信号与系统PPTcp7-1-离散时间信号与系统的频域分析-胡

1、连续信号与系统的分析：连续信号与系统的分析： 时域（第时域（第1 1章、章、2 2章）章） 变换域变换域 频域（第频域（第3 3章、章、4 4章）章） 复频域（第复频域（第5 5章）章）离散时间信号与系统分析：离散时间信号与系统分析： 时域（第时域（第6 6章）章） 频域（第频域（第7 7章）章） 变换域变换域 复频域（第复频域（第8 8章）章） 本章介绍主要内容：本章介绍主要内容： 离散时间信号和系统的频域分析即离散时间信号和系统的频域分析即离散傅立叶分析离散傅立叶分析 信号的频域分析包括：信号的频域分析包括： 周期序列的离散时间傅立叶级数（周期序列的离散时间傅立叶级数（DFSDFS） 非周

2、期序列的离散时间傅立叶变换（非周期序列的离散时间傅立叶变换（DTFTDTFT） 离散傅立叶变换和反变换（离散傅立叶变换和反变换（DFTDFT） 快速算法即快速傅立叶变换（快速算法即快速傅立叶变换（FFTFFT） 快速傅立叶反变换（快速傅立叶反变换（IFFTIFFT） 离散系统的频域分析方法离散系统的频域分析方法 n mnmmmmy nh m x nmh m zzh m z h n nx nzz为任意复数 mmH zh m z ny nz H z特征函数或特征信号特征函数或特征信号 nz系统特征值、系统函数系统特征值、系统函数 H zLSI卷积和卷积和任意的复指数序列任意的复指数序列 响应响应)

3、(ny nkkkx na z x n x n nkkkkkky nyna H zz 本章中考虑本章中考虑 的情况的情况njez0jte0002T 002,0, 1, 2,jkT tjktkteek 或002T 连续时间虚指数信号连续时间虚指数信号基波频率基波频率基波周期基波周期信号集信号集 0 x tx tkT连续时间周期信号连续时间周期信号为周期为周期 00001220(:11(:2(:(:jtjtjntnktktekteknte 零次谐波或直流）； 1次谐波或基波）； 2次谐波）； ； n次谐波）等。0T虚指数序列虚指数序列 02N 2jN ne22jnNjnNNee kNnxnx类似的，

4、周期序列类似的，周期序列（N为基波周期）为基波周期）周期为周期为N的周期序列的周期序列基波频率为基波频率为 以以 N 为周期的周期虚指数序列也可以构成一个序列集为周期的周期虚指数序列也可以构成一个序列集 02,0, 1, 2,jknjknNkneek或 kt 中具有无穷多个互不相同中具有无穷多个互不相同(对对k而言而言)的谐波信号，与虚指的谐波信号，与虚指 数序列集的情况有所不同，数序列集的情况有所不同，虚指数序列集是周期相同的。虚指数序列集是周期相同的。 类似：类似：02N 周期的序列周期的序列 周期周期N 基波频率基波频率 序列集中每一个序列的频率均为基波频率的整数倍，因而序列集中每一个序

5、列的频率均为基波频率的整数倍，因而各个序列的频率之间构成各个序列的频率之间构成谐波关系谐波关系。说明：说明：DFSDFS为一有限项级数为一有限项级数, ,即任一周期为即任一周期为 N N 的周期序列的周期序列 ，都可以分解，都可以分解为为 N N 项独立的虚指数序列项独立的虚指数序列 的线性组合。的线性组合。7.2.1 离散时间傅立叶级数展开式离散时间傅立叶级数展开式 离散时间信号的傅立叶级数分析中，一个周期为离散时间信号的傅立叶级数分析中，一个周期为N N 的周期序列的周期序列 可以用可以用 中所有独立的中所有独立的N N 个虚指数序列的线性组合表示，即个虚指数序列的线性组合表示，即 Nxn

