负半轴上的角的集合为,终边在x轴上的角的 集合为，终边在y轴正半轴一匕的角的集合为，终边在y轴负半轴上的角的集合为，终边在 y轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为.答案：ala=2E, kZ ala=jr+2E, k£Zala=E, k£Z 1版=，+2®, k£Z>Zrjala=-, kGZala=-+2E,Vala='+br,kG家港作业卜瓠1.若a是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（）B. 900+aD. 180°+

36、aA. 900-aC. 360。一a解析：加是第一象限角，Ak-3600+0Q<a<k-360°+90°, kGZ,：.360°-90°<-a<k-3600+0°, kGZ,：.k360°+2700V360。-a<k-360°+360°, kGZ,1 360。一a是第四象限角，故选C.答案：c2 .下列命题：一个角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角：1 400。的角是第四象限的角；一 300。的角与160。的角的终边相同：相等的角的终边一定相同；终边相同的角一定相等.其中正确命

37、题的序号是.解析：VI 4000 = 3X3600+320。，400。的角与320。的角的终边相同，而320。=360。-40。是第四象限的角，400。的角是第四象限的角.对.V-300°=-360°+60°,，一300。的角与60。的角的终边相同.错.又由相关定义知正确，不正确.故答案应填.答案：3 .已知角A的终边与单位圆的交点为凡(一:多，求角a的正弦、余弦和正切值.4 .已知角a的终边过点人(-3, -4),求角a的正弦、余弦和正切值. 解析：、=，(-3)2+(一守=5,Asin a=若g<a<0,则点 Q(cos a, sin a)位于(A

38、.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：V z<a<0,贝Ucosa>0, sin a<0,故选 D. 乙答案：D6.已知角a的终边过点“；）,则cosa=（）A.1D.解析：点P停 0是单位圆上一点，则cosa=x=坐故选B.答案：B7.角仁=一弃，则sin a, tan a的值分别为（）A. -1,不存在 B. 1,不存在C. 一 1,0D. 1,0解析：由三角函数的定义及终边相同角的概念知A正确，故选A.答案：A8.有下列四个命题：终边相同的角的同名三角函数的值相等：终边不同的角的同名三角函数的值不相等：若sina>0,则a是第一或第二象限角：若a是第二象限角，且P（x, y）是其终边上一点，51'J cos a=x出2+）工其中，不正确命题的个数是（）A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解析：正确；不正确；不正确，例：也成立；不正确.故选C.答案：C9.若 sin a<0 且 tan a>0,贝ij ct