椭圆中的两个最大张角

1、椭圆中的两个最大张角在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如 下：一. 两个重要结论22只要求 y =cos x 的最小值，又知 | PF1 | + | PF2 |=2a,| F1F2 |= 2c ,利用余弦定理可得。证明： 如图，由已知：| PF1 | +| PF 2 |=2a, | F1F2 |= 2c ,所以 | PF1 |PF2 |“ PF1 | +| PF2 |)2 =a2 ,(当 | PF1 |

2、=|PF2| 时取等号) 222_2| PF1 | PF? | -| F1F2 |由余弦正理侍:cos .F1PF2 =2 | PF1 | PF2 | 2 _2=(| Pl | | PF2 |) -2 | PFi | PF2 | - | FE |2 | PF1 | PF2 |.2.2. . 224a - 4c4b2b（当| PFi闩PF2 |时取等号）,1 = -1-1 22 | PF1PF2 |2 | PFi | PF2 | a所以当| PFi闩PF 2 |时，cos NF1PF2的值最小，因为NFiPF 2在（0,兀），所以此时/FiPF2最大。即点P为椭圆短轴的端点时 匕Fi PF 2最

3、大。22x y 命题2.如图：已知 A,B为椭圆=i（a Ab A0）长轴上的两个顶点，Q为椭圆上a b任意一点，则当点Q为椭圆短轴的端点时，NAQB最大。分析：当ZAQB最大时，ZAQB 一定是钝角，而y = tan x在('，兀)上是增函数，利用点 Q的坐标，2表示出tan /AQB，再求tan NAQB 的最大值。证明：如图，不妨设Q(x, y)(0 <x <a,0 <y <b),则AP=a + x, BP = a x, PQ = y ,所以 tan . AQP = -x , tan . BQP = - yy则 tan . AQBtan .乙AQP tan

4、 .BQP2ay1 tan NAQP tan .BQP2a22_又 x2 =a2 % y2,所以 tan /AQB =2-，因为 1%<0 , NAQB （兰，n）, bab2b2 y所以当y =b时，tan N AQB取得最大值,此时ZAQB最大，所以当点Q为椭圆短轴的端点时，NAQB最大。二. 两个结论的应用利用上面两个结论，在解决一些问题带来很大的方便：例1.已知F,F2为椭圆的两个焦点， 若椭圆上存在点P使得ZF1 PF 6 ,求椭圆 离心率的取值范围。分析：因为存在ZFiPF 2 =60令，所以只要最大角FiPoF皇60* ,即 F1P(F >30 '即tan/F

5、*。芝匝，也就是->，从而求出e的范围。解析：由结论1知：当点P0为椭圆短轴的端点时 ,/PoF 2最大，因此要最大角、3>，3ZF1POF60 气即 L/FiP°F2 芝 30，即 tan NF1P。芝巫，也就是23解不等式2C 2云逝，得e芝1，故椭圆的离心率ew 1,1)。例2.设F1, F2 椭圆 + =1的两个焦点 尸为椭圆上任意一点，已知P, F1, F294是一个直角三角形的三个顶点，且| PF1 | PF 2 | ,求| PF1 |的值。I PF2 I分析：由结论1知：当点P0为椭圆短轴的端点时，NF1P0F2最大，且最大角为钝角， 所以本题有两种情况：N

6、P =90 4或£F2 =90 %解析：由已知可得，当点P。为椭圆短轴的端点时，匕F1P0F2最大且NF1P0F2为钝角, 由结论1知，椭圆上存在一点P，使£F1PF2为直角，又ZPF 2F1也可为直角，所以本题有两解；由已知有 | PF1 | - |PF2 |=6,| F1F2 |=2、, 5(1)若 ZPF2F1 为直角，贝U |PF1 |2习 PF2 |2 +|F1F2 |2，所以 | PF1 |2 = (6 |PF1 |)2 +20 ,故里里| PF 2 |2_144得 | PF1 |=一，| PF? | =,所以 20 =| PF1 |2 +(6 | PF1 |)

7、2 ,3 3(2)若 ZF1PF2 为直角，贝U |F1F2 |2 砰 PF1 |2 +| PF? |2得 | PF1 | = 4,| PF 2 =2 |，故 | PF1 | =2。| PF? |评注：利用最大角知道，ZF1PF2可以为直角，从而容易判断出分两种情况讨论， 避免了漏解的情况。22例3.已知椭圆 % + J=1(a Ab A0),长轴两端点为A, B ,如果椭圆上求这个椭a b圆的离心率的取值范围。分析：由结论2知：当点P0为椭圆短轴的端点时，NAP0B最大，因此只要最大角不小 于120，即可。解析：由结论2知：当点P0为椭圆短轴的端点时，N A P0 B最大，因此只要ZAP0

8、B >120 七则一定存在点 Q ,使 NAQB =120 °, 1/AQ B 芝 60 “，即 /APO 芝 60 41 2所以23,得e_：,故椭圆的离心率的取值范围是e在寸6,1)。3三. 巩固练习：22x V1.已知焦点在x轴上的椭圆 +今=1(bA0) , F1 ,F2是它的两个焦点，若椭圆上4 b存在点P，使得PF1职F2 =0，求b的取值范围。22 x V2 .已知椭圆一 + =1 , F1, F2是它的两个焦点，点P为其上的动点，当NF1PF2为94钝角时，求点P横坐标的取值范围。答案：. 1.解：由结论1知，当点P为椭圆短轴的端点时，F1 PF2最大，若此时PF1职F2 =0 ,则有：b =c，又a = 2，所以b = J2，因为椭圆越扁，这样的点一定存在，所以 b的取值范围为：0：:b=、22.解：由结论1知，当点P越接近短轴的端点时，ZF1PF2越大，所以只要求ZF1PF2为直角