6、 kn 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en Nxn NXk2,jknNekN周期序列周期序列DFSDFS NxnDFSDFS的系数，也称为的系数，也称为 的频谱系数的频谱系数. . tjnnenXtx00比较，连续周期信号的傅里叶级数展开比较，连续周期信号的傅里叶级数展开7.2.2 傅立叶级数的系数傅立叶级数的系数10, 11,11NnNnNqqqqq （7.14）2jkNqe0, 2,kNN21jkNe2122022 0, 2,110,11NjknjkNNj kNnjkjkNNNkNNeeekee 其余 值，注意到在2, 0, 2,0 jknNnNNkNNek，其余 值一个重

7、要式一个重要式子的证明子的证明周期序列求和周期序列求和与起点无关与起点无关几何级数几何级数离散序列的直流离散序列的直流 基波基波 二次谐波二次谐波N-1N-1高次谐波高次谐波 在区间在区间 上构成一个正交序列集，正交性可以表示为：上构成一个正交序列集，正交性可以表示为：在几何级数求和公式：令，注意到在时， （7.15） knnN 2,0,1,2,0 ,0,1,2,lj k lnNknNnNN klmN mnneklmN m可知：可知：20jnNe2jnNe22jnNe21j NnNe，正交正交同乘以同乘以 在一个周期内对在一个周期内对n 求和求和2jmnNe 2222 = jmnjmnjknN

8、NNNNnNnNkNj k mnNNkNnNxn eeXk eXke交换求和次序（7.18）mkmk 21jkN nNNnNXkxn eN分析公式分析公式 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en 内和式为零内和式为零内和式为内和式为N 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en 周期序列周期序列DFS 21jkN nNNnNXkxn eN分析公式分析公式 DFS 00001tTjnttX nx t edtT比较比较 tjnnenXtx007.2.3 展开式系数展开式系数 的性质的性质 NXkDFS DFS 的系数的系数 有与连续傅立叶级数系数有与连续傅立叶级数系数 相似的性

9、质，两者之间相似的性质，两者之间的根本区别在于的根本区别在于 具有周期性具有周期性。（1 1）若）若 是一个周期为是一个周期为 的周期序列，则的周期序列，则 也是一个周期为也是一个周期为N N的的周期序列周期序列 （2 2）若）若 是实周期序列时，则是实周期序列时，则 具有具有共轭对称性共轭对称性 （3 3） 的模和相角分别是的模和相角分别是k k 的的偶函数和奇函数，偶函数和奇函数， 的实部和的实部和虚部分别是虚部分别是k k 的的偶函数和奇函数偶函数和奇函数。 NXk NXknX NxnN NXk NNXkNXk Nxn NXk NNXkXk 2211jkN njkN nNNNNnNnNX

10、kxn exn eXkNN NXk NXk例：求序列例：求序列 的频谱系数。的频谱系数。 （7.77.7）因此， 0sinx nn解：解：（1 1）对于正弦序列来说，要成为周期序列对于正弦序列来说，要成为周期序列, ,02应为应为N N 221122jN njN nx neejj 11 2 ,11 2 ,0,1 NNNXj Xj Xkk 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en 对比对比K=1K=-111 2 ,11 2 , NNXNj XNj0,1NXNkk （7.7）因此，周期性正弦序列周期性正弦序列 在长度为在长度为N N 的任一周期内的任一周期内仅有仅有两个非零两个非零的系数

11、。的系数。 0sinx nn （7.7）因此，02 P N (2) ，且，且P、N 无公约数，无公约数， 是周期序列是周期序列 x n 221122jPN njPN nx neejj 1 2 ,1 2 ,0, NNNXPj XPj XkkP 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en （7.7）因此， （7.7）因此， （7.7）因此， 11112211 NNjknjknNNNNnNnNX kx n eeNN11212122122121sin21,0,2,1 sin21,0,2,NNjkjkjkNNNjkjkjkNNNNkNeeekNNNkNNeeeNkNNN，1122121= 1jk

