上海高中数学-复数讲义

1、.复数一、知识点梳理：1、 i的周期性：i 4 =1，所以， i 4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i, i4n =1nZi 4 ni 4n 1i 4 n 2i 4n 30 n Z2、复数的代数形式：abia,bR， a 叫实部， b 叫虚部，实部和虚部都是实数。Cabi | a,b R叫做复数集。 N ZQRC.3、复数相等：abicdiac且b=d ； abi0a0且 b=0实数 (b=0)4、复数的分类：复数 Zabi虚数 (b一般虚数 (b0, a 0)0) 纯虚数 (b0, a 0)虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3i,62i 也没有大小。5、复数的模：若向量OZ

2、表示复数 z，则称 OZ的模 r 为复数 z 的模，z | abi |a2b2；积或商的模可利用模的性质（1） z1znz1z2znz1z1z20，（ 2）z2z26、复数的几何意义：复数 zabia, bR一一对应复平面内的点 Z ( a, b)一一对应复数 Zabi a,bR平面向量 OZ，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z1 与z2 的和：z1+2=(+)+(+di)=(+)+(+)i.a, b, c, d Rza bica cb d

3、复数z1 与z2 的差：z1-za bi)-(cdi)=(a c)+(bdi.a, b, c, d R2=( +-)复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义： 复数 z =a+bi ，z =c+dia,b, c, dR；OZ = OZ1+OZ2=( a，b)+( c，d)=( a+c，b+d)12 ( a+c)+( b+d) i复数减法的几何意义：复数z1- z2 的差 ( a c)+( b d) i 对应 由于 Z2 Z1OZ1 OZ2 ，两个复数的差 z z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9.特别地， zABz BzA. ， zABABzBzA 为两点间的距离。| z

4、z1 | | z z2 |z 对应的点的轨迹是线段Z1Z2 的垂直平分线； | z z0|r ， z 对应的点的轨迹是一个圆；| z z1 | | z z2 | 2a Z1Z22a ，z对应的点的轨迹是一个椭圆；;.| z z1 | | zz2 |2a Z1 Z22a ， z对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式：z1z2z1z2z1z2z12z122 z12z22z2z211、复数的乘除法运算：复数的乘法： z z = ( a+bi )( c+di )=( ac bd)+(bc+ad) i .a, b, c, dR12复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集 R 中正整数指数的运算

5、律 , 在复数集 C 中仍然成立 . 即对 z ,z,z*m nm+n C 及 m,n N 有 : zz=z ,123m nmnznnn(z ) =z, (z)=z z .1212z1(a+bi)abi=acbdbcada, b, c, d R ，分母实数化是常规方复数的除法：z2(c+di)=dic2d2c2d2 ic法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数；za bi, z abia, bR ，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。z | z | a2b22222z1z1z z abR, z

6、 z zz ， z1z2z1z2 ,z1z2z1z2 ,z2z213、熟记常用算式：1i ， (1 i) 22i ， (1i )22i ，1ii ， 1iii1i1i14、复数的代数式运算技巧：（ 1） (1 i ) 2 (1 i) 21ii1ii2i2i 1 i 1 i132i（ 2）“ 1”的立方根2的性质：111312 120 15、实系数一元二次方程的根问题：（ 1）当b24ac0时，方程有两个实根x1 , x2 。（2）当b24ac0 时，方程有两个共轭虚根，其中x1x2 。此时有x1x2x1 x2c且 x1,2bi 。22a2a注意两种题型： (1) x1x2(2)x1x2虚系数一

7、元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。;.已知 x 2x1 是实系数一元二次方程ax2bxc 0 的两个根，求x2x1的方法：（ 1）当b24ac0 时，x2x1( x1x2 ) 24x1x2b24aca(2) 当b24ac0 时，x2x1( x1x2 ) 24x1 x24acb2a已知 x1, x2 是实系数一元二次方程 ax2bxc0 的两个根，求 x 2x1的方法：（1）当b24ac0时， x1 x20, 即 c0，则 x2x1x1x2baa x1x20, 即 c0，则x2x1x1x2( x1x2 ) 24x1 x2b 24acaa（2）当b2

8、4ac0 时，x2x12 x12 x1 x22 ca二、典例分析：(1+i)2例 1（ 1）复数1 i等于 ()A.1 iB.1+iC. 1+ iD. 1 i解析 :(1+i)22ii (1i)1i ，选 C复数1 i=1i2z 同时满足 zz2i ， z iz （ i 为虚数单位），则 z （ ）若复数解：已知ZiZ2iZ2ii 1 ；1i（ 3）设 a、 b、c、d R，则复数 ( a+bi)(c+di) 为实数的充要条件是A. =0B.=0C.+=0D.+=0adbcac bdac bdad bc解析：（ 1） a, b, c R,复数 (abi)(c di) =(acbd)(adbc)

