高等油藏物理第7章差分格式的构造

1、第第7 7章章 差分格式构造方法差分格式构造方法1.1.泰勒级数展开法泰勒级数展开法 对于一个偏微分方程，可以建立不同的差分方程，它们的对于一个偏微分方程，可以建立不同的差分方程，它们的解都是原偏微分方程的近似解，可以用不同的方法得到相同的解都是原偏微分方程的近似解，可以用不同的方法得到相同的差分方程。差分方程。00,txuautx ,0u xf x双曲型一维平流方程及初值条件双曲型一维平流方程及初值条件 xt0 x2 xt2 t, j nx空间步长。空间步长。 t时间步长。时间步长。 ,jnx t网格节点网格节点 简记为简记为 。函数值记为。函数值记为, j n,njjnuu x tu j

2、x n t对函数对函数u u在空间做泰勒级数展开在空间做泰勒级数展开234111,26nnnnnjjnjxxxjjjuu xx tuuxuxuxOx 234111,26nnnnnjjnjxxxjjjuu xx tuuxuxuxOx 一阶中心差商一阶中心差商1123126nnnnjjxxjjuuuuxOxx1122nnnjjxjuuuOxx当当 趋于零时，截断误差趋于零时，截断误差 也趋于零，因此说差商与微商也趋于零，因此说差商与微商是相容的。是相容的。 一阶偏导数的中心差商表达。它具有一阶偏导数的中心差商表达。它具有 阶的截断阶的截断误差，记为误差，记为 或者说距离有二阶精度。或者说距离有二阶

3、精度。2x2()Rx xR具有一阶精度，具有一阶精度，差商与微商是相容的。差商与微商是相容的。 234111,26nnnnnjjnjxxxjjjuu xx tuuxuxuxOx 一阶向前差商一阶向前差商1nnnjjxjuuuOxx234111,26nnnnnjjnjxxxjjjuu xx tuuxuxuxOx 一阶向后差商一阶向后差商1nnnjjxjuuuOxx具有一阶精度，具有一阶精度，差商与微商是相容的。差商与微商是相容的。 234111,26nnnnnjjnjxxxjjjuu xx tuuxuxuxOx 二阶中心差商二阶中心差商11222nnnnjjjxjuuuuOxx234111,26

4、nnnnnjjnjxxxjjjuu xx tuuxuxuxOx 具有二阶精度，具有二阶精度，差商与微商是相容的。差商与微商是相容的。 对时间的一阶向前差分对时间的一阶向前差分 1nnnjjtjuuuOtt用差商代替微商，双曲型一维平流方程及初值条件可写为三种用差商代替微商，双曲型一维平流方程及初值条件可写为三种形式。形式。 00,txuautx ,0u xf x（1 1）中心差分格式（中心）中心差分格式（中心）111002nnnnjjjjjjuuuuatxuf x写为写为11102nnnnjjjjjja tuuuuxuf x格式截断误差格式截断误差2,ROtx j1j 1j n1n00,txu

5、autx ,0u xf x（2 2）向前差分格式（右偏）向前差分格式（右偏）110nnnnjjjjjjtuuauuxuf x格式截断误差格式截断误差,ROtx j1j n1n（3 3）向后差分格式）向后差分格式（左偏）（左偏）110nnnnjjjjjjtuuauuxuf x格式截断误差格式截断误差,ROtx j1j n1n 只要已知第只要已知第n n层的值就可以计算层的值就可以计算n+1n+1层上的值，层上的值，这样从初始条件开始可以逐层计算下去，不必求解这样从初始条件开始可以逐层计算下去，不必求解方程组。这种格式叫做显式。方程组。这种格式叫做显式。 构成差分格式的泰勒级数展开法是一种最常用构

