第16章虚位移原理.

1、第十六章第十六章 虚位移原理虚位移原理 系统的约束及其分类系统的约束及其分类 虚位移及其计算虚位移及其计算 虚功和理想约束虚功和理想约束 虚位移原理及其应用虚位移原理及其应用 自由度与广义坐标自由度与广义坐标 以广义力表示质点系的平衡条件以广义力表示质点系的平衡条件平衡的稳定性平衡的稳定性 引引 言言 静力学中以力的平行四边形法则和二力平衡公理为静力学中以力的平行四边形法则和二力平衡公理为基础研究了刚体和刚体系统的平衡，该部分内容称为基础研究了刚体和刚体系统的平衡，该部分内容称为几几何静力学何静力学。由几何静力学建立的平衡条件，对刚体的平由几何静力学建立的平衡条件，对刚体的平衡是必要与充分的，

2、但对任意质点系来说，仅仅是必要衡是必要与充分的，但对任意质点系来说，仅仅是必要的而不一定是充分的。下面所介绍的虚位移原理，是用的而不一定是充分的。下面所介绍的虚位移原理，是用分析的方法来研究任意质点系的平衡问题。这部分分析的方法来研究任意质点系的平衡问题。这部分内容内容称为称为分析静力学分析静力学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决质点意质点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移原理和达朗伯系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移原理和达朗伯原理相结合，可以导出动力学普遍方程和拉格朗

3、日方程，原理相结合，可以导出动力学普遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点系动力学问题的又一个普遍的方法。从而得到求解质点系动力学问题的又一个普遍的方法。16.1系 统 的 约 束 及 其 分 类 限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为约束约束。表示这些限制条件的表达式称为。表示这些限制条件的表达式称为约束方程约束方程。根据约束形式及其性质，约束可分以下类型：根据约束形式及其性质，约束可分以下类型： 一、几何约束与运动约束一、几何约束与运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束几何约束。如：。

4、如：Oxy),(yxMl222lyxO),(AAyxA),(BByxBrlxy0)()(222222BABABAAylyyxxryx 几何约束方程的一般形式为几何约束方程的一般形式为0),(111 nnnrzyxzyxf16.1系 统 的 约 束 及 其 分 类 不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的速度的约束称为运动约束各质点的速度的约束称为运动约束。),(BByxBBvOxyCrryB为几何约束方程。为几何约束方程。0rxB为运动约束方程。为运动约束方程。运动约束方程的一般形式为运动约束方程的一般形式为0),(111111 nnnnnn

5、rzyxzyxzyxzyxf 二、定常约束与非定常约束二、定常约束与非定常约束 约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。 约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。如如Oxy),(yxMu0l其约束方程为其约束方程为2022)(utlyx16.1系 统 的 约 束 及 其 分 类 非定常约束方程的一般形式为非定常约束方程的一般形式为0),(111 tzyxzyxfnnnr 三、双面约束与单面约束三、双面约束与单面约束 同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约束。为双面约

6、束。 只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动的约束称为单面约束。方向运动的约束称为单面约束。其其约束方程的一般约束方程的一般形式为形式为0),(111 nnnrzyxzyxf 四、完整约束与非完整约束四、完整约束与非完整约束 几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。为完整约束。 如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。且不可以积分，这种约束称为非完整约束。 本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。本章只研究定常的双

7、面的完整的几何约束问题。16.2虚 位 移 及 其 计 算 一、虚位移的概念一、虚位移的概念 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何微小的位移，称为该质点系的虚位移。何微小的位移，称为该质点系的虚位移。如如Oxy),(yxMrOABxyArBr 必须指出，虚位移和实位移都受约束的限制，是约束所必须指出，虚位移和实位移都受约束的限制，是约束所允许的位移，但二者是有区别的。实位移是在一定的力作用下允许的位移，但二者是有区别的。实位移是在一定的力作用下和给定的运动初始条件下，在一定的时间内发生的位移，具有和给定的运动初始条件下，在一定的时间

8、内发生的位移，具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。而虚位移纯粹确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。而虚位移纯粹是一个几何概念，它既不牵涉到系统的实际运动，也不涉及到是一个几何概念，它既不牵涉到系统的实际运动，也不涉及到力的作用，与时间过程和运动的初始条件无关，它一定是微小力的作用，与时间过程和运动的初始条件无关，它一定是微小值，在约束允许的条件下具有任意性。一个静止的质点或质点值，在约束允许的条件下具有任意性。一个静止的质点或质点系不会发生实位移，但可以有虚位移。在定常约束的情况下，系不会发生实位移，但可以有虚位移。在定常约束的情况下，微小实位移必定是虚位移中的一个。在非定常约

