大学物理第十章讲义

1、§10-1 电场 电场强度一、电荷及其性质1、电荷的种类两种电荷：正电荷和负电荷，同种电荷相斥，异种电荷相吸2、电荷守恒定律：孤立系统内，电荷的代数和保持不变3、电荷的量子性在自然界中电荷总是以一个基本单元的整数倍出现。 基本电量： C 宏观物体可认为电量连续变化。4、电荷的相对论不变性在不同的参考系观察，同一带电粒子的电量不变。二、库仑定律1、库仑定律真空中两个静止点电荷之间作用力 真空中的介电常数l 适用条件：真空，静止，点电荷点电荷是个理想化的模型2、静电力的叠加原理两个以上静止点电荷？两个以上静止的点电荷，它们共同作用于某一点电荷的静电力等于其它各点电荷单独存在时作用在该点电

2、荷上的静电力的矢量和 静电力的叠加原理 实验基础上总结出来的基本事实。三、电场与电场强度1、电场电荷周围存在着一种特殊的物质，称为电场。处于电场中的电荷都受到该电场的作用力。静止的点电荷之间是通过电场这种特殊的物质传递相互作用的。 电荷 电场 电荷 （法拉第最早提出）电场具有能量、动量和质量等重要性质，是一种特殊形式的物质！2、电场强度通过检验电荷 受力定义电场强度矢量 单位正电荷在该点所受的电场力检验电荷 电量足够小、尺寸足够小场强 是空间坐标的函数 四、场强叠加原理检验电荷 放在点电荷系 、， 所产生的电场中根据静电力的叠加原理， 所受的静电力为 场强的叠加原理电场中某点的场强等于各个电荷

3、单独存在时在该点产生的场强的矢量和。五、场强的计算已知场源电荷分布，根据场强叠加原理，求场强分布。1、点电荷的场强PP 球对称性 ， 与 同向 ， 与 反向2、点电荷系的场强设真空中有点电荷系 ，求场点 的场强 其中 点电荷 到 的矢径 例10.2：求电偶极子中垂线上一点B和两点电荷延长线上一点A的场强。两个等值异号的点电荷 和 组成的点电荷系，当它们之间的距离比所讨论问题中涉及的距离 小得多时，即 ，这一对点电荷系称为电偶极子。电偶极矩 设A和B到两点电荷连线中点O的距离均为解：建立如图所示的坐标系（1）A点的场强yOxA在A点产生场强的大小 方向沿轴正方向 方向沿轴负方向A点总的场强大小

4、（2）B点的场强yOxB B点场强大小 方向与电偶极矩的方向相反。 3、连续带电体的电场把带电体分割成无限多个电荷元 P 体分布 体电荷密度 面分布 面电荷密度 线分布 线电荷密度例10.3：真空中均匀带电直导线，线电荷密度为 ，场点 到直线的距离为， 点和直线两端的连线与直线之间的夹角分别为 和 ，如图所示，试求 点的场强。解： x电荷线密度 对于无限长直导线， 例10.4：真空中均匀带电圆环，环半径为 ，总电量 ，试计算圆环轴线上任一点 的场强。解：电荷线密度 根据对称性 例10.5：真空中均匀带电薄圆盘，半径为 ，总电量 ，试计算圆盘轴线上任一点 的场强。（不讲）解：取半径为 ，宽 的圆

5、环 讨论：1） 当 时（以时为例） 可视为点电荷2）无限大平面 时取正，时取负六、带电体在外电场中所受的作用点电荷 在外电场中受静电力 例10.7：计算电偶极子 在均匀外电场 中所受的合力和合力矩。O解： ， 在电场作用下，电矩 转到 的方向上Ex. 8-7：一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处点的场强解: 如8-7图在圆上取 它在点产生场强大小为 方向沿半径向外则 积分 ，方向沿轴正向Ex.8-13：半径为的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为的小球体，如题8-13图所示试求：两球心与点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的解：将此带电体看作带正电的均匀球与带电

