中考试题研究：二次函数与折叠问题

1、数学专题：二次函数与折叠问题一中考热点展望：二次函数是中学数学中的重要内容，也是中考的必考内容，确定二次函数解析式以及顶点坐标及其他最值问题、开口方向问题、与其有关的存在型探究性问题是中考考查的“热点”； 利用二次函数图象的性质求最值问题则是近几年我市的“高频”考点近年来， 平面直角坐标系中的折叠问题作为各地市中考压轴题的比重逐年增加对折叠问题， 学生并不陌生，但在直角坐标系中讨论，势必涉及函数的解析式和点的坐标，难度加大了，综合性增强了，凸显数形结合的思想，故而受到青睐 由此我们认为 二次函数与 折叠问题有可能成为我市今年中考的一个命题方向。二考点动向：折叠问题在教材中有所体现，符合中考试题

2、源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查学生的空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式。折叠问题与二次函数结合命题，既能使两者的知识点有机的柔和，又能提升试题档次，考察学生综合应用知识的能力。通过我们对近几年各地市此类试题的解读，我们认为从设计意图上来看，试题类型可以分为两类：是以折叠为背景渗透柔和二次函数的知识，以二次函数为背景渗透柔和折叠的知识三解题技巧与应考策略：解决这类问题首先应对往年真题做出一些实质性的解读，真正感悟中考数学怎样考?考什么 ?要应用哪些知识点？怎样应用？以便我们指导学生如何解答此类题目，使学生不殊头，不怯考。 用到的知识点主要有轴对称性质勾股

3、定理特殊图形的性质相似函数性质等。这类问题解决的思考应突出以下几点：把背景图形研究清楚；充分注意折叠的两部分全等， 对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线；充分利用轴对称的性质和勾股定理；动手折叠与想象相结合；找准特殊图形，用好特殊图形的性质；能发现图形中的一些特殊量，如特殊角，特殊关系等。四典例解读：以折叠为背景渗透柔和二次函数的知识：例题 1：对称轴不明确： （ 07 宁德）已知：矩形纸片厘米，点 E 在 AD 上，且 AE6 厘米，点 P 是ABCD 中， AB26 厘米，AB 边上一动点按如下操作：BC18.5步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN（如图1 所示）；步

4、骤二，过点P 作PTAB，交MN所在的直线于点Q ，连接QE （如图2 所示）（ 1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ _ QE（填“”、“”、“”号）；（ 2）如图 3 所示，将纸片 ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：当点 P 在 A 点时， PT 与 MN 交于点 Q1， Q1 点的坐标是（ _， _）；当 PA6 厘米时， PT 与 MN 交于点 Q2， Q2 点的坐标是（ _， _）；当 PA12 厘米时， 在图 3 中画出 MN，PT （不要求写画法） ，并求出 MN 与 PT 的交点 Q3 的坐标；（ 3）点 P 在运动过程，PT 与 MN 形成一系列的

5、交点Q1， Q2， Q3， 观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式CyMMDCBDCDC18T12QEQ2(P)EE6Q1APBANP图 1图 235 解：（ 1） PQ QE 2 分（ 2） (0，3) ； (6，6) 画图，如图所示解：方法一：设MN 与 EP交于点 F 在 Rt APE 中， PEAE 2AP26 5 ，yB0(A)6121824Bx图 3F PF13 5PE2 Q3PFEPA90°， AEP Q3PFAEP 又 EAPQ3 FP 90°， Q3 PF PEA EPA90°，D1812E6Q1CQ3Q2GP Q3

6、P PF PE EA· Q3PPE PF15EA0(A)M 6121824Bx Q3 (1215)， 方法二：过点E 作 EGQ3 P ，垂足为 G ，则四边形 GP 6， EG 12设 Q3Gx ，则 Q3 E Q3 P x 6 在 RtQ3 EG 中， EQ32EG2Q3G2 ( x6) 2122x2 APGE 是矩形 x 9 Q3P 125 Q3 (1215)， （ 3）这些点形成的图象是一段抛物线函数关系式： y1 x23(0 x 26) 12 点评 这是一道以折叠为背景的综合型试题，综合性较强， 这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题主要应用折叠性质勾股定理相似等知识来

7、解决。例题 2：对称轴明确：（ 06 广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 O为原点， E 为 AB 上一点，把 CBE 沿 CE 折叠，使点 B 恰好落在 OA 边上的点 D 处，点A，D 的坐标分别为 (5，0) 和 (3，0) （ 1）求点 C 的坐标；（ 2）求 DE 所在直线的解析式；（3）设过点 C 的抛物线 y2x23bxc(b0) 与直线 BC 的另一个交点为M ，问在该抛物线上是否存在点G ，使得 CMG 为等边三角形若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由yM 解 （1）根据题意，得 CDCBOA5，OD3，CB COD90 ，OCCD 2OD