9、束的情况下，微小实位移必定是虚位移中的一个。在非定常约束的情况下，实位移与虚位移没有关系。实位移与虚位移没有关系。16.2虚 位 移 及 其 计 算 二、虚位移的计算二、虚位移的计算 1、几何法、几何法 这里仅讨论定常约束的情形。在此条件下，真实这里仅讨论定常约束的情形。在此条件下，真实位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位移的方法位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系。这种方法又称来求各质点虚位移之间的关系。这种方法又称虚速度虚速度法法。例如：。例如：OABxyArBrABABABvvtvtvrr 由于AB作平面运动，由速度投影定理)sin()(90cosc

10、osAABvvvcos)sin(ABABvvrr或者，由于 为AB的瞬心，故CCACBCvvBCvACvABBA即由正弦定理16.2虚 位 移 及 其 计 算cos)90sin()sin(ACACBC同样可得cos)sin(ACBCvvrrABAB 2、解析法、解析法 解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。例如分以求出虚位移之间的关系。例如),(AAyxA),(BByxBxyOAyBxl 椭圆规机构如图，坐标AByx ,有约束方程222lyxAB对上式进行变分运算得022AABByyxxtgxyyxBAAB16.2虚 位 移

11、及 其 计 算),(AAyxA),(BByxBxyOAyBxl或者把 表示成 的函数，也可求出虚位移间的关系。AByx ,因为coslxBsinlyA作变分运算sinlxBcoslyA所以tgyxAB 比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，且比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。较为简便，而解析法比较规范。16.3虚 功 和 理 想 约 束MFr 如图所示，设某质点受力如图所示，设某质点受力 作用，作用，并给该质点一个虚位移并给该质点一个虚位移 ，则力，则力 在虚在虚位移位移 上所作的功称为上所作的功称为虚功虚功，即，即FFrrrFW或或rFWcos 显然，虚

12、功也是假想的，它与虚位移是同阶无显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无穷小量穷小量。 如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束。其条件为其条件为0iiNrNW 常见的理想约束有：常见的理想约束有： 支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。16.4虚 位 移 原 理 具有双面、定常、

13、理想约束的质点系，具有双面、定常、理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的、必要与充分条件是：在某一位置处于平衡的、必要与充分条件是：所有作用于质点系上的主动力，在该位置的所有作用于质点系上的主动力，在该位置的任何虚位移中所作的虚功之和等于零。任何虚位移中所作的虚功之和等于零。其数其数学表达式为学表达式为0iirF或或0cosiiirF或用解析式表示为或用解析式表示为0)(iiiiiizZyYxX以上三式称为以上三式称为虚功方程虚功方程。虚位移原理也称。虚位移原理也称虚虚功原理功原理。16.5虚 位 移 原 理 的 应 用OABPQ 一、求主动力之间的关系一、求主动力之间的关系 例1 图示机构中

14、，已知OA=AB=l， AOB ，如不计各构件的重量和摩擦，求在图示位置平衡时主动力 与 的大小之间的关系。PQ 解1：以系统为研究对象，受的主动力有 、 。给系统一组虚位移如图。PQBrArC由虚位移原理0iirF，得0cosBArQrP AB作平面运动，瞬心在 点，则Csin2sin2llACBCvvrrABAB将以上关系代入前式得0)sin2cos(ArQP由于 ，于是得0ArQtgP216.5虚 位 移 原 理 的 应 用 亦可由速度投影定理求虚位移之间的关系：OABPQBrAr由速度投影定理2sincosABvvsin2ABABvvrr 解2：解析法。建立如图坐标。xy由于PXAQY

15、B且sinlxAcos2lyB对上两式作变分，得coslxAsin2lyB由0)(iiiiiizZyYxX，得0BBAAyYxX即0)sin2)(cos)(lQlP由于 ，于是得0QtgP216.5虚 位 移 原 理 的 应 用OxyPQABKCla 例2 图示机构中，当曲柄OC绕轴摆动时，滑块A沿曲柄自由滑动，从而带动杆AB在铅垂导槽K内移动。已知OC=a，OK=l，在C点垂直于曲柄作用一力 ，而在B点沿BA作用一力 。求机构平衡时，力 与 的关系。PPQQ 解1：（几何法）以系统为研究对象，受的主动力有 、 。给系统一组虚位移如图。PQCrArerrr其中reArrr由虚位移原理0iirF