6、的均匀小球的组合（1）球在点产生电场 球在点产生电场 点电场 （2）在产生电场 球在产生电场 点电场 （3）设空腔任一点相对的位矢为 ，相对点位矢为 则 ， , 腔内场强是均匀的§10-2 静电场的高斯定理一、电力线任何电荷在其周围激发电场，可以形象地用电力线描述场强在空间的分布。画法规定：1）方向：电力线上每点的切线方向与该点场强的方向一致2）大小：用电力线的疏密表示场强大小的分布情况电力线的疏密情况和场强大小的定量关系用电通量描述。二、电通量作电力线图时，为了反映场强的大小，规定电场中任一点的电力线数密度与该点的场强大小相等，即 或 电通量：通过电场中任一给定面的电力线条数称为通

7、过该面的电通量 1、均匀电场、平面 S规定从左 右，电通量为正 （法线方向单位矢量）2、非均匀电场、曲面 S将该曲面划分为无限多个面元，每一面元处视为匀强电场任取一面元 ，法线 与 面元处电场 的夹角为 通过曲面的总电通量 电通量正与负取决于面法线正方向的选取，可以取曲面的任一侧3、闭合曲面规定：面元的方向约定由面内指向面外为正电力线穿出处 电通量为正 电力线穿入处 电通量为负 净穿出闭合面的电力线条数三、静电场的高斯定理高斯定理是关于静电场中闭合曲面电通量的定律，是反映静电场性质的一个基本定律。地位重要！可由库仑定律和场强叠加原理导出。1、点电荷 设真空中只有一个点电荷 （1）球面与无关 电

8、力线连续地延伸到无限远点电荷的电通量与球面的半径无关，电力线是连续地延伸到无限远的。注意，得到这个结果是与库仑定律的平方反比分不开的。（2）包围点电荷的任意闭合曲面 电力线从正电荷出发穿出闭合面 电力线穿入闭合面止于负电荷（3）不包围点电荷的闭合曲面每一条穿入的电力线必然从另一处穿出 2、任意带电系统场强叠加原理 通过任意闭合曲面的电通量 高斯定理：在真空中的静电场中，通过任一闭合曲面的电通量，等于该面内电荷电量代数和的倍，即 讨论：（1） 源自正电荷并穿出 “源” 穿进并止于负电荷 “汇” 一处穿入，另一处穿出 “没有电荷的地方不中断” 静电场是有源场！（2）：面内电荷电量的代数和：空间所有

9、场源电荷所产生场强的矢量和 面外电荷对电场有贡献，但对通过闭合面的总电通量没贡献。（3）高斯定理：库仑定律+场强叠加原理 源于库仑定律，高于库仑定律，更基本，变化电场也适用。四、高斯定理的应用对某些具有对称性分布（球、板、柱）的电荷，此时 能拿到积分号外，可求出场强 E 的分布！l 如果电荷分布不对称，其电场不能直接由高斯定理求出，不能认为高斯定律对这些电荷分布不成立！例：求均匀带电球面的电场分布，已知球面半径为 ，带电量为 （设 ） 解：电场具有球对称性，取同心球面为高斯面 时 时 ROErOr例10.9：求均匀带电球体的电场分布，已知球面半径为 ，带电量为 （设 ）ROErOr解：电场具有

10、球对称性，取同心球面为高斯面 时 时 例：求无限长均匀带电直线的电场分布，已知线上线电荷密度为 （设 ）lP解：电场有柱对称性，取同轴圆柱的表面为高斯面，高为 ，电通量为 由高斯定理 此结果与前面得到的结果一样。对比可知，用高斯要简便得多。例10.11：求无限大均匀带电平面的电场分布，已知带点平面上的面电荷密度为 s（设s >0）解：电场具有平面（板）对称性，选取轴垂直于带电平面的圆筒式的封闭面作为高斯面 ，带电平面平分此圆筒 由高斯定理 l 利用高斯定理求电场 的关键（1）分析场强的对称性（方向、大小）（2）选择适当的高斯面高斯面应该通过场点高斯面各部分或 ，或高斯面上各点的场强大小应

11、该相等（以便提出积分号）例10.6：两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为 和 ，求这一带电系统的电场分布。IIIIIIOx解：以水平向右为轴的正方向 ， ， ， Ex.：半径为和( )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-,试求:(1)；(2) ；(3) 处各点的场强解: 高斯定理 取同轴圆柱形高斯面，侧面积 则 对(1) (2) 沿径向向外(3) §10-3 静电场环路定理 电势一、静电场的保守性当电荷在电场中运动时，电场力会作功（电场的两条基本性质中的第二条）。静电力作功特点？先讨论单个点电荷的静电场。点电荷的静电场中移动试探电荷 ab元位移 中 电场力的功

