应力与应变关系PPT学习教案

1、会计学1应力与应变关系应力与应变关系第四章 应力与应变关系4.1 广义虎克定律4.2 工程弹性常数及相互间关系式 4.3 简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 4.4 能量密度与能通量密度 第1页/共79页 在前几章中，从静力学、动力学和几何学的观点分别研究了应力和应变。前面知道联结应力分量(6个)与位移分量(3个)有3个方程，联结应变分量(6个)与位移分量(3个)有6个方程，15个未知数9个方程，还需要6个方程才能求解弹性动力学问题。应力与应变关系第2页/共79页应力与应变关系222222yxzxXxyyzyyzxzzuXxyztvYxyztwZxyzt平衡运动微分方程xyzxyyzz

2、xuxvywzvuxywvyzuwzx 几何方程第3页/共79页 要解决弹性动力学问题，还要研究应力与应变的关系，这种关系通常被称为物理方程或本构方程。即还需要补充应力与应变关系(6个方程)。应力与应变的关系反映物质固有的物理特性，应力分量与应变分量的一一对应关系，在线性弹性范围内，便是广义虎克定律。应力与应变关系第4页/共79页广义虎克定律广义虎克定律-应力应变曲线应力应变曲线在常温、静载情况下，由材料拉伸试件可得到应力与应变关系曲线。不同材料得到的应力应变曲线不同。图4 1给出低碳钢应力应变曲线。从图中可看出，该曲线大致可分为四个阶段：图4 1 某材料应力与应变关系曲线第5页/共79页广义

3、虎克定律广义虎克定律-应力应变曲线应力应变曲线(一一)弹性阶段弹性阶段OB段段 在此段内，撤去外力时 ，将沿OB线恢复回原点O，即变形完全消失。通常为 称为弹性极限。而OA段为直线，说明当 时， 成线性关系 即 (4-1)( ,) BA( ,) E第6页/共79页广义虎克定律广义虎克定律-应力应变曲线应力应变曲线 其中E是与材料有关的弹性常数，通常称为弹性模量，E的量纲与 相同，一般用GN/m2。 则称为比例极限，上式即为虎克定律的数学表达式。A点与B点非常接近，工程上弹性极限 和比例极限 并不严格区分。这种情况下，横向应变 与轴向应变 绝对值之比一般是常数，即ABA称为横向变形系数或泊松比。

4、（4-2）第7页/共79页广义虎克定律广义虎克定律-应力应变曲线应力应变曲线(二二)屈服阶段屈服阶段BC段段 当 后，出现应变增加很快，而应力在很小范围内波动的阶段。这种应力变化不大，而应变显著增加的现象称屈服或流动，屈服阶段的最低应力 称屈服极限。 BS(三三)强化阶段强化阶段CD段段 过了屈服阶段以后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它增加变形必须增加拉力，这种现象称为材料的强化，强化阶段中的最高点D所对应的 称为强度极限。 D第8页/共79页广义虎克定律广义虎克定律-应力应变曲线应力应变曲线(四四)局部变形阶段局部变形阶段DG段段 过了D点以后，在局部范围内，横截面急剧缩小，继续伸长需要

5、拉力相应减小，到G点处，试件被拉断。 在纯剪应力作用时， 与 也成正比， ，比例系数G称剪切弹性模量xyxyxyGxy第9页/共79页广义虎克定律广义虎克定律 在空间应力状态下，描述一点应力状态需6个应力分量，与之相应的应变状态也要用6个应变分量来表示。它们之间存在一定关系。假设应力是应变的函数，分量形式表示为：123456(,)(,)(,)(,)(,)(,)xxyzyzzxxyyxyzyzzxxyzxyzyzzxxyyzxyzyzzxxyzxxyzyzzxxyxyxyzyzzxxyffffff （4-3a）第10页/共79页广义虎克定律广义虎克定律 在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式