16、，得0CArQrP式中arC2coscoslrreA故有0cos2QalP由于 ，于是得0PalQ2cos16.5虚 位 移 原 理 的 应 用 解2：解析法。建立如图坐标。OxyPQABKCla主动力作用点的坐标及其变分为ltgyA2coslyAcosaxCsinaxCsinayCcosayC主动力在坐标方向上的投影为PYAsinQXCsinQYC由0)(iiiiiizZyYxX，得0CCCCAAyYxXyY即0cos)cos()sin(sincos2aQaQlP亦即0cos2QalP由于 ，于是得0PalQ2cos16.5虚 位 移 原 理 的 应 用 解3：综合法。OxyPQABKCla

17、 本题用解析法计算 力的虚功，用几何法计算 力的虚功，此时虚功方程可以写为PQ0CAArQyY将PYAltgyA代入上式，得0)(CrQltgP即0cos2QalP可得同样的结果。图中，OD=DA=a，DB=b。不计结构自重和摩擦，求系统在图示位置平衡时力P和Q间的关系。（用虚位移原理）解析法或对瞬心的矩的虚功16.5虚 位 移 原 理 的 应 用 二、求系统的平衡位置二、求系统的平衡位置ABCDEWaabb 例3 图示平面机构，两杆长度相等。在B点挂有重W的重物。D、E两点用弹簧连接。已知弹簧原长为l，弹性系数为k，其它尺寸如图。不计各杆自重。求机构的平衡位置。ABCDEWFFxy 解：以系

18、统为研究对象，建立如图的坐标。 系统受力有主动力 ，以及非理想约束的弹性力 和 ，将其视为主动力。其弹性力的大小为WFF)cos2(lbkkF主动力作用点的坐标及其变分为sin)(bayBcos)(bayBcosaxDsinaxDcos)2(baxEsin)2(baxE16.5虚 位 移 原 理 的 应 用ABCDEWFFxy主动力在坐标方向上的投影为WYBFXDFXE由0)(iiiiiizZyYxX，得0EEDDBByYxXyY即0sin)2()sin(cos)(baFaFbaW亦即0sin2cos)(FbbaW因 ，故00sin2cos)(FbbaW将F代入，化简得)cos2(2)(lbk

19、bbaWtg16.5虚 位 移 原 理 的 应 用 三、求约束反力三、求约束反力 例4 试求图示多跨静定梁铰B处的约束反力。44433336ABCDEFG1P2P3PM 解：以梁为研究对象，解除B处约束，代之以相应的约束反力 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。BYABCDEFG1P2P3PMBY1r2rBr3rEr 由虚位移原理有0332211MrPrPrYrPBB由图知161181163,811,21223321BBBBrrrrrrrrrr96111621162BBEBrrrrrBrr16113Br9611于是得0)9611161181121(321BBrMPPYP从而有MPPPY

20、B96111611811213210Br16.5虚 位 移 原 理 的 应 用331224ABCDE2P1Pq 例5 图示多跨静定梁，试求A端处约束反力偶矩及铅垂反力。已知：kNP801kNP602mkNq10长度单位为m。 解：（1）求A端约束反力偶矩。ABCDE2P1PqAM3rDr2r1rBr 以梁为研究对象，解除A处限制转动的约束，代之以相应的约束反力偶矩 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。AM 由虚位移原理有0432211rqrPrPMA由几何关系得463232,321Brrr26313221213BDrrr16.5虚 位 移 原 理 的 应 用于是得0)843(21qPP

21、MA0故有mkNqPPMA40084321 （2）求A处铅垂反力。 解除A处铅垂的约束，代之以相应的约束反力 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。AY331224ABCDE2P1PqABCDE2P1PqAYAr1rBr3rDr2r 由虚位移原理有0432211rqrPrPrYAA由几何关系得ABBArrrrrr3232,21ABDrrrr313221213于是有0)3432(21AArqPPY0Ar故有kNqPPYA7 .10634322116.5虚 位 移 原 理 的 应 用 例6 求图示静定刚架支座D处的水平反力。Pm5m5ABCD 解：以刚架为研究对象，解除D处的水平约束，代之以