12、NjkNNNjkNeeNe1221121,111,1nnnnn naaaaanna利用 （7.7）因此，110sin21/ 2211sin/ 2NNNN101001sin210212221NkNNkNkNN 第一个零点位置第一个零点位置峰值为峰值为2kN （7.7）因此，随着随着N 的增大，谱线的幅度和间隔的增大，谱线的幅度和间隔( )都都减小减小脉冲宽度脉冲宽度N1 越大，则频谱包络的主瓣宽度越大，则频谱包络的主瓣宽度( ) 越窄越窄 N21221N与连续周期矩形脉冲的结论类似与连续周期矩形脉冲的结论类似2-T-T1 1T T1 1E E0 02 txt连续、周期连续、周期非周期、离散非周期

13、、离散离散、周期离散、周期周期、离散周期、离散7.2.4 7.2.4 离散时间傅立叶级数的收敛性离散时间傅立叶级数的收敛性若用有限项级数来近似表示原信号序列，若用有限项级数来近似表示原信号序列，DFS DFS 不存在不存在收敛收敛问题，也问题，也不存在不存在吉布斯吉布斯现象，这也是它和连续时间傅立叶级数之间的一个差别现象，这也是它和连续时间傅立叶级数之间的一个差别 NxnN N 为周期的离散时间序列为周期的离散时间序列N N 个序列值是独立的个序列值是独立的信号的一个周期信号的一个周期DFS DFS 的系数的系数 也是以也是以N N 为周期的，它有为周期的，它有N N 个独立的值个独立的值 N

14、Xk NXk序列在时域中序列在时域中N N 个独立的值个独立的值频域中频域中N N 个独立的值个独立的值对应变换对应变换原离散时间信号可以用复指数序列线性原离散时间信号可以用复指数序列线性组合表示，而系数就是这组合表示，而系数就是这N N 个独立值个独立值周期性矩形脉冲序列的周期周期性矩形脉冲序列的周期N N 频谱谱线的间隔频谱谱线的间隔 时域中时域中 周期序列周期序列 非周期序列非周期序列 频域中频域中 离散频谱离散频谱 连续频谱，连续频谱， 谱线的幅度也将趋于无穷小量谱线的幅度也将趋于无穷小量DFS DFS 不适宜表述离散非周期信号，这种情况与连续时间信号的完全相似。不适宜表述离散非周期信

15、号，这种情况与连续时间信号的完全相似。采用与连续时间情况下对周期信号的傅立叶级数令周期趋于无穷大，从而引采用与连续时间情况下对周期信号的傅立叶级数令周期趋于无穷大，从而引出非周期信号的傅立叶变换完全相同的方法。出非周期信号的傅立叶变换完全相同的方法。由周期序列的由周期序列的DFSDFS来建立非周期离散时间信号的傅立叶变换表示式，称之为来建立非周期离散时间信号的傅立叶变换表示式，称之为离散时间傅立叶变换（离散时间傅立叶变换（DTFTDTFT）。2NN 7.3.1 7.3.1 非周期序列的离散时间傅里叶变换非周期序列的离散时间傅里叶变换周期延拓周期延拓 x n Nxn 11,0 ,NxnnNx n

16、nN随着周期随着周期N N 的增大，的增大， 就会在一个更长的时间段内与就会在一个更长的时间段内与 一致一致当当 时，在整个时间范围内或者说对于任意时，在整个时间范围内或者说对于任意 n n 值，值， Nrxnx nrN Nxn x nN Nxnx n 周期序列周期序列 N N 在区间在区间 所在的这个周期内，有所在的这个周期内，有 , ,将求和区间将求和区间 就选在该周期内就选在该周期内周期序列周期序列 的离散傅里叶级数为的离散傅里叶级数为 Nxn 2jkN nNNkNxnXk e 21jkN nNNnNXkxn eN2nN Nxnx nN 112211NjkN njkN nNNnNnXkx

