专题4_运动的合成和分解_曲线运动

1、.专题四运动的合成和分解曲线运动一、新课标要求：1. 明确曲线运动的概念，产生曲线运动的条件，掌握曲线运动物体的速度方向。2. 掌握平抛物体的运动规律，熟练运动独立性原理。3. 熟练运动合成和分解，掌握平行四边形定则和运动的正交分解合成法。4. 认识匀速圆周运动，掌握匀速圆周运动的有关物理量：线速度、角速度和周期。5. 理解速度变化量 v ，了解向心加速度、向心力的概念，理解向心加速度和向心力大小不变而方向不断改变，始终指向圆心。6. 理解几种转动问题。7. 能用牛顿第二定律处理生活和生产中的圆周运动问题。8. 了解生活中的离心现象，了解它的益处和危害。二、知识点详解1. 力是产生物体运动状态

2、变化的原因。物体的运动速度反映了物体的运动状态，只要速度的大小或方向有一个发生变化，物体的运动状态就发生了变化。因此，只要物体的速度有变化，则一定有力的作用。因而该物体就会有加速度， 物体做曲线运动，至少它的速度方向发生了变化， 所以有力的作用，而且这个力还与速度方向有一定的夹角。必须有一定的初速度，而v0 =0结论：产生曲线运动的条件：与 v0 方向成一定角度的外力的作用，成角为0如图，注意：如果 F 的大小不变，方向也不变，我们说物体一定做匀变速曲线运动（为平抛、斜抛运动）若力 F 大小和方向有一个变化，则物体做随意曲线运动，即变加速曲线运动。做曲线运动的物体， 任何时刻， 它的速度方向都

3、在运动轨迹上点的切线方向 （如图所示），并指向运动方向。因为存在加速度a0，所以曲线运动一定是变速运动。.2. 运动的合成与分解一个复杂的运动可以简化成几种简单的运动，以此种方法就可以用直线运动的规律来研究曲线运动，乃至于复杂的曲线运动。（ 1）用已知的分运动求合运动的方法称为运动的合成。（ 2）用已知的合运动探求分运动的方法称为运动的分解。注意： 不管是运动的分解还是合成，所包含的物理量都必须是同一参照系，解题前，首先要进行参照系变换，化成相对于同一参照的物理量。（3）小船过河问题（如图）令船在岸边 A 点向彼岸航行，当然在静水中，只要船速与岸垂直，则很容易到达B 点，且 AB 垂直于河岸。

4、 若小船保持原运动方向不变，现在河水流速 v水 0，那么只能到达B点，河宽为 L ，船体的速度：v = v船2 + v水2若过河时间为 t ，则 t =Lv船偏移 B 点的距离 BB ' = vt = Lv船2 + v水2 / v船偏移距离 BB ' = v水 t = v水 Lv船结论：水速越大，偏移距离就越大。通过小船过河问题我们可以看出：过河的时间实际上由v船 在静止中的速度确定，而偏移距离 BB ' 由水流 v水 的速度和过河时间来确定。船体速度v 实际上是以 v船 和 v水 为分运动速度的合速度，即 v = v船2 + v水2。这就充分体现了两点：一是分运动具有

5、独立性，二是时间具有同一性，即运动合成中分运动具有按本身运动规律运动的独立性（你干你的，我干我的，你用你的方式，我以我的方式），而合运动和分运动时间高度统一（我们共同干一件事，工程同时完工）。3. 平抛物体的运动（1）将物体沿水平方向抛出的物体运动称为平抛运动（如图）（2）要求：平抛物体必须有初速度v0 1 0 ，只受重力作用（不计空气阻力）.（3）如图，经时间vt达M点，其速度， 在抛射点到地面的投影O，落地点B，则OB=svt m为抛射距离（位移） ，AO 为抛射高度 AO= h 。若落地时间（运行总时间）为t ，根据运动合成和分解的规律、运动独立性原理：水平方向有： s = v0t（水平