22、相应的约束反力 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。DXDXPABCDCEErDrCrBrAr 由虚位移原理有0cosEDDrPrX由运动学关系CDrrECrCCrECDCErCCECrCCECr于是有0)cos(DDrCCECPXAEECrDcos0且故0CCAEPXD于是支座D的水平反力为PXD2116.5虚 位 移 原 理 的 应 用 四、求桁架杆件的轴力四、求桁架杆件的轴力 例7 求图示桁架杆1和杆2的轴力。ahhh1P3P2P121P3P2P1S1Sr3r2r1r 解：以桁架为研究对象，解除1杆的约束，代之以相应的约束反力，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。 由虚位移

23、原理有0cos1332211rSrPrPrP由几何关系得rrrr3210)cos(1321rSPPP0r于是得)(cos321223211PPPahaPPPS16.5虚 位 移 原 理 的 应 用ahhh1P3P2P12 解除2杆的约束，代之以相应的约束反力，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。 由虚位移原理有0cos22211rSrPrP由几何关系得1P3P2P2S2Sr2r1rhr21hr 222ahr22cosaha0)2(221aShPhP0于是得ahPPS)2(21216.6自 由 度 与 广 义 坐 标 对于一个自由质点，要确定它在空间的位置，对于一个自由质点，要确定它在空间

24、的位置，需要三个独立的直角坐标。对于由需要三个独立的直角坐标。对于由n个质点组成的自个质点组成的自由质点系，则需要由质点系，则需要3 n个独立的直角坐标来确定每个个独立的直角坐标来确定每个质点在空间的位置。但对于非自由质点系来说，由质点在空间的位置。但对于非自由质点系来说，由于约束的存在，于约束的存在， 3 n个坐标就不都是相互独立的，它个坐标就不都是相互独立的，它们必须满足约束方程。例如：们必须满足约束方程。例如：O),(AAyxA),(BByxBrlxy 确定具有完整约束的质点系确定具有完整约束的质点系位置所需要独立坐标的个数称为位置所需要独立坐标的个数称为该质点系的自由度数该质点系的自由

25、度数，简称，简称自由自由度度。图示机构具有一个自由度。图示机构具有一个自由度。 在一般情况下，若质点系由在一般情况下，若质点系由n个质点组成，受个质点组成，受到到s个几何约束，且个几何约束，且 ，则在，则在3 n个坐标中只有个坐标中只有 ns3 个坐标是独立的，因此个坐标是独立的，因此 即为该质点系即为该质点系的自由度。而对于平面问题的自由度。而对于平面问题 。snk 3ksnk 216.6自 由 度 与 广 义 坐 标 用来确定质点系位置的独立参变量称为该质点用来确定质点系位置的独立参变量称为该质点系的广义坐标。在完整约束的情况下，质点系广义系的广义坐标。在完整约束的情况下，质点系广义坐标的

26、数目等于该质点系的自由度。坐标的数目等于该质点系的自由度。Oxy2l1l),(AAyxA),(BByxB 例如，图示双摆，有两个自由度，可取 ， 为广义坐标来确定系统的位置。不唯一。121211sinlxA11coslyA2211sinsinllxB2211coscosllyB 在一般情况下，若由 个质点组成的质点系，具有 个自由度，取 为广义坐标。对于定常的完整约束，质点系中各个质点的直角坐标及其矢径可以写成如下的广义坐标的函数形式nkkqqq,21 ),(),(),(),(21212121kiikiikiikiiqqqrrqqqzzqqqyyqqqxx),2, 1(ni 16.6自 由 度

27、 与 广 义 坐 标 必须指出，广义坐标的选取不是唯一的，要根据必须指出，广义坐标的选取不是唯一的，要根据解题的方便任意选取，广义坐标的单位可以是长度，解题的方便任意选取，广义坐标的单位可以是长度，也可以是角度。但广义坐标必须具备两个条件：一是也可以是角度。但广义坐标必须具备两个条件：一是所选取的一组广义坐标能够完全确定质点系的位置，所选取的一组广义坐标能够完全确定质点系的位置，二是各广义坐标之间必须相互独立。二是各广义坐标之间必须相互独立。 类似于多元函数求微分的方法，可对上式进行变类似于多元函数求微分的方法，可对上式进行变分运算，如对第一式求变分，得分运算，如对第一式求变分，得kkiiii

28、qqxqqxqqxx 2211 上式建立了质点坐标的变分与其广义坐标的之间上式建立了质点坐标的变分与其广义坐标的之间的关系，即质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中的关系，即质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中虚位移之间的关系。虚位移之间的关系。 对上式中各式都进行同样的变分运算，得对上式中各式都进行同样的变分运算，得16.6自 由 度 与 广 义 坐 标kjjjiikjjjiikjjjiikjjjiiqqrrqqzzqqyyqqxx1111),2, 1(ni 式中，式中， 称为称为广义虚位移广义虚位移。上式表明，质点系的虚位上式表明，质点系的虚位移都可以用质点系的广义虚位移表示。如双摆移都可以