17、n ex n eNN 2jkN nNnNXkx n eN 02Nd 0NXk NNXk jX eNkk/20非周期序列的离散时间傅立叶变换非周期序列的离散时间傅立叶变换DTFTDTFT jj nnX ex n e频谱密度函数频谱密度函数 把区间把区间 称为称为 的的主值区间主值区间 ：弧度为单位的：弧度为单位的数字频率数字频率 ：周期：周期 以以 为变量的连续函数为变量的连续函数 jX e2, 周期序列离散傅立叶级数的系数周期序列离散傅立叶级数的系数 就是与其相对应的非周期序列即有就是与其相对应的非周期序列即有限长序列的限长序列的DTFT DTFT 在点在点 的抽样值乘以的抽样值乘以1/N1/

18、N，非周期序列的，非周期序列的DTFT DTFT 则是与其相对应的周期序列的傅立叶级数系数的包络则是与其相对应的周期序列的傅立叶级数系数的包络 。 jj nnX ex n e 021jNkkNXkX eN NXkjX e0kjX e NNXk jjjjjRIX eX eeXejXe 21jkN nNNnNXkxn eN jj nnX ex n e7.3.2 非周期序列的离散时间傅里叶反变换非周期序列的离散时间傅里叶反变换变为一个非周期信号的离散时间傅立叶变为一个非周期信号的离散时间傅立叶反变换反变换 021jNkkNXkX eN 00012jkjknNkNxnX ee02N N 212jj n

19、x nX eedIDTFTIDTFTDTFTDTFTnNjkNkNNekXnx)/2()()(时域中的非周期序列时域中的非周期序列 可以分解为无穷多个频率从可以分解为无穷多个频率从 连续分布连续分布的的虚指数序列的线性组合虚指数序列的线性组合，每个虚指数分量的幅度，每个虚指数分量的幅度 积分区间可以是任何一个长度为积分区间可以是任何一个长度为 的区间，对应于的区间，对应于DFSDFS中中k k 的取值周期的取值周期N N。 212jj nx nX eedjX ej nejjnX ee x n0 212jX ed表明：表明：2周期周期连续周期函数连续周期函数2周期周期连续周期函数连续周期函数2

20、jj nnX ex n e 212jj nx nX eedIDTFTIDTFTDTFTDTFT7.3.3 7.3.3 非周期序列的离散时间傅里叶变换的收敛性非周期序列的离散时间傅里叶变换的收敛性对于无限长的非周期序列，并不一定能保证其对于无限长的非周期序列，并不一定能保证其DTFTDTFT都存在都存在如果序列如果序列 满足绝对可和条件，即满足绝对可和条件，即 或者若或者若 的能量有限，即的能量有限，即应该注意，由于有应该注意，由于有所以这里的绝对可和与平方可和的条件并不是等价的所以这里的绝对可和与平方可和的条件并不是等价的序列的绝对可和与平方可和只是离散时间傅立叶变换收敛的序列的绝对可和与平方

21、可和只是离散时间傅立叶变换收敛的充分条件充分条件，离散时间傅立叶变换存在的离散时间傅立叶变换存在的充分必要条件充分必要条件至今尚未找到。至今尚未找到。 x n x n nx n 2nx n 22nnx nx n jj nnX ex n e收敛收敛周期、离散周期、离散 周期周期N N非周期、连续非周期、连续 ：幅频、相频特性：幅频、相频特性 非周期、离散非周期、离散 ：频谱线：频谱线连续时间周期信号、连续时间非周期信号、离散周期信号、离散非周期时间连续时间周期信号、连续时间非周期信号、离散周期信号、离散非周期时间信号的傅立叶分析表示式，这些表示式在时域和频域上，均具有离散性和周信号的傅立叶分析表

22、示式，这些表示式在时域和频域上，均具有离散性和周期性、连续性和非周期性之间的一一对应关系。期性、连续性和非周期性之间的一一对应关系。周期、连续周期、连续 周期周期 txjXnXkTtx连续非周期函数连续非周期函数连续周期函数连续周期函数连续与离散傅氏分析比较连续与离散傅氏分析比较FSFSFTFTjeXDTFDTFT T nxN kXN nx时域的非周期时域的非周期频域的连续频域的连续频域的周期频域的周期频域的非周期频域的非周期频域的离散频域的离散时域的离散时域的离散时域的连续时域的连续时域的周期时域的周期离散周期序列离散周期序列离散非周期序列离散非周期序列DFSDFS2规律：规律：幅度谱、相位