6、方向为匀速直线运动）竖直方向有：h = 1 gt2 （竖直方向为自由落体运动）2因此：平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的两种运动的合运动，它们时间是高度统一的。若经过任何的随意时间t ，则：（令达 M 点）水平方向 vt1 = v0 ；竖直方向 v = gt故它的合速度： vt =v02 + ( gt )2， s水平 = v0t， h1= 1 gt 22它运行的位移： st =h21 + st21 =(v0t )2 + ( 1 gt 2 )22速度与水平方向夹角为a = tan- 1( gt ) 或表示a =arctan gtv0v0（4）如图所示：在高空中飞机以v0

7、速度向前方匀速飞行，每隔相等时间t 往下空投一物.体，那么：A. 地面上的观察者认为空投物做什么运动？B. 飞行员观察空投物做什么运动？C. 若空投物上又有一观察者，他观察飞机又做什么运动？D. 空投物会落到地面上一个地点吗？答案：关于 A ：做平抛运动。关于 B：做自由落体运动。关于 C：向上做自由落体运动（即反向落体）。关于 D：不能落到一个地点。解答：关于 A ，因为地面上的观察着以地面为参照物，空投的物体具有与飞机相同的初速度，因此，它水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动，是这两个运动的合运动。关于 B ，抛物水平速度和飞机相同，飞行员以飞机为参照物，所以，空投的物体水平方向

8、与飞机相对静止，物体只有竖直方向的自由落体运动。关于 C：空投物上的观察者以自己所在的空投物为参照物，他认为空投物是静止的，而参照物与飞机水平方向相对静止，且参考物本身有向下的重力加速度g ，因此观察者所选的参照物是非惯性系， 必须给研究物飞机一个与参照物相反的加速度g 才能准确。 当飞机给一个反向的重力加速度 g 以后，观察者当然认为飞机会以初速度为零做竖直向上的自由落体运动了。关于 D ：物体不可能落到一个点，他们之间的落地距离应该是s vt' ，式中 t ' 为抛物所间隔的时间，所以物体落地所间隔时间为t ' 的距离是相等的。4. 抛物线x ，竖直位移为 y ，那

9、么它的运动轨迹一定是对于平抛物体的运动，我们令水平位移为抛物线。ìx= v0t?空间任意一点?1 2两式消去 tM 的坐标 M（ x， y）， 则有 í?gt? y =?2有： y = 1 g( x )2 =g2 x22v02v0Q g, v0 都是常数，令k =g，y = kx 22v02显然是 y 是关于 x 的二次函数，在数学中它就是一个顶点O（0， 0），对称轴为 x = 0 的抛物线，故平抛物体运动轨迹是抛物线。.5. 根据运动和分解可以看出， 斜抛物体可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的两个运动的合运动。所谓斜抛，实际上就是以与水平方向成一

10、定夹角的将物体斜向上抛出的运动。将运动分解（正交分解）可知：令抛射物抛射速度为v0 ，与水平方向夹角为a水平方向： vxo = v0 cosa ，竖直方向：vyo = v0 sin a令达最高点的时间为 t1 ，则竖直方向速度为0， vyt1= vyo - gt1 ，当 vyt =0 时，则： vyo =gt1 ， t1 =v0 sin a1g根据对称性原理：全程时间为t = 2t1 =2v0 sin ag射程为 xxxo tv0 cos2v0 sinv02 sin 2gg所以最大射程 xmax = v02 sin 2a / g当 a = 45o 时，射程最远X max= v02 / g最大高

11、度是仅当v0 sin avyo = 0 则 t1 =g为达最高点时所用时间。有： Hv0 sinv0 sin1 g( v0 sin)2v02 sin 2v02 sin 2g2gg2gH =v02 sin2 a当 a =45o 时 H = v02/ 2g2g令 M 点为任意点，有vy = v0 sin a -gt （ t 为随意时间）.ìx=v0 cosa?t?1 2í?gt?y = v0 sin a ?t?2两式消去 t ，有 y = v0 sin a ?xv0 cosa则 y = -gx2 + tan a ?x2v02 cos2a1 g (x)22v0 cosa令 a =