6、在应变为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例如对 ，可得：x1111 0000111000()()()()()()()xxyzxyzyzzxxyyzzxxyfffffff第11页/共79页广义虎克定律广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变分量等于零时的值，而 实际上代表初应力，由于无初应力假设 等于零。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关系式简化为： 1 0()f1 0()f1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzyzzxxyyxyzyzzxxyzxyzyzzxxyy

7、zxyzyzzxxyzxxyzyzzxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC56616263646566xyxyxyzyzzxxyCCCCCCC（4-3b）第12页/共79页( ,1,2,6)mnCm n 第13页/共79页111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566xxyyzzyzyzzxzxxyxyCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC(4-4) 可以证明对各向异性体，由于应变能存在，也只有21个弹性常数独立，对各向同性体，只有两个弹性常

8、数独立。第14页/共79页 如果物体是各向同性的，则在任何方向上弹性性质相同，因此在各个方向上应力与应变关系相同。 下面来证明对于各向同性体，只有两个独立的弹性常数。（一）首先证明弹性状态下，主应力和主应变方向重合。（一）首先证明弹性状态下，主应力和主应变方向重合。图4 2 应变主轴第15页/共79页, ,x y z132231312cos1801 cos01cos900lnmllmmnn 如图4 2所示，设1，2，3轴为物体内某点的应变主轴，对应的剪应变 。现取 轴分别为1，2，3轴，则由广义虎克定律第4式得：23311202341 1422433CCC123333( ,)l m n111(

9、 ,)l m n222( ,)l m n（a） 式中 , 和 为该点主应变(对应1，2，3轴)。将此坐标系绕2轴转180，得新的坐标轴1，2，3，以 , 和 分别表示1，2，3轴对原坐标系O123各轴的方向余弦，知:第16页/共79页, ,x y z2341 1422433CCC 因此新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该等于零，且因各向同性时，弹性系数C41，C42和C43应该不随方向面改变，故取 分别为1，2和3轴，同样由式（4-3）第4式得：12323322323n m 式中， 和 为该点主应变(对应1，2，3轴)，而由转轴应力分量变换公式得：（b）第17页/共79页又由转轴应变分量变

10、换公式(3-12)得211112222223333lmn(d) (c)，(d)代入(b)则有2341 1422433CCC(e)（a）与(e)比较，可知2323 第18页/共79页 欲使上式成立，只有 。同理可证 。这说明，若1，2，3是应变主轴，也是应力主轴。从而证明对各向同性弹性体内任一点，应变主轴与应力主轴重合。 23012310(二二)再来确定各向同性弹性体独立弹性常数的个数再来确定各向同性弹性体独立弹性常数的个数 设所取的坐标轴为应力和应变主轴，则111 1122133221 1222233331 1322333CCCCCCCCC(f)第19页/共79页 式中表示 表示在 轴方向单位

11、主应变引起 轴方向的主应力大小。对于各向同性体， 对 的影响应与 对 的影响， 对 的影响相同，故： ijCji1122332332211aCCC(g) 由于各向同性，2和3对 的影响相同，2和3 对 的影响应与 和 对 的影响， 和2对 的影响相同，这样 1131213 (h)bCCCCCC322331132112第20页/共79页 由(g)和(h)可知，对应力和应变主轴而言，只有两个弹性常数是独立的分别用a和b表示，则由(f)知112322313312()()()ababab (i)令 ， 且 则（i）变为2abb123 t112233222ttt (j) 常数 和 称为拉梅(Lame)弹

12、性常数，简称拉梅常数。 第21页/共79页(三三)最后通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系应力与应变关系最后通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系应力与应变关系2221 1213 1 1 21122123xxylmnl lm mn n(k) 在各向同性弹性体中，设 为任意正交坐标系，它的三个轴与坐标系 应力主轴的方向余弦分别为 、 和 ，因为1，2，3轴是主轴，主轴方向的剪应变和剪应力等于零。根据转轴时应力分量变换公式得oxyz123O111( ,)lmn222( ,)lmn333( ,)lmn第22页/共79页2221 1213 1 1 211221232()xxylmnl lm mn n