9、i 为实数， adbc 0 ，选 D；（ 4）已知m1ni，其中 m， n是实数， i 是虚数单位，则 mni（）1i(A)1+2i(B) 1 2i(C)2+i(D)2 i解析：m1nim1n1n i ，由 m、 n是实数，得1n0，i1nm1n1mni2i ，故选择 C。m2;.（ 5）设 x, y 为实数，且xy5，则 x y1 i1 2i1 3i.。解析：xyx(1i)y(12i )i 12i251而55(13i )13i所以 xy13i102225所以 x y 4。点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。1996( xy )( x2521 x 2y且2 2 52 y )i ，53，解得

10、 x 1， y 5，2例 2：（1）计算：23i2123i1 i答案：1 i（ 2）设复数 z 满足关系 z| z | 2i ，求 z；解：设 z=a+bi （ a,b 为实数），由已知可得 a bia 2b 22 i由复数相等可得：aa 2b 22 ，解得 a3 , b1，所以 z3ib144设 z=a+bi-x+yi （ a,b 为实数）复数问题实数化。（ 3）若 xC ，解方程 | x |1 3ix解 ： 设 x=a+bi(a,b R) 代 入 条 件 得 : a2b21 a (3 b)i , 由 复 数 相 等 的 定 义 可 得 ：a 2b 21a , a= 4， b=3， x= 4

11、+3i 。3 b0例 3： (1) 复数 z 满足 | z i |2| zi |21，则 z 对应的点在复平面内表示的图形为（A）A直线B圆C 椭圆D抛物线解：令 z=x+yi （ x，yR），则 x2+(y+1) 2x 2+(y 1) 2=1 ， y=1/4 。故选 A。（ 2）设复数 z 满足： | z 33i |3 ，求 |z|的最大值与最小值；解： |z|的最大值为3 3 ，最小值为3 ；（ 3）已知 z C， |z 2|=1 且复数 z2 对应的点落在直线y=x 上，求 z。解：设 z2=a+ai ， |z 2|=1 ， a2 ，2 z222 i 或 z 222 i 。2222【思维

12、点拨】 从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi 再利用条件，但运算复杂。(4) 设 zC ,1| z |2 ，则复数 uz(1i ) ，在复平面内对应的图形面积为 _。;.解： |u|=|z | ?|1+i|=2 |z| ，2 |u| 2，故面积 S=2 2(2) 2 2。【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。例 4：已知 z=1+i ， a，b 为实数，(1) 若 =z2+3 z 4, 求| |;(2) 若 z22azb1 i ，求 a，b 的值。zz1解：（ 1） =(1+i)2+3(1 i) 4= 1 i ， | |2 。（ 2）由条件 ( a b) (a

13、2)i1 i ， ( a b) (a 2)ia11 i ，。ib2【思维点拨】利用复数的充要条件解题。例 5：设 zC , 且z是纯虚数，求 | zi | 的最大值。1z解： 令 z=x+yi （ x，yR），则zx2y 2xyz是纯虚数，z 1( x 1)2y 2( x 1) 2y 2 ， z 1 x2y2x0 ，即 ( x1 )2y 21( y0) ，由数形结yP合可知本y024x11 ( yO1/2题是求圆 ( x)2y 20) 上的点到A(0, 1) 的最大距 1离 。 24| z i |max=|PA|=51 。2练习：1 已知复数 z与( z2) 28i均是纯虚数，则 z_ Z2i

14、2 .若( a2i ) ibi ，其中 a、bR，i 是虚数单位，则a 2b 2 =（ D）A0 B2 C 5 D523.设复数 1 3（）C22 i，则 1 （ A ） （B ） 2（ C）1（D） 124.复数 z1i的共轭复数是（ B）1B 1 1 iC 1 iD 1 iA 11 i22225.若复数 z 满足方程z22 0 ，则 z3（） DA. 22B.22C.2 2iD.22i6. 设 a 、 b 、 c 、 dR ，若 ab i 为实数，则( C)cd i(A)bcad0(B) bc ad0(C) bcad0(D)bcad0;.7.如果复数 (m2i )(1mi ) 是实数，则实

15、数 m（） BA 1B 1C 2D 28. (1i )2005（ ）A1iC 22005D 22005A iB i9.满足条件 |zi |34i |的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是（）CA. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆10.若 z1 a2i,z23 4i，且 z1 为纯虚数，则实数a 的值为8az2311.已知 m1ni，其中 m， n是实数， i 是虚数单位，则 mniC1 i(A)1+2i(B) 1-2i(C)2+i(D)2- i12、复数 (1i )3的虚部为（A）3（B） 3（C）2（D） 2解析:复数 1i3=13i 3i22i , 所以它的虚部为2，选 D.13、在复平面内，复数1i 对应的点位于i（ A）第一象限（ B）第二象限（ C）第三象限（ D）第四象限解： 1i（ ） i 1 i 1 i 故选 D；i 1点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点，属于比较基本的题目，主要考察复数的的分类和几何性质。23i14、求满足条件 : z( z z)ii2(i 为虚数单位 )的复数 z2 解 原方程化简为z( zz)i1i ,设 z=x+yi(x 、 y R),代入上述方程得 x2+y 2+2xi=1-i, x2+y 2=1 且 2x=-1, 解得 x=-1 且