12、g， b = tana上式为： y = - ax2 + bx 是抛物线2v02 cos2 aì22a / 2g?Y=vsin该抛物线顶点坐标?0í?X = v02 sin 2a / 2 g?显然，任何复杂的斜抛运动均可以看成水平方向的匀速直线运动，竖直方向的竖直上抛运动的合运动，它的运动轨迹是一条抛物线。比如：与水平方向成30o ，角速度为 100 m / s ，斜向上抛出的手榴弹，它的最大抛射距离是多少？解：根据斜抛运动的规律有：达最大高度的时间是竖直方向速度为v0 sin a0，有： v0 sin a = gt1t1 =g全程时间为：t = 2v0 sin ag故全程距

13、离 s =v0 cosa ×2v0 sin a =2v02cosa sin a =v02sin 2aggg即： s = (100)2104× 3sin 60o =2 = 866( m)g10故最大抛射距离射程是866 米。6. 圆周运动（ 1）定义：物体运动轨迹是一个圆或圆周的一部分的运动时圆周运动。显然圆周运动时曲线运动，它具有曲线运动的基本规律。.讨论匀速圆周运动：匀速圆周运动是指运动物体的运动轨迹是圆或圆周的一部分，且运行速率相等，因此它具有特殊性。a. 速度的大小（即速率）不变，如图所示，m 在水平面上以O 为圆心做匀速圆周运动， v的方向任何时刻都垂直于半径r，且

14、与圆周相切。b. 速度是变化的，虽然速率不变，但方向在变化，因此有加速度。这个加速度指向圆心，称为向心加速度，其大小a向 = v2 。rc. 角速度 w ：做圆周运动的物体所转过的角度 q 与所用时间的比值称为角速度，用 w 表示，单位是弧度 /秒，用 ard / s 表示。d.周期 T：运动物体旋转一周所用的时间，单位秒，用s 表示。e. 由上述可以探索出物体旋转的线速度与角速度之间的关系。Q v = L / t式中 L 为弧长， t 为通过 L 所用时间而 L = qR式中 q 为旋转的角度v = qR / t则 q / t = wv = wR即物体的线速度等于角度与旋转半径的积（注意式中

15、的q 、 w 都要用弧度表示）7. 力是产生加速度的原因， 即向心加速度是由外力提供的， 是遵循牛顿第二定律的， 即合外力一定指向圆心，它和 a向 的方向一致。这个指向圆心产生向心加速度的力称为向心力。其大小： F向 = ma向 ，即： F = mv2 / r 或 F = mw2r所以只要找到向心力，则向心加速度就可以确定了，反之由向心加速度也可以确定向心力 g 。解题步骤：首先给做圆周运动的物体进行受力分析，处理这些力，并找出它们的合力，则： ? Fi = ma （式中 a 为 v2 / r 或 w2 r ）。由式可知：向心力是效果力，它是由作用在物体上的外力提供的。它可以是重力、摩擦力、弹

16、力、电磁力，或者是它们几个力的合力。所以列圆周运动的受力方程，首要任务是给物体进行受力分析。例 1：质量为 m 的小球从B 点（如图所示O 为竖直的光滑管道）沿管道的半径为r （小球可视为质点）的光滑轨道运行，已知m 到 A（最高点）的速度均为0，那么 m 在 B 点的速度大小是多少？在B 点受几个力作用？各力有多大？.解： m 由 A ?B 是变速圆周运动， 因为在 A 点速度为0，所以由 A ? B 式可知，重力对 A做正功。令达 B 的速度为 vB ，则：1mvB2 = mg2r ，vB = 2rg2小球在 B 受重力 G = mg ，管道底部的支持力N B ，有： N B - mg =

17、 maNB = mg+ ma = mg + m(2 rg ) 2 / rN B = 5mg拓展：如果题目这样设问，这题怎样解？小球达 A 点下管内壁和上管内壁正好不施力（即管对球的弹力为0）， m 达 B 点的速度又有多大？ N B'（下管内壁施的压力）又是多少？答案： vB' =5grN B'= 6mg提示：小球达A 点，下管内壁和上管内壁正好不施力，即重力提供向心力mgv2m，则r小球在 A 点的动能为 1 mv21 mgr ，根据机械能守恒可得：1mv'B22mgr1mgr ，2222即 v' = 5gr ；B小球在 B 点的向心力为 FN B m