23、谱都是以幅度谱、相位谱都是以22为周期的周期函数。因而一般只要画出为周期的周期函数。因而一般只要画出 或或 谱线图即可。谱线图即可。1 1、单边指数序列、单边指数序列 nx nan1a 1a 011( )()11cossinjnjnjnjnnX ean eaeaeaja 2112 cosjX eaasinarctan1cosaa 频谱函数频谱函数幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性0 2图（图（a a），由于序列值变化较慢，所以幅度谱集中在），由于序列值变化较慢，所以幅度谱集中在 附近，附近，即频谱能量主要集中在即频谱能量主要集中在低频低频附近，具有附近，具有低通特性低通特性；图（图（b b）

24、中，由于序列值正负交替，变化较快，故其幅度谱集中在）中，由于序列值正负交替，变化较快，故其幅度谱集中在 附近，即频谱能量主要集中在附近，即频谱能量主要集中在高频高频附近，具有附近，具有高通特性高通特性。 越接近于越接近于1 1，其幅频特性曲线越尖。，其幅频特性曲线越尖。0, 2 , 4 , , 3 , a 为一实偶序列，其频谱也是一个实偶函数，其相位谱为零。为一实偶序列，其频谱也是一个实偶函数，其相位谱为零。 时，双边指数序列的频谱图如图所示。时，双边指数序列的频谱图如图所示。2 2、双边指数序列、双边指数序列1a nx na10100022 11 =11111 1 2 cosnjj nnj

25、nnj nnnnnnjjnnnnjjjjnnX ea ea ea eaeaemnaeaeaeaeaaa 上等式第一个和式中作代换： x n01a3 3、矩形脉冲序列、矩形脉冲序列有限长序列有限长序列 11x nnNnN111111212122211222sin212 = 1sin2NNjjjjNNj Njj njjjjnNeeeNeeX eeeeee 的频谱为的频谱为1 1，这表明单位脉冲信号包含了所有的频率分量，而且，这表明单位脉冲信号包含了所有的频率分量，而且这些频率分量的幅度和相位都相同。这些频率分量的幅度和相位都相同。 的波形及频谱示于图中。的波形及频谱示于图中。4 4、单位样值序列、

26、单位样值序列 x nn 1jjnnX en e n n5 5、常数序列、常数序列 不满足绝对可和条件，不能直接应用公式不满足绝对可和条件，不能直接应用公式 离散直流信号（常数）离散直流信号（常数）1 1 频域中强度频域中强度 2kkk22， 1x n 21 122jlX elkkk22周期为周期为若若2区间上只一个区间上只一个 21112222j nj nlleded 2 1x n 1 1kkk2222jlX elkkk22周期周期6 6、符号函数序列、符号函数序列该序列可以看成是双边指数序列该序列可以看成是双边指数序列 2， 100010nx nsgn nnn nnanan 1lim,01n

27、naSgn nanana211112sinsinlimlim111 2 cos1 cosjjjaajajX eaeaeaa 11njDTFT anae 0011nnnjnjjnnDTFT ana eaeae 实奇函数实奇函数虚奇函数虚奇函数7 7、单位阶跃序列、单位阶跃序列应用上面所求出的三个序列即应用上面所求出的三个序列即1 1、 和和 的离散时间傅立叶变换的离散时间傅立叶变换2 x nn 112nsgn nn sgn n n1sin112221 cos2 1 cos1 2111 21jjkkjjjkjkjeX ekkekeeke 离散时间傅里叶变换有着与连续时间傅里叶变换相类似的特点，离散