6、成差分格式的泰勒级数展开法是一种最常用的方法。它简单但不包含物理意义得到的差分格式的方法。它简单但不包含物理意义得到的差分格式的相容性、收敛性和稳定性还需进一步考证。的相容性、收敛性和稳定性还需进一步考证。 2.2.多项式插值法多项式插值法j1j 1j n1n把待求函数表示成含有待定系数的把待求函数表示成含有待定系数的多项式解析函数多项式解析函数由节点函数值确定该系数由节点函数值确定该系数对此函数求偏导数，得到逼近偏导对此函数求偏导数，得到逼近偏导数的差商表达数的差商表达将差商代入偏微分方程中求出差分将差商代入偏微分方程中求出差分方程。方程。 在第在第n层上有层上有j-1、j、j+1三个节点，

7、设在此区间可用抛物插三个节点，设在此区间可用抛物插值公式来近似值公式来近似2,nu x tabxcx2121njnjnjuab xc xuauab xc x 解出待定系数解出待定系数2,nu x tabxcx 11211222njnnjjnnnjjjuabuuxcuuux微分微分u，并计算在，并计算在j点（点（x=0）的值得）的值得11022nnnxjjjxubcxuux 21122nnnnxjjjjucuuux 如果选用一次插值和不同的星座，则可得到一阶向前或如果选用一次插值和不同的星座，则可得到一阶向前或向后差商。同理也可得到时间向前差商。向后差商。同理也可得到时间向前差商。 用高阶多项式

8、插值可得到高阶差分表达式。但高阶多项式用高阶多项式插值可得到高阶差分表达式。但高阶多项式插值具有龙格不稳定性，使得插值对计算误差十分敏感。在计插值具有龙格不稳定性，使得插值对计算误差十分敏感。在计算流体力学中除了边界附近的导数外，一般不采用多项式插值算流体力学中除了边界附近的导数外，一般不采用多项式插值方法导出差商表达式。方法导出差商表达式。3.3.待定系数法待定系数法j1j n1n设差分格式形式为设差分格式形式为 110nnnjjjuuu12nnnjjtjuuutOt 泰勒展开泰勒展开 21nnnjjxjuuuxOx 代入差分格式代入差分格式 22,nnnjtxjjut ux uOxt 00

9、,txuautx 01txa 解得解得 1,1,ttaxax 110nnnnjjjjuuuuatx 这种方法不是分别地逼近每一个微商，而是代替整这种方法不是分别地逼近每一个微商，而是代替整个偏微分方程，可一次完成，整体性较好。个偏微分方程，可一次完成，整体性较好。 4.4.积分方法积分方法j1j n1n 积分方法是在积分的意义下，而不积分方法是在积分的意义下，而不是在微分的意义下近似地满足控制方程。是在微分的意义下近似地满足控制方程。仍然以右边微分格式为例。仍然以右边微分格式为例。 0txuau()0txuau dxdt()()0jnnfjnnfxxttttxttxxttxu dt dxau

10、dx dt11()()0jnjnxxttnnnnjjjjxtuudxauudt11()()0nnnnjjjjuuxa uut 积分方法容易保证物理量的守恒。积分方法容易保证物理量的守恒。 5.5.特征线方法特征线方法0txuau0a 双曲线方程存在着特征曲线，沿特征曲线函数值保持不变。双曲线方程存在着特征曲线，沿特征曲线函数值保持不变。 dxadt令令积分得积分得 xat这一直线称为特征线。这一直线称为特征线。0txdxuudt0dudtuc函数沿特征线不变函数沿特征线不变 ( )()( )( )( )a tu Pu Du Bu Bu Axj1j 1j n1nABC特征线特征线DPt用结点值形

11、式写出用结点值形式写出 11()nnnnjjjjtuuauux a0时特征线斜率为正，左偏格式星座逆风偏斜，使得第时特征线斜率为正，左偏格式星座逆风偏斜，使得第n层上的格点层上的格点A、B包含着包含着D点，这样保证了物理上的合理性，点，这样保证了物理上的合理性，即上游信息对下游的影响，因此利用特征线法构造的格式满足即上游信息对下游的影响，因此利用特征线法构造的格式满足收敛条件。收敛条件。 如果如果a0，过，过P点的特征线交于点的特征线交于BC中，可用中，可用B、C两点插两点插值得到右偏的逆风格式。值得到右偏的逆风格式。 j1j 1j n1nABC特征线特征线DPt 如果选用如果选用A、C两点插