18、g1mv'B2 ，所以 N Bmgm v' 2B6mg 。N B 为下2r管内壁对小球的支持力，其大小等于下管内壁施的压力。综上所述，很清楚地看到，匀速圆周运动实际上本质是变速度的变加速度的圆周运动，不过受到的合力和加速度的方向均指向圆心。 在解题中， 若不是速率完全相同的情况下， 要取特殊，找出物理量间的相应关系， 但有一点不能糊涂， 那就是受力分析要准确无误， 列牛顿动力学方程，方程左边是合外力，右边是效果，效果就是ma ， a 就是 v2/ R 或 w2 R 。.例 2： 如图，水平面上的旋转圆盘 O，半径为 R，转轴为 O，一质量为 m 的物块（可视为质点）放在圆盘上，

19、距轴心 r 处，那么：A ： 物块 m 受四个力作用，他们是物块的重力G = mg ，盘对物块的支持力N ，物块受到转盘的摩擦力，物块受到向心力F向 。B： 物块受一个力作用，即向心力F =mv2的作用。rC： 物块受三个力作用，它们是重力、支持力和摩擦力。D： 物块只受摩擦力作用，且摩擦力等于向心力。答： C 正确。注意： 向心力并不真正存在，而是物体受到的合外力的合力，之所以叫向心力，是因为这个合力始终指向某个圆的圆心，导致物体做匀速圆周运动。例 3： 圆锥摆问题m 小球由轻绳 l 悬挂于 O 点，并且绕O 旋转，旋转面圆面O 与水平面平行，此装置即为圆锥摆。当摆角为 q 时（即摆线所划的

20、锥角一半时，如图），求该圆锥运行的周期，以及轻绳的拉力 T 。解：轻绳 l 为已知，摆角q 和小球质量 m 已知。受力分析：小球受二力重力和绳拉力T 作用。小球旋转半径r = l sin qF向心力 = mg tan q即： F向心力 = mg tanq = mw2l sin qw = g / l cosq而w =2pT周期.T周期 = 2p =2p= 2pl cosq / gwg / l cosq而拉力 T = mg / cosq （注意：千万不要认为小球受三个力作用！）总结：运用在圆周运动上的习题解题方法就两句话：一是给物体受力分析和了解物体运动的意境。二是运用牛顿定律列出牛顿方程。注意点

21、： 受力分析必须准确， 各物理量必须清楚， 而且要充分运用隐含条件找出物理量间的关系。8.离心现象： 做圆周运动的物体，当外力作用的效果不能足以提供向心力时，物体会偏离轨迹而远离圆心运动的现象是离心现象。实际应用有：离心分离器，离心水泵，等等。9.圆周运动的几个实例：（1）火车拐弯和公路弯道。根据火车运行的速度设计弯道是铁轨修建中的重要技术问题，一般路边有限速牌，根据弯道半径、速度设计外轨与内轨的高度差D h 。当火车速度为v ，弯道半径为R ，为确保火车能安全通过弯道，尽可能保证火车本身的重力G = mg ，轨道面对车轮的支持力N ，其合力提供过弯道的向心力，由牛顿第二定律知：F向 = mg

22、 tan q 令铁轨宽 L则 D h = tanqL则： mg tanq = mv2 / Rtan q = v2 / RgD h =v2D h = Lv 2LRgRg火车速度大于，外轨提供一些压力以补充向心力当然火车 速度不能太大，也不能火车速度小于，内轨提供一些压力以抵消向心力太慢，否则容易脱轨。公路建设中也是这样，在弯道中路面要倾斜提供汽车运行的向心力，其倾斜角度与火车铁轨修建原理相同。（2）拱桥问题：凹桥问题.由图可知：根据牛顿第二定律：拱桥： mg -N = mv2，N = mg -mv2（压力小于重力）RR'-mv2，'= mg +mv2凹桥： Nmg =NR（压力大