28、时间傅里叶变换有着与连续时间傅里叶变换相类似的特点，推导得到的频谱也有着对应关系。推导得到的频谱也有着对应关系。但他们又有着根本的区别，离散时间信号的频谱是以但他们又有着根本的区别，离散时间信号的频谱是以22为周为周期的周期函数，这一点应期的周期函数，这一点应特别注意特别注意。2注意：注意：连续时间信号的傅立叶分析连续时间信号的傅立叶分析周期信号和非周期信号均可用其傅立叶变换来表示周期信号和非周期信号均可用其傅立叶变换来表示 周期信号的傅立叶变换表示式是利用在周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶变换表示式是利用在周期信号的傅立叶级数展开式两边取傅立叶变换的方法导出的。展开式两边取傅立叶变换的方

29、法导出的。类似地，类似地，周期序列的周期序列的DTFTDTFT利用在周期序列的傅立叶级数展开式两边取离利用在周期序列的傅立叶级数展开式两边取离散时间傅立叶变换得出周期序列的离散时间傅立叶变换，从而散时间傅立叶变换得出周期序列的离散时间傅立叶变换，从而也使周期序列与非周期序列都可以统一地用其离散时间傅立叶也使周期序列与非周期序列都可以统一地用其离散时间傅立叶变换来表示。变换来表示。1 1、 周期性虚指数序列的离散时间傅立叶变换周期性虚指数序列的离散时间傅立叶变换连续时间连续时间 离散域中离散域中021222j nlled kkk2200jte02 由于在任意一个长度为由于在任意一个长度为 的积分

30、区间内只含有一个单位样值信号，积分的积分区间内只含有一个单位样值信号，积分区间选择包含区间选择包含 处的单位样值信号处的单位样值信号02 r r 为任意整数对偶对偶kkk2202的频谱的频谱0jnejX e0022040nje0kkk2200000022212222 j nj nljr nj nrjnl edr ede e ekkk220002jnlDTFTl e27.5 周期序列的离散时间傅立叶变换周期序列的离散时间傅立叶变换 tjnnnTeXtx112nXnntje11122kknjkeDTFT2200 001001000 22 22 0-1 2 2 jknjNkNNkNlNNlkNNlk

31、X eXkDTFT eXkklXkklkNXkklNN 的取值范围选为 是周期函数是周期函数 NXk ,0, 1, 2,NNXkXklNl 2. 2. 一般周期序列的离散时间傅立叶变换一般周期序列的离散时间傅立叶变换周期序列周期序列DFSDFS两边同时取两边同时取DTFTDTFT 2jkN nNNkNxnXk e 1001100000 0:1: = NNkNNNNkkNlXkklXkkNXkNkNXkkk 211100003102:222 = 2 NkNNNNNkkNNkNkNlXkkNXkNkNXkkkkN 2 110000110 : = NNNNkkmNNkNlmXkkmNXkmNkmNX

32、kkkkmN m 周期函数周期函数 111000022 =2mNNjNNkkmNNkX eXkkXkkXkk + 0=2jNkX eXkk 1 1）周期序列）周期序列 的的DTFTDTFT由一系列冲激序列组成；由一系列冲激序列组成；2 2）各个冲激序列仅出现在）各个冲激序列仅出现在 的各次谐波频率点上即基波频率的各次谐波频率点上即基波频率 的整数倍频率上，位于频率的整数倍频率上，位于频率 处冲激序列强度为处冲激序列强度为 ；3 3）傅立叶级数的系数）傅立叶级数的系数 是以是以 为周期的（相当于为周期的（相当于 以以 为周期），为周期）， 是一个周期等于是一个周期等于 的周期函数。的周期函数。3

33、 3）与连续时间周期信号的傅立叶变换表示式完全对应，其含义也相同。）与连续时间周期信号的傅立叶变换表示式完全对应，其含义也相同。 类似于连续时间周期信号，对于类似于连续时间周期信号，对于 即可以利用其定义式求取，也可以即可以利用其定义式求取，也可以利用单个周期内信号的离散时间傅立叶变换求得，即利用单个周期内信号的离散时间傅立叶变换求得，即 Nxn02N 2kk N 2NXk NXkN2jX eN NXk 011jNkXkXeN tjnnnTeXtx112nXnn 0=2jNkX eXkk 7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换周期序列的离散时间傅立叶变换 nNjkNkNNekXnx/2连续周期连