12、值求两点插值求D点点的值，就得到的值，就得到Lax-Friedrichs格式格式 ( )()( )( )22xa txa tu Pu Du Cu Axx 用结点形式写出用结点形式写出111111()()22nnnnnjjjjjatuuuuux 无论无论a是正或负，只要是正或负，只要D点位于点位于A、C之间，之间，L-F格式都可格式都可以满足收敛必要条件以满足收敛必要条件 6.6.控制体积法控制体积法 通过研究流体微元体积中的物理量的守恒关系，建立平衡通过研究流体微元体积中的物理量的守恒关系，建立平衡方程，然后取极限使微元体积趋于零，得到连续的偏微分方程。方程，然后取极限使微元体积趋于零，得到连

13、续的偏微分方程。（从离散到连续）（从离散到连续） 在解决实际问题时可以从这些微分方程出发，在给定的初在解决实际问题时可以从这些微分方程出发，在给定的初边值条件下建立相应的差分格式，然后求解。（从连续到离散）边值条件下建立相应的差分格式，然后求解。（从连续到离散） 控制体积法不是以连续的微分方程为依据的，而是以物理控制体积法不是以连续的微分方程为依据的，而是以物理量守恒规律为依据的，直接建立离散的数学模型。它更能体量守恒规律为依据的，直接建立离散的数学模型。它更能体现数值模拟的特点。现数值模拟的特点。 考虑一维平流问题，设流体以速度考虑一维平流问题，设流体以速度a沿沿x轴正方向流动。流轴正方向流

14、动。流体中某一物理量，如一物质浓度体中某一物理量，如一物质浓度u(x,t)在流动中满足守恒律。在流动中满足守恒律。 把节点值把节点值近似看作是控制体积中的平均值近似看作是控制体积中的平均值 (, )ju x txyzjxjxx 2jxxjxx 2jxx增量：增量： (,)(, )jju x ttu x tx y z 流入：流入：(, )2jxau xty z t 流出：流出：(, )2jxau xty z t (, )(, )22jjxxa u xty z tu xty z t 流入流出的差：流入流出的差： (,)(, ) (, )(, )22jjjjxxu x ttu x txa u xtu

15、 xtt 由守恒律得到由守恒律得到xyzjxjxx 2jxxjxx 2jxx (,)(, ) (, )(, )22jjjjxxu x ttu x txa u xtu xtt 界面上的函数值可以取相邻两结点值的算数平均界面上的函数值可以取相邻两结点值的算数平均 1(, ) (, )(, )22jjjxu xtu x tu xx t1(, ) (, )(, )22jjjxu xtu x tu xx t(,)(, ) (, )(, )2jjjjatu x ttu x tu xx tu xx tx用用(j，n)标记得到标记得到1112nnnnjjjjatuuuux一维平流方程的中心差分格式一维平流方程

16、的中心差分格式 (,)(, ) (, )(, )22jjjjxxu x ttu x txa u xtu xtt 界面上界面上u值选不同的近似，可得到不同的差分格式值选不同的近似，可得到不同的差分格式 (, )(, )(1) (, )2jjjxu xtau xx ta u x t(, )(, )(1) (, )2jjjxu xtau x ta u xx ta=1/2时时 中心差商格式中心差商格式a=1时时 右偏格式右偏格式a=0时时 左偏格式。左偏格式。 用控制体积法构造差分方程，用控制体积法构造差分方程，是直接从物理守恒规律出发的。是直接从物理守恒规律出发的。可以用来构造守恒式格式，它保可以用

17、来构造守恒式格式，它保证了物理量的守衡律证了物理量的守衡律. 7.7.差分算子差分算子00,txuautx 可以用微分算子可以用微分算子L写成写成 ( )0L u Latx其中其中 叫做一维平流运动微分算子叫做一维平流运动微分算子 空间平移算子空间平移算子及其逆算子及其逆算子jjT uujjTuu恒等算子恒等算子 jjIuu延时算子延时算子 1nntTuu11nntT uu1112nnnnjjjja tuuuux中心差分格式中心差分格式 11()2nnjjauITTu1nnjjuSu1()2aSITT可写为可写为或或()SIaTI1()SIaIT右偏格式右偏格式左偏格式左偏格式L-F格式格式