23、于重力）R三、巩固训练1. 如图所示，左边 AB 两轮同轴轴为 O，B 分别是两轮周边的点，C 为右轮，轴心为O ，COBC1ARR = 2rC2为2 边缘上的点，两轮半径为 r，大轮半径为，且：，当转动由皮、带带动B 轮时，则： vA : vB : vC =， wA : wB : wC =。2. 如图所示，物体自倾角为q 的固定斜面顶端沿水平方向抛出后，落在斜面上，物体与斜面接触时的速度与水平方向的夹角满足：A tana = sin qB.tana = cosqC.tana = tan qD.tan a = 2tan q3. 如图：轻杆OA 端点 A 处栓一小球质量为m （小球可视为质点）

24、，当球和杆沿O 点在竖直方向旋转时，那么小球在圆轨道最高处的B 和最低处的A 点有可能：A.A 处变杆的推力，B 处也变杆的推力.B. A 处变杆的拉力，C. A 处变杆的推力，D. A 处变杆的拉力，B 处变杆的推力B 处变杆的拉力B 处也变杆的拉力4. 一个物体被平抛出去，其图像为格纸中画出。已知物体由A 到 B 和由 B 到 C 用时相等，均为 D t = 0.1s 。画格为正方形，每小格长5cm。求：物体的初速度v0 和 B 点时的速度 vB 。5. 如图所示，质量为M 的质点被轻绳系牢后悬于O 点，已知绳长为 L ，O 点正下方有一个钉子，那么当将 M 拉高使绳与水平面平行再放手，则

25、质点 M 将比没有钉子时在正下方B 点：A. 线速度突然增大B. 角速度突然增大C. 向心加速度突然增大D. 悬线拉力突然增大6. 如图，转盘水平放置，中心有小孔O，盘以 w 角速度旋转，质量为 m1= 2kg 的木块放在转盘平面上，盘面与 m1 的摩擦因素为0.3，轻绳另一端通过小孔O 悬一质量 m2 = 1kg 的小球，当 w = 5rad / s 的角速度转动时，若木块能与转面保持相对静止，则它到O 孔的距离有可能是（）A.6 cmB. 15 cmC.30 cmD.36 cm7. 雨伞半径 r = 1米 ，当雨伞以角速度 w = 5rad / s旋转时，雨滴将落地，若雨伞边缘平面与地面平

26、行且高2 米，则雨水落地的最大半径是多少？（g = 10 m / s2 ）.8. 如图，转盘光滑且与地面平行，两球由轻绳相连，绳长为L 。 B 球到盘心由轻绳相连，距离也为 L 。那么当 A、B 二球围 O 点在盘上以相同的角速度旋转时，则两绳上的张力TOB 、TBA 的比值多大？9. 如图所示，匀速转动的水平转盘上有一木块，随转盘一起转动，那么该木块在水平转盘上的运动趋势为（）A. 沿圆周切线方向B. 沿半径指向圆心C. 沿半径背离圆心D. 无相对运动趋势10. 水流星是杂技演员表演的节目。已知：盛水的碗底到旋转中心的半径r = 1米 ，圆弧面处于竖直平面内，最高点为A，最低点为B，那么在

27、A 点水恰好不流出时，旋转速度多大？到最低点B 时，绳的拉力有多大？（碗杯质量m' = 0.5kg ， g = 10m / s2 ，水的质量m水 = 0.5kg ）四、巩固练习答案与解析1.vA : vB : vC = 2： 1： 1wA : wB : wC = 1： 1：12. D解：物体落在斜面上时，设时间为t，则其水平位移是svt ，竖直位移是h1 gt 2 ，2.由几何知识可知：tanhgt ，即 t2v tans2vg物体的水平速度是v，是不变的，竖直方向的速度为：vgt 2vtan再由几何知识可知：tanv2 tanv3. BD解：首先对小球在A 点时进行受力分析，可知其受重力和杆对它的力，那么杆对它的力是推力还是拉力呢？小球做圆周运动，其合外力为向心力，当其运动到A 点时，向心力向上，而重力向下，所以杆对小球的力必然向上，即拉力；其次再对小球在B 点时进行受力分析，重力和杆对它的力， ，当其运动到 B 点时，向心力向下，而重力向下，所以杆对小球的力有两种情况，向上或向下。所以BD 正确。4.v0 = 1m / svB = 5m / s = 2.23m / s解： AB 水平方向的距离为0.5cm 2 0.1m，用时为0.1s，则