34、续周期FSFS离散周期离散周期DFSDFS离散周期离散周期DTFTDTFT连续周期连续周期FTFTdtetxTXTTtjnn221111)(1dtetxXTTtj22011)()(1)(101nnXTX 011jNkXkXeN 21jkN nNNnNXkxn eNNnnjNjenxeX)()(1 011jNkXkXeN 12nXXnn 是周期序列是周期序列 在第一个周期内的信号的在第一个周期内的信号的DTFTDTFT1jXe Nxn00100102= =jkjkjkkX eXekNXek 周期序列（或信号）的周期序列（或信号）的DTFT(DTFT(或或FT)FT)与它的单个周期与它的单个周期内

35、序列（或信号）的内序列（或信号）的DTFT(DTFT(或或FTFT）之间的关系）之间的关系 0=2jNkX eXkk 1)(101nnXTX 110111012nnXnnXTXnn对比对比小小 结结 2jkN nNNkNxnXk e 21jkN nNNnNXkxn eNDFSDFS周期序列周期序列 jj nnX ex n e 212jj nx nX eedDTFTDTFT非周期序列、周期序列非周期序列、周期序列 0=2jNkX eXkk 011jNkXkXeN NnnjNjenxeX)()(1 21jkN nNNnNXkxn eN周期序列周期序列DTFTDTFT离散时间信号离散时间信号 的离散

36、时间傅立叶变换的离散时间傅立叶变换 对于对于 以以 为周期为周期 x njX e22jjX eX e1.1.周期性周期性 2.2.线性线性 11( )jDTFT x nXe22( )jDTFT x nXe1 1221122( )( )()()jjDTFT a x na x na X ea Xe3.3.位移（时移）性位移（时移）性 00()()j njDTFT x nneX e 表明表明：序列位移（时移）后其幅频特性保持不变，相频：序列位移（时移）后其幅频特性保持不变，相频特性附加一个线性相移，即时域位移对应频域相移。特性附加一个线性相移，即时域位移对应频域相移。4.4.频移性频移性 00( )

37、jjnDTFT ex nX e 表明：表明：时域调制对应于频域频移时域调制对应于频域频移 122lDTFTl002jnlDTFTl e2000sin22lDTFTnllj 000cos22lDTFTnll 正弦和余弦序列的波形及其频谱图正弦和余弦序列的波形及其频谱图 oxn1 1）共轭对称序列与共轭反对称序列）共轭对称序列与共轭反对称序列 时域时域复序列复序列任一复序列任一复序列 可以分解为一个共轭对称序列分量与一个共可以分解为一个共轭对称序列分量与一个共轭反对称序列分量和轭反对称序列分量和5. 5. 对称性对称性 nxe *ooxnxn nxnxee*共轭对称序列共轭对称序列共轭反对称序列共

38、轭反对称序列 *eeooxnxnxnxnxn eox nxnxn *1-2oxnx nxn nxnxnxe-21* nx 分解分解 jX ejjjeoX eXeXe jjeeXeXejjooXeXe 共轭对称分量共轭对称分量共轭反对称分量共轭反对称分量12 jjjeXeX eXe12 jjjoXeX eXeDTFTDTFT频域频域复函数复函数 nx 2 2 复序列离散时间傅立叶变换的对称性复序列离散时间傅立叶变换的对称性（1 1）若）若（2 2）复序列分解为实部分量和虚部分量）复序列分解为实部分量和虚部分量 rix nxnjx n 时域序列的实部分量和虚部分量与该序列时域序列的实部分量和虚部分

39、量与该序列频域函数的共轭对称分量和共轭反对称分量相对应频域函数的共轭对称分量和共轭反对称分量相对应 )(jeXnxDTFT )(*jnnjnnjeXenxenxnxDTFT )(*jnnjnnjeXenxenxnxDTFT )()()(2121*jejjreXeXeXnxnxDTFTnxDTFT )()()(2121*jojjieXeXeXnxnxDTFTnjxDTFT（3 3）()()()jjjRIX eXejXe eox nxnxn 时域序列的共轭对称分量和共轭反对称分量与时域序列的共轭对称分量和共轭反对称分量与 该序列频域函数的实部和虚部相对应该序列频域函数的实部和虚部相对应 )()()

