二次函数中考精品压轴题(四边形的存在性问题)解析精选.

1、二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选【例 1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线2与 x轴交于 A B 两点，与 yy= x +2x+3轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（ 1）求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标；（ 2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 l AC 交抛物线于点Q，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由（ 3）请在直线AC 上找一点M ，使 BDM 的周长最小，求出M 点的坐标【答案】 解：（ 1）当 y=

2、0 时， x2+2x+3=0 ，解得 x1= 1， x2=3 。点 A 在点 B 的左侧， A B 的坐标分别为（1，0），（ 3，0）。当 x=0 时， y=3。 C 点的坐标为（ 0， 3）。设直线 AC 的解析式为 y=k 1x+b1 （k10），则b1 =3k1=3，解得。k1+b1=0b1=3直线 AC 的解析式为 y=3x+3 。22，顶点 D 的坐标为（ 1，4）。 y= x +2x+3=（ x 1） +4（ 2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，当点 Q 在 Q1 位置时， Q1 的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（ 2， 3）；当点 Q 在点 Q2 位置时，点Q2 的纵

3、坐标为 3，代入抛物线可得点 Q2 坐标为（ 1+7 ， 3）；当点 Q 在 Q3 位置时，点Q3 的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3 的坐标为（ 17 ， 3）。综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q1（ 2，3），Q2（ 1+7 ， 3），Q3（ 17 ， 3）。（ 3）点 B 作 BBAC 于点 F，使 BF=BF，则 B为点 B 关于直线 AC 的对称点连接 BD交直线 AC 与点 M ，则点 M 为所求。过点 B作 BE x 轴于点 E。 1 和 2 都是 3 的余角， 1= 2。 RtAOC Rt AFB 。 CO = CA 。BF AB由 A（ 1，0），B（ 3，0

4、），C（ 0，3）得 OA=1 ，OB=3 ，OC=3， AC= 10 ， AB=4 。 3 = 10 ，解得 BF= 6 10 。 BB=2BF=12 10 ，BF455由 1= 2 可得 Rt AOC Rt BEB， AO = CO = CA 。BE BE BB131012， BE=36。 OE=BE OB=36 3=21=BE=。 BE=555B E12 1055 B点的坐标为（21， 12）。55设直线 BD的解析式为y=k 2x+b2（ k20），则k 2 +b2 =4k2= 421+b212 ，解得13 。k 2=b24855=13直线 B'D 的解析式为： y=4x+48

5、 。1313联立 B'D 与 AC 的直线解析式可得：y3x39x=448 ，解得35。y=13 x+ 13y= 13235 M 点的坐标为（9 ，132）。3535【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质， 轴对称的性质， 直角三角形两锐角的关系，三角形三边关系，勾股定理， 相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线y= x2+2x+3 与 x 轴交于 A B 两点可求得 A B 两点的坐标，同样，由由抛物线2y= x +2x+3 与 y 轴交于点 C 可求得 C

6、点的坐标。用待定系数法，可求得直线AC 的解析式。由22y= x +2x+3= （ x 1）+4 可求得顶点 D 的坐标。（2）由于点 P 在 x 轴上运动，故由平行四边形对边平行的性质求得点Q 的坐标。（ 3）点 B 作 BB AC 于点 F，使 B F=BF，则 B为点 B 关于直线 AC 的对称点连接BD交直线 AC 与点 M ，则根据轴对称和三角形三边关系，知点M 为所求。因此，由勾股定理求得AC=10，AB=4 。由 RtAOC Rt AFB 求得 BF= 6 10，从而得51210。由 Rt AOC Rt BEB得到123636 3=21，从到 BB=2BF=5BE= ， BE=，

7、 OE=BE OB=5555而得到点 B的坐标。用待定系数法求出线BD的解析式，与直线AC 的解析式即可求得点M 的坐标。【例 2】 .如果一条抛物线 y=ax2 +bx+c a0 与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形 ”（ 1） “抛物线三角形 ”一定是三角形；（ 2）若抛物线 y=x 2 +bx(b>0) 的 “抛物线三角形 ”是等腰直角三角形，求b 的值；（ 3）如图， OAB 是抛物线y=x 2 +b'x(b'>0) 的 “抛物线三角形 ”，是否存在以原点 O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，

8、求出过O、C、 D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由【答案】 解：（ 1）等腰。（ 2）抛物线y=x 2 +bx(b>0) 的 “抛物线三角形 ”是等腰直角三角形，bb2满足bb2该抛物线的顶点，=（b 0）。2424 b=2。（ 3）存在。如图，作 OCD 与 OAB 关于原点O 中心对称，则四边形ABCD 为平行四边形。当 OA=OB 时，平行四边形 ABCD 为矩形。又 AO=AB ， OAB 为等边三角形。作 AE OB，垂足为 E， AE3OE ，即 b'2= 3 b'b'>0， b'=23 42A 3，3，B 2 3，0，C3，-

9、 3 ，D23，0。设过点 O、 C、 D 三点的抛物线 y=mx2 +nx ，则12m2 3n=0m=1。，解得，3m3n= 3n=23所求抛物线的表达式为y=x 2 +23x。【考点】 二次函数综合题，新定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中心对称的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。【分析】（ 1）抛物线的顶点必在抛物线与x 轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形 ”一定是等腰三角形。（ 2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b 0，那么其顶点在第一象限，而这个 “抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等

10、量关系来列方程解出 b 的值。（ 3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足 OA=OB，结合（1）的结论， 这个 “抛物线三角形 ”必须是等边三角形，首先用 b表示出 AE、OE的长，通过 OAB 这个等边三角形来列等量关系求出 b的值，进而确定 A、B 的坐标，即可确定 C、D 的坐标，利用待定系数即可求出过 O、 C、D 的抛物线的解析式。【例 3】已知，在 RtOAB 中， OAB=90° ， BOA=30° ，AB=2 若以 O 为坐标原点， OA 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象

11、限内将Rt OAB 沿 OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处（ 1）求点C 的坐标；（ 2）若抛物线yax2bx(a0) 经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（ 3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点 P 为线段DB上一动点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 解：（ 1）过 C 作 CH OA 于 H，在 Rt OAB 中， OAB=90°， BOA=30°， AB=2 ， OA= 2 3 。将 Rt OAB 沿 OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处， OC=OA= 2 3 ， AOC=60° 。 OH= 3 ， CH=3 。 C 的坐标是（3 ，3）。（ 2）抛物线yax2bx(a 0)经过C（ 33A（230， ）、， ）两点，3=3a+3ba=1。此抛物线的解析式为y= x 2 +2 3x，解得0=12a+23bb=23（ 3）存在。 y=x 2 +23x 的顶点坐标为（3， 3），即为点 C。