18、111()()22aSTTTT利用延时算子利用延时算子 nntjjTuSu移项整理移项整理 ()0ntiTSut()/htLTSt令令 ()0nhjL u下标下标h表示有限差分法表示有限差分法中的中的 tx、2. 2. 差分格式的相容性与截断误差差分格式的相容性与截断误差 适定的线性偏微分方程的初值问题适定的线性偏微分方程的初值问题 ( )0,0,( ,0)( ).L vtxv xf x 方程中只含有未知函数及其各阶偏导数的一次项，则称为是方程中只含有未知函数及其各阶偏导数的一次项，则称为是线性偏微分方程。相应线性偏微分方程。相应L称为线性偏微分方程。相应称为线性偏微分方程。相应L称为线称为线

19、性微分算子，它满足叠加原理，即性微分算子，它满足叠加原理，即1212()( )(),LvvL vL vK 如果一个微分问题满足下列三个条件，则称这个微分问题如果一个微分问题满足下列三个条件，则称这个微分问题是适定的是适定的 存在一个有限的解，即存在一个有限的解，即在求解域中解在求解域中解v是唯一的。是唯一的。解对于定解条件是连续相依的，当定解条件有微小变化时，解对于定解条件是连续相依的，当定解条件有微小变化时，解的变化也是微小的解的变化也是微小的 ( , )v x tM解的存在，唯一和连续性解的存在，唯一和连续性 对于适定的微分问题，可以构造差分格式。但离散格式对于适定的微分问题，可以构造差分

20、格式。但离散格式是否适用，还需要解决三个问题是否适用，还需要解决三个问题: 当当 时，差分方程应充分逼近微分方程（时，差分方程应充分逼近微分方程（相容性）相容性）差分格式的真解应充分逼近微分方程精确解（差分格式的真解应充分逼近微分方程精确解（收敛性）收敛性）差分格式的近似解与其真解之间的误差有界（差分格式的近似解与其真解之间的误差有界（稳定性）稳定性）0h 采用采用v表示微分问题的精确解表示微分问题的精确解w表示差分格式的真解，即初始条件无误差，计算精确表示差分格式的真解，即初始条件无误差，计算精确无舍入误差的理想解无舍入误差的理想解u表示考虑了初值误差和计算舍入误差的实际的差分格表示考虑了初

21、值误差和计算舍入误差的实际的差分格式的近似解。式的近似解。 对于足够小的对于足够小的h，微分算子，微分算子L和相应的差分算子和相应的差分算子Lh作用于所作用于所有充分光滑的函数有充分光滑的函数v，则有，则有 12( )( ),(,)pphL vL vRROtx R为截断误差，并称差分格式为截断误差，并称差分格式Lh对时间有对时间有p1阶精度，对空间有阶精度，对空间有p2阶精度阶精度 .0h 当当 时时( )( )0hRL vL v则称差分算子则称差分算子Lh与微分算子与微分算子L是相容的（协调的）。是相容的（协调的）。 相容性保证了差分方程充分接近微分方程。定义相容性相容性保证了差分方程充分接

22、近微分方程。定义相容性时，时，v是任意的光滑函数，不一定是微分方程的解是任意的光滑函数，不一定是微分方程的解v代入差分代入差分格式中来计算截断误差，即差分算子作用于微分方程的解，格式中来计算截断误差，即差分算子作用于微分方程的解，得到截断误差。得到截断误差。 例例1 考虑一维扩散方程考虑一维扩散方程22,txxvLvtx 时间导数用向前差商，空间二阶偏导数用二阶中心差商时间导数用向前差商，空间二阶偏导数用二阶中心差商来逼近，得到古典差分格式：来逼近，得到古典差分格式： 111220nnnnnjjjjjvtx泰勒级数展开泰勒级数展开 12212342(4)1342(4)11()()()21()()()() ()