40、(2121*jRjjeeXeXeXnxnxDTFTnxDTFT )()()(2121*jIjjoejXeXeXnxnxDTFTnxDTFT（4 4）实序列）实序列DTFTDTFT的对称性的对称性1 1）实序列）实序列 的的DTFTDTFT具有共轭对称性具有共轭对称性 x nx nxn= = 8.59 jjX eXex nxn在式中应用条件：()()()jjjRIX eXejXe()()jjRRXeXe ()()jjIIXeXe arg()()()jjX ejjX eX ee|()| |()|jjX eX e argargjjX eX e 实部实部 是是 的偶函数的偶函数虚部虚部 是是 的奇函数

41、的奇函数()jRXe()jIXe 幅频特性是幅频特性是 的偶函数，的偶函数， 相频特性是相频特性是 的奇函数的奇函数2 2）任一实序列总能分解为一个偶对称序列分量和一个奇对称序列）任一实序列总能分解为一个偶对称序列分量和一个奇对称序列分量之和，即分量之和，即 ( )( )( )eox nx nx n( )()eex nxnoo( )() x nxn奇对称序列奇对称序列偶对称序列偶对称序列 12exnx nxn 12oxnx nxn( )jeRDTFT x nXe( )joIDTFT x njXe实序列偶分量的实序列偶分量的DTFTDTFT为原序列傅立叶变换的实部分量为原序列傅立叶变换的实部分量

42、 奇分量的奇分量的DTFTDTFT为原序列傅立叶变换的虚部分量为原序列傅立叶变换的虚部分量 jRXejIjXe实实实实时域时域频域频域共轭对称共轭对称共轭反对称共轭反对称共轭对称共轭对称共轭反对称共轭反对称虚虚虚虚6.6.时域卷积特性时域卷积特性 y nx nh n jDTFT y nY e ,jDTFT h nH e()()()jjjY eX eH e 它不仅将时域的卷积运算简化为频域的乘法运算，提供了一种由频它不仅将时域的卷积运算简化为频域的乘法运算，提供了一种由频域计算零状态响应的简易方法，而且说明系统响应域计算零状态响应的简易方法，而且说明系统响应 是离散系统频率是离散系统频率响应响应

43、 对激励信号频谱对激励信号频谱 进行加权的结果。产生这种时域卷积进行加权的结果。产生这种时域卷积特性的根本原因是由于虚指数序列特性的根本原因是由于虚指数序列 是线性移不变系统的特征函数。是线性移不变系统的特征函数。注意：该特性不能直接应用于两个序列都是周期序列的情况，因为其卷积注意：该特性不能直接应用于两个序列都是周期序列的情况，因为其卷积和不收敛和不收敛()jY e()jH e()jX e x n7. 7. 频域卷积特性（调制特性）频域卷积特性（调制特性） y nx n z n jDTFTy nY e jDTFT x nX e ,jDTFT z nZ e()11()()* ()() ()22

44、jjjjjY eX eZ eX eZ ed频域卷积性质有两个重要应用频域卷积性质有两个重要应用: :其一是调制，即利用和正弦指数信号相乘对信号的频谱进行搬移，如其一是调制，即利用和正弦指数信号相乘对信号的频谱进行搬移，如频移性质；频移性质；其二是加窗，即利用和有限长的窗口函数相乘对时域信号进行截断，其二是加窗，即利用和有限长的窗口函数相乘对时域信号进行截断，如数字滤波器的设计。加窗的方法在信号分析、系统设计、离散傅里如数字滤波器的设计。加窗的方法在信号分析、系统设计、离散傅里叶变换等许多方面都有着重要应用，其主要原因在于不可能对一个无叶变换等许多方面都有着重要应用，其主要原因在于不可能对一个无限长的信号进行处理，故而