29、用质点系的广义虚位移表示。如双摆jq16.7以广义力表示质点系的平衡条件jkjjiiqqrr10iirFW将将代入代入得得0)(11111 kjjnijiijkjiniiiniiqqrFqqrFrFW在上式中，令在上式中，令jiniijqrFQ1则则 称为对应于广义坐称为对应于广义坐标标 的的广义力广义力。显然，。显然，广义力的数目与广义坐标的广义力的数目与广义坐标的数目相等，等于系统的自由度数目相等，等于系统的自由度。jQjq则011kjjjiniiqQrFW 上式中，由于广义坐标是相互独立的，广义虚位上式中，由于广义坐标是相互独立的，广义虚位移是任意的，要使上式成立，必须有移是任意的，要使

30、上式成立，必须有021 jQQQ即：即：具有理想约束的质点系平衡的必要与充分条件是：具有理想约束的质点系平衡的必要与充分条件是：对应于所有广义坐标的广义力都等于零对应于所有广义坐标的广义力都等于零。16.7以广义力表示质点系的平衡条件 因为因为 且且 均为广义坐均为广义坐标的函数，所以标的函数，所以kzjyixriiiiiiizyx,kqzjqyiqxqrjijijijikZjYiXFiiii将将 和上式代入和上式代入jiniijqrFQ1得广义力的表达式得广义力的表达式)(1jiijiijiniijqzZqyYqxXQ 若作用在质点系上的主动力均为有势力，质点若作用在质点系上的主动力均为有势

31、力，质点系在任一位置的势能为系在任一位置的势能为 ，则有，则有ViixVXiiyVYiizVZ代入上式得代入上式得jjiijiijiniijqVqzzVqyyVqxxVQ)(1即：即：对应于某一广义坐标的广义力，等于势能对该对应于某一广义坐标的广义力，等于势能对该广义坐标的偏导数冠以负号广义坐标的偏导数冠以负号。16.7以广义力表示质点系的平衡条件 对于保守系统，由对于保守系统，由 得，表得，表示系统的平衡条件为示系统的平衡条件为021 jQQQ0jqV),2, 1(kj 即：即：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是：势能对于每个广义坐标的偏导数

32、分别等于零。件是：势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。 广义力的计算方法：广义力的计算方法： 1、解析法、解析法 用式用式 计计)(1jiijiijiniijqzZqyYqxXQ算，此时需将各质点的直角坐标表示为广义坐标的算，此时需将各质点的直角坐标表示为广义坐标的函数。函数。 2、保守系统的解析法、保守系统的解析法 当作用于质点系上的全当作用于质点系上的全部力为有势力时，可用式部力为有势力时，可用式 计算，计算，此时需将势此时需将势能表示为广义坐标的函数。能表示为广义坐标的函数。jjqVQ16.7以广义力表示质点系的平衡条件 3、几何法、几何法 利用虚功进行计算，这种方法直利用虚功进行计

33、算，这种方法直观，对主动力有势和无势的情况都适用，计算比较观，对主动力有势和无势的情况都适用，计算比较方便，在解决问题时常采用这种方法。方便，在解决问题时常采用这种方法。 由于广义坐标由于广义坐标 是相互独立的，因此可是相互独立的，因此可取一组特殊的虚位移，令取一组特殊的虚位移，令jqqq,21 0, 0321 jqqqq，这时就可以计算所有主动力在相应的虚位移中所，这时就可以计算所有主动力在相应的虚位移中所做虚功的和，用做虚功的和，用 表示，则有表示，则有)1(W11)1(qQW由此可求出广义力由此可求出广义力1)1(1qWQ用同样的方法可求出全部的广义力。用同样的方法可求出全部的广义力。16.7以广义力表示质点系的平衡条件 例8 图示双摆，摆锤A、B分别重 、 ，今在B点沿水平方向作用一已知力 ，且三力在同一平面内，试求系统平衡时，两摆杆与铅垂线的夹角 和 各为多大。 1P2P3P12Oxy2l1lAB121P2P3P 解1：几何法 以系统为研究对象，取 、 为广义坐标。210, 021 令 ，此时系统的虚位移图如图所示。 OxyAB121P2P3P1AsBs 由图得 ，则11lssBA1