8、252324点 C 的坐标是 (0，4) ；E1 AxD 5（2） ABOC4，设 AEx，1则 DE BE 4 x ，ADOAOD5 32 ，在 Rt DEA 中， DE 2AD 2AE2 (4x)222x2 解之，得 x3y，2CFMB即点 E 的坐标是35， G2E设 DE 所在直线的解析式为ykxb ，DAx1 H53kb0，15kb3，2k3，解之，得49 b4DE 所在直线的解析式为y39x；44（ 3）点C (0，4) 在抛物线 y2x23bxc 上， c 4即抛物线为y2x23bx4假设在抛物线 y2x23bx4 上存在点 G ，使得 CMG 为等边三角形，根据抛物线的对称性及

9、等边三角形的性质，得点G 一定在该抛物线的顶点上设点 G 的坐标为 (m， n) ，m23b3b ， n42 4( 3b)232 3b2，24428即点 G 的坐标为3b323b24，8设对称轴 x3b与直线 CB 交于点 F ，与 x 轴交于点 H 4则点F的坐标为3b4， 4b 0， m 0，点 G 在 y 轴的右侧，CFm3bFH4， FG4323b23b2，848CMCG2CF3b，2223b22在 RtCGF 中， CG 2CF 2FG 2，3b3b248解之，得 b2( b0) m3b3， n323b254282点 G 的坐标为352， 2在抛物线 y2x23bx4(b0) 上存在

10、点 G35，使得 CMG 为等边三角2，2形 点评 这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第 1、 2 小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第 3 小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。以二次函数为背景渗透柔和折叠的知识：例题 3：（ 2009 浙江湖州）已知抛物线y x22xa （ a 0 ）与 y 轴相交于点 A ，顶点为M.直线1x ayBCAMN .y分别与 x 轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点2，(1) 填空：试用含 a 的代数式分别表示点M 与N的坐标，则 M，N，；(2) 如图，将 NAC 沿 y 轴翻折

11、，若点 N的对应点 N 恰好落在抛物线上，AN 与 x 轴交于点 D ，连结 CD ，求 a 的值和四边形ADCN 的面积；(3) 在抛物线 y x22x a （ a0）上是否存在一点P ，使得以 P， A， C， N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由 .yyCCNNNOxOxBDBAAMM第（ 2）题备用图yyCP1CNNONxOxBDB2PAAMM第（ 2）题备用图（1） M1， a1 ， N4 a， 1 a . 4 分33（2）由题意得点N 与点 N 关于 y 轴对称，N4 a， 1 a，33将 N 的坐标代入y x22x a 得1a16a28a

12、a ，393a1 0 （不合题意，舍去） ， a29. 2分43N3，点 N 到 y 轴的距离为3.4A 0，9， N3，直线 AN 的解析式为 y x943，44它与 x 轴的交点为D0D到y.9，点轴的距离为 944S四边形 ADCNS ACNS ACD193 1991892222416. 2 分（3）当点 P 在 y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ，把 N 向上平移2a 个单位得到 P ，坐标为4 a， 7 a，代入抛物线的解析式，33得：7 a16 a28 a a393a10 （不舍题意，舍去） ， a23，81 7P ，8 . 2 分2当点 P 在 y

13、 轴的右侧时，若APCN 是平行四边形，则AC 与 PN 互相平分，OA OC， OP ON 41，P 与 N 关于原点对称，Pa， a33将 P 点坐标代入抛物线解析式得：1a16a28aa ，393a1 0 （不合题意，舍去） ， a215 ，P5 ， 5 2 分828存在这样的点P117或P25，5，能使得以 P，A，C，N 为顶点的四边形是平2，288行四边形 点评 这是一道以二次函数为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在要综合应用函数折叠性质特殊图形的性质来求解， 第 3 小题是特殊点探究型问题， 是一道检测学生能力的好题。例题 4：（ 2010 湖北恩施自治州）如图，在平面直

14、角坐标系中， 二次函数 yx2bx c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧， B 点的坐标为（ 3， 0），与 y 轴交于C（ 0， -3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点 .（ 1）求这个二次函数的表达式/（ 2）连结 PO、PC，并把 POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP C， 那么是否存在点 P，/P 的坐标；若不存在，请说明理由使四边形 POP C 为菱形？若存在，请求出此时点（ 3）当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积 .【答案】解：（ 1）将 B、C 两点的坐标代入得3bc

15、 0c3解得：b2c3所以二次函数的表达式为： yx 22x3（ 2）存在点 P，使四边形 POP/2x 3 ），C 为菱形设 P 点坐标为（ x， x 2/PP交CO于E若四边形 POP/PC POC 是菱形，则有连结 PP/则 PECO 于 E，3 OE=EC = 2 y = 3 2 x22x 3=32解得 x1 =2 10， x2 =210 （不合题意，舍去）22 P 点的坐标为（2 10，3 ）8 分2 2（ 3）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（ x， x22x3 ），易得，直线BC 的解析式为yx3则 Q 点的坐标为（x， x 3） .S四边形 ABPCS ABCS BPQS CPQ1AB OC1QP OE1QP EB2221431 (x23x)32233275=x228当 x3时，四边形 ABPC 的面