乘法公式中考新题型赏析

1、乘法公式中考新题型赏析例题：（湖北省孝感市中考试题）在实数范围内定义运算“”，其规则为：a b a2b2 ，则方程 (4 3) x 13 的解为x 6分析：按照题目中的信息得出：4 34232169 7 ，则有：(43) x7 x 72x213 ，所以：x2491336 ，又因为： ( 6) 36,所以方程(4 3) x13 的解为： x6；点评：结合乘法公式定义新运算，是一个新的中考题型；利用题目中提供的信息，按照运算顺序进行逐次变化求值，还应当考虑到一个正数可以是两个互为相反数的数的平方，所以注意到解法的完整性，不可疏漏；例 2.在实数范围内定义运算“”，其规则为：a ba22abb2 ，

2、则下面的方程41721=10x3a121b(a b) 24( a b) 2x 342 1x17的解为22x分析：由已知得出：x 3 x26x 9 、 2 1 x42 x1 x2 ；所以原方程变为：24x26x9442x1 x217 ，化简得出： 2x717，则有： x12 ；解法由4同学们完成，本文略；练习：1. 在实数范围内定义运算“”，其规则为：aba 22abb2 则下面的方程14x 210 的解为 x1；2 x42. 在实数范围内定义运算“”，其规则为：a b(a b)24( a b)2则下面的方程 x1 10x30 的解为 x 3 ；活用平方差公式解数字运算题平方差公式 (a+b)(

3、a b) a2 b2 ，不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用不少数字计算题看似与平方差公式无缘，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式，常可以使运算变繁为简，化难为易现举例说明例1 计算：2008 2200720091分析：由于数字较大，直接运算较繁，但考虑分母中的2007×2009 可写成 (2008 1)(2008+1) ，这样就可以直接运用平方差公式求解解：原式2008 22008220082 120081200811211220082008说明对于数字较大而相差有一定规律的数字计算，你不妨考虑运用平方差公式例 2 计算： 12 22 +32

4、42+ +992 1002，分析观察式中的各数特点，可逆用平方差公式直接算出其结果解： 1222+32 42+ +992 1002 (1 2) (1+2)+(3 4) (3+4)+ (99 100) (99+100) (1+2+3+4+99+100) (1+100) ×50 -5050说明对于两个因数或因式是平方差的形式都可以考虑逆用平方差公式例3计算：1111.1111223242102分析：本例若直接计算则较繁，由数字特点可连续逆用平方差公式解：原式11111111111114111223341010 13243591111111 .223344101021020整式乘法的应用学

5、习数学知识的目的在于应用，我们学习了整式的乘法以后，可以利用整式的乘法解决某些实际问题，请看以下几个例子.一、求值【例 1】已知（ 2x+3 ） 4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，求：（ 1） a0+a1+a2+a3+a4；（ 2） a0a1 +a2 a3+a4（ 3） a0+a2+a4【思考与分析】如何求取各项系数所组成的式子，直接求是行不通，我们可以通过观察各式，通过适当赋于x 特殊值，便可求出.解： （ 1）令 x=1，代入（2x+3 ）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，有：（2+3 ）4=a0+a1+a2+a3+a4，（ 2）令 x= 1，代入（ 2x+3

6、）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，有 a0 a1+a2 a3+a4（ 2+3） 4 1.（ 3）（ a0+a1+a2+a3+a4）（ a0a1+a2 a3+a4） 2（ a0+a2+a4）所以 625+1 2（a0+a2 +a4）， a0 +a2+a4313.【点评】那我们如何求a1+a3，请同学们仔细思考.对于这类题，关键是选取适当的特殊值 .【例 2】已知 x=y=11 ，求（ xy 1） 2+（ x+y 2）（ x+y 2xy ）的值【思考与分析】 本题是可直接代入求值的 下面采用换元法， 先将式子改写得较简洁，然后再求值解：设 x+y=m ，xy=n 原式 =（ n 1

7、）2 +（m 2）（ m 2n）=（ n1） 2+m2 2m 2mn+4n=n2 2n+1+4n 2m 2mn+m 2=（ n+1） 2 2m（ n+1 ）+m2=（ n+1 m） 2=（ 11×11+1 22） 222=（ 121+1 22）=100 =10000【点评】换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式二、在行程中的应用【例 3】 （山东）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了5.24 ×10 5秒已知电磁波的传播速 度

8、为3.0 ×108米秒， 则该时刻飞机与雷达站 的距离是（） .7.86 ×103 米7.86 ×104 米1.572 ×103 米1.572×104 米【思考与分析】在行程问题中有时间、速度、路程这三个量，它们之间的关系是路程速度 ×时间 .我们可以把上面的式子看成单项式乘以单项式的问题解：飞机与雷达站的距离是：3.0 ×108×5.24 ×10 5÷2= （ 5.24 ×3.0）（ 10 5）（ 108）÷2=15.72 ×103÷2=1.572 &#

9、215;104÷2=7.86 ×103 米 .即：选 A.【点评】 本题实际上有后面我们将要学习关于近似数、有效数字的问题.三、在几何图形上的应用【例 4】 （江苏）扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长比宽多4，求这种药品包装盒的体积 .【思考与分析】 我们通过观察图可知：2 宽 2 高 14cm，长 +2 高 13cm.又有宽4长，这样我们就可以求出长方体即包装盒的体积.解：设这个长方形的盒子的宽为xcm，则长为（ x+4） cm，高为（ 7 x） cm，32所以体积为： x（ x+4）（ 7 x） = x+3x +28x.又（ x+

10、4） 2（7 x） =13，所以 x=5，所以体积为 x（ x+4 ）（ 7 x） 90cm 3【点评】观察图形找到长宽高的对应关系，建立等式，这就找到了解题思路.四、在购物中的应用【例 5】甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一副定价60 元，乒乓球每盒定价 10 元，世界乒乓球世界杯赛期间，两家球拍都搞促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠二盒乒乓球;乙商店规定所有商品9 折优惠 .某校乒乓球队需要2 副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）.（ 1）设该校要买乒乓球 x 盒，那么所需要商品在甲商店买和在乙商店购买分别需付多少钱？（ 2）若该校要买20 盒乒乓球，试说明哪一家购买所需商品比较便宜.【思考与分析】我们可知因为甲商店一副乒乓球拍赠二盒乒乓球，故可获赠4 盒乒乓球，需再购买（x 4）盒乒乓球，乙商店打九折，通过列出等式比较就可得出所花钱的多少 .解：（ 1）由题意，知在甲商店购买所需商品可获赠4 盒乒乓球，故还需再购买（x4）盒乒乓球，在甲商店购买需要10（ x 4）+60 ×2=10x+80 （元），在乙商店购买需90%（ 10x+60×2）