12、只与试探电荷的始末位置有关，与路径无关 点电荷的静电力是保守力，其静电场是保守力场！由场强叠加原理，可以证明任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场！考虑点电荷系 、，的静电场，根据场强的叠加原理 当试探电荷 从沿任意路径移动到时 上式求和项中的每一项都与路径无关，故总电场力的功也与路径无关。二、静电场环路定理静电场力作功与路径无关的特点还可以用另外一种形式表达：静电场的环流为零。设试探电荷 从沿任意路径到达，再从沿任意路径回到点，如图所示abcd由于静电场力作功与路径无关 此式左端的积分称为静电场的环流，它是场强沿闭合路径的线积分。在静电场中，场强 的环流恒等于零。静电场为保守力场的数学

13、表述。高斯定律是静电场的第一个重要规律，环路定理是第二个重要规律。三、电势能保守力场可以引入势能的概念保守力对质点的功等于质点势能的减少（势能增量的负值）！静电场是保守力场，引入电势能 试验电荷在 点和 点的电势能根据电场力的功定义的是电势能差，电势能与其他形式的势能一样，也有零点选择的问题。若规定试验电荷在参考点的电势能为零 电势能零点原则上可以任意选择，通常选在 处 与其他形式的势能一样，电势能也属于相互作用的系统，属于试验电荷和电场组成的系统四、电势 电势差1、电势 仅由电场的性质和 点的位置决定，与 无关！是描述电场中任一点电场性质的一个物理量 电势 2、电势差 静电场中， 两点的电势

14、差等于单位正电荷从 点移到 点时电场力作的功。 电势零点的选择原则上也是任意的！根据实际情况选取。例10.12：求点电荷 产生的电场的电势分布解：取无穷远处为电势零点 电场中任一点（距离点电荷）的电势 实际计算沿径向路径五、电势叠加原理1、点电荷系真空中的点电荷系 在静电场中，某点的电势，等于各点电荷单独存在时产生的电场在该点的电势的代数和。电势叠加原理l 几个点电荷电场的电势零点应是共同的2、连续带电体将带电体分割成很多电荷元，点在 电场中电势a ， 计算过程与求场强类似： 体分布 体电荷密度 面分布 面电荷密度 线分布 线电荷密度六、电势的计算例：长为 的均匀带电细棒，电荷线密度为 ， 点

15、在细棒向右的延长线上，距右端的距离为 ，以无穷远处为势能零点，求 点的电势。解：以细棒左端为坐标原点取一电荷元 该电荷元到 点的距离为 PxalOdx 例10.14：求半径为 、带电量为 的细圆环轴线上任意一点的电势。解：这是连续带电体，任取一电荷元 例10-15：求电量为 （设）的均匀带电球面的电势分布，设球面半径为 。解：由高斯定理 （） （）球外 （）球内 （）均匀带电球面在外部空间的电势分布与全部电荷集中在球心的点电荷的电势分布一样。均匀带电球面的内部空间是等势空间。ABO例10.16：半径分别为 和 的两个同心均匀带电球面 和 ，内球面 A 带电 ，外球面 B带电 ，求 A，B两球面

16、的电势差。解法一：根据高斯定理可求出两球面间的电场，电场具有球对称性 ， 解法二：利用电势叠加原理取无穷远处为电势零点，内球面A处电势 外球面B处电势 §10-4 等势面 电势梯度一、等势面引入等势面形象地描绘电势分布。电场中电势相等的点组成的面称为等势面。 画法：相邻等势面的电势差为常数。例如：点电荷电场的等势面沿着等势面上一元位移 abc 等势面与电力线正交沿着一根电力线上的元位移 l 任意静电场中，等势面与电力线总是处处正交l 等势面的电势沿电力线的方向逐渐减小。l 等势面密处场强大二、场强与电势梯度的关系场强与电势的关系 场强分布 电势分布取两个十分靠近的等势面，电势分别为 和 UU+dUba 场强 沿 方向的分量 等于电势在该方向上变化率的负值。电势是位置的函数 （方向导数） 场强 在三个坐标轴上的分量 梯度数学上梯度矢量算符 电势的梯度矢量 场强与电势的微分关系两等势面之