椭圆离心率的解法

1、椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B, P、Q在椭圆上，PD±L于D, QFL AD于F设椭圆的离I PFI| QFI| AOI| AF |心率为 e则 e=® e= e= e=十刀 e e | PD| =|BF| J| BO|=| BA|e=I FO|I A0|评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。2a| AO| =a

2、, | OF| =c, ，.有；| AO| =a, | BO| =,-有。22题目1:椭圆亍+p=1(a>b >0)的两焦点为Fi、F2 ,以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e?思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以 取AF2的中点B,连接BF1,把已知条件放在椭圆内，构造 FiBE分析三角形的各边长及关系。解：. | F1F2 | =2c | BFi I =c I BF2 I fc c+y3c=2a . . e= = 3-122变形1:椭圆，+%=1(a>b >0)的两焦点为Fi、F2 ,点P在椭圆上，使 OPF为正

3、三角形，求椭圆离心率？解：连接 PF2 ,贝U | OR | = | OF | = I OP| , / F1PR =90 0 图形如上图,e= 3-122变形2:椭圆 +F=1(a>b >0)的两焦点为Fi、F2 , AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点，且 PFi ± X轴，PF2 II AB,求椭圆离心率?PF2 II AB. a2=5c2 e=b2aI F2 Fi II PR II F2 Fi I/55=2c I OB I =b I OA| =a乂 b= -/a2-c2点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及 关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。二、

4、运用正余弦定理解决图形中的三角形22题目2:椭圆%厂+p=i(a>b >0) , A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/ ABF=90° ,求e?B解：| AO| =a | OF| =c | BF| =a | AB| Ra'+b2222222222a +b +a =(a+c) =a +2ac+c a -c -ac=0 两边同除以 a e2+e-1=0 e=捋5- e=岑5(舍去)变形：椭圆 9 +F=1(a>b >0) , ©户户,A 是左顶点， a b2F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求Z ABF?点评：此题是上一题的条件与结论的互

5、换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类e=W的椭圆为优美椭圆。性质：1、/ABF=90° 2、假设下端点为 Bi ,则ABFB四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。22题目3:椭圆 +y=1(a>b >0)，过左焦点Fi且倾斜角为60°的直线交椭圆与 AB两点，若| F1A | =2 | BF1 | ,求e?解：设 | BF1 | =m 贝U | AF2 | =2a-am | BF2 | =2a-m在 AF1F2及 B

6、F1F2中，由余弦定理得：精2冗(2芝气两式相除=孑*=22(a -c )=m(2a+c)2a+c 2322题目4:椭圆+%厂=1(a>b >0)的两焦点为 Fi (-c , 0)、F2 (c,0) , P是以| F1F2 I为直径的圆与椭圆的一个交点，且/ PF1F2 =5 / PF2F1 ,求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理:I F1F2 |sin F 1PF2I F1PIsin F 1F2PI PF2 Isin PF 1F2根据和比性质:I FiP | + | P巳 |I F1F2 |sin F 1PF2sinFFzP+sin PF 1F2变形

7、得:I F1F2 II PF2 I + | F1P Isin F 1PF2sin F 1F2P +sin PF 1F22c2a=e/ PF1F2 =75/ PF>F1 =15sin90揭e= := -e sin75 +sin15 3点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F 1PRe= -z-z:zz-sin F 1F2P +sin PF 1F222变形1:椭圆，+R=1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c , 0)、F2 (c,0) , P是椭圆上一点，且/ FiPF2 =60° ,求e的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。解：设/ FiF2P

8、=a，则Z F2FiP=120° -以sin F iPEe= sin F 1F2P +sin PF 1F212sin（以 +30 ）22变形2:已知椭圆:+42 y4tsin60sin 以 +sin（120-以）1 «2< e<1 =1 (t>0) F1F2为椭圆两焦点,为椭圆上任意一点(M不与长轴两端点重合)设Z PF1F2,/ PF2F1 = 6 若T<tan32< tan 2-<2-,求 e的取值范围？分析：运用三角函数的公式,把正弦化正切。sin F 1PF2sin（以 +6 ）解; 根据上题结论 e=sin F 1F2P +si

9、n PF 1F2sin 以 +sin 62sin亏圣22sin 2以cos 2 cos厂-sin sin 222以pcos cos 2以p+sin 亍sin 21- tan -tan =e1 <21- tan tan p1 1-e <3 1+e三、以直线与椭圆的位置关系为背景,用设而不求的方法找e所符合的关系式.22题目5:椭圆%厂+%厂=1(a>b >0)，斜率为1,且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于 A、B两点，O+OW旨=(3,-1)共线,求e?法一：设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2).222 22 2b x +a y =a by=x-c2 2、 22一.

10、一2一2 _ 2, 2 c(a +b )x -2a cx+a c -a b =02a2c2a2c _-2b 2cx+x2= _r2 y +y2= _ -2c= 2.32 a +ba +b a +bOA+OB=(x 什x2,y+y2)与(3, -1 )共线，则 -(x+x2)=3(y 1+y2)既 a 2=3b2e= 乎3法二:xi2 + a2X2T2+ a设AB的中点N,贝U 2ONtOA+Ofe yi21*= v； 甘=.2yi-y 2Xi-X 26 e=rb xi +x 2a2 y i+y2b2口丁 22.仁- /既a=3b四、题目6:由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。22椭圆

11、» +=1(a>b >0)的两焦点为 Fi (-c , 0)、F2 (c,0)值范围?，满足MF，Mf =0的点M总在椭圆内部，贝U e的取分析：Mf - mF =0 A以FiF2为直径作圆，M在圆O上，与 椭圆没有交点。解：c<b22,222a =b +c >2c. . 0<e222题目7:椭圆 +S=1(a>b >0)的两焦点为 Fi (-c , 0)、F2 (c,0) , P为右准线L上一点，FiP的垂直平分线恰过 F2点, 求e的取值范围？OP分析：思路1,如图FiP与F2M垂直，根据向虽垂直，找 a、 b、c的不等关系。思路2:根据图形中的边长之间的不等关系，求 e2a解法一：Fi (-c , 0) F 2 (c,0) P( f-,y 0) M( -c,yL)c22既(b y。) 2c , 2 )则pFa?=-(r +c, y 0 ) cMfb2=-(2c-c，2 )PFi - Mf =0(2a+c, y 0 ) cb ( 2c2y°-c, 2 )=0a2b2yo2(r+c)(m+ 厂=0a2-3c2< 0解法 2: | F1F2 I = I PF2| =2c2c > -cc3c2