13、又由转轴时应变分量变换公式得(l) 将(j)代入(k)中有2222221111 1213 1 1 212121 21122123()2 ()()2 ()xtxytlmnlmnl lm mn nl lm mn n (m) 第23页/共79页 比较式(l)和(m)并注意到 得222 1111 212121,0lmnl lm mn n2xtxxyxy 式中 是一不变量， 。同理可得其它应力分量与应变分量关系，综合为： ttxyz222xtxytyztzyzyzzxzxxyxy(4-5n)第24页/共79页上式即为各向同性弹性体的虎克定律。写成矩阵形式为：20002000200000000000000

14、0000 xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-6）第25页/共79页（4-7）(32 )xyzt 将式中前三式相加得 其中 为第一应变不变量，式称为体积应变的虎克定律 利用式(4-6)，可以写出用应力表示应变的广义虎克定律第26页/共79页22(32)22(32)22(32)111xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-8）第27页/共79页 均匀各向同性完全弹性的假设是对实际介质的近似。当使用精细观测手段研究较为复杂问题时，要考虑介质的不均性，以及介质的各向异性和介质的非完全弹性。若介质的弹性性质依方向而变化，称为各向异性。 ( ,1,2,6,)ijjiCCi jijxxyy 对于各

15、向异性介质的模型，在方程中，弹性常数 ,而其它常数不同，这样总共有21个弹性常数， 对 的影响和 对 影响一样。这样可以导出复杂的数学关系。实际应用中经常使用简化模型，如横向均匀且各向同性介质(TI)(transverse isotropy)。 这种介质弹性性质在一个平面上是相同的的，它沿着平面的法线方向变化，如沉积岩(层理)，沿层理方向是均匀的，弹性性质在垂直于层理方向变化。第28页/共79页第29页/共79页这种简化的弹性介质层状介质模型有5个独立的弹性常数， ， 和 为 平面上和垂直于该平面方向的拉梅系数， 而 表示垂直平面上切应力和切应变的关系，广义虎克定律为：,Oxy*(2)(2)(

16、2)*xxyzyxyzzxyzyzyzzxzxxyxy （4-9）第30页/共79页写成矩阵形式(2)000(2)000(2)000000*000000*000000 xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-10）第31页/共79页即（4-11）112233122113312332445566111222*1()20CCCCCCCCCCCCCCothers第32页/共79页在地震勘探中一般用Thomsen参数描述各向异性113333664444221314334433334422()()2()CCCCCCCCCCCCC（4-12） Thomsen参数的优点是其大小恰恰反映了各向异性的强弱。第

17、33页/共79页 在工程上，通过简单拉伸和纯剪切试验可以测定杨氏弹性模量E，泊松比和剪切模量G等弹性常数，所以用工程弹性常数来表达广义虎克定律更有实际意义。 首先考虑简单拉伸。如沿 轴方向，应力分量除 外，其它为零，在弹性极限内， 与沿 轴方向正应变成正比，其比例系数就是杨氏模量，横向正应变 ， 与 之比的绝对值就是泊松比 ，而且 方向拉伸， 和 方向必然收缩，故xxxxyzxxyzyzxx 第34页/共79页即00yzyzzxxyxxyzxyzzxxy （4-13a） 将(4-13a)式代入均匀各向同性体广义虎克定律式，前三个式子相加，得:(23 )xt 222xtxytyztzyzyzzx

18、zxxyxy广义胡克定律第35页/共79页即23xt(4-13b) 再把(4-13b)式代回到第一式中，得(23 )xx(4-13c) (4-13a)和(4-13c)比较得：(23 ) (4-13d)第36页/共79页再由式(4-5n)第二式， ，得 2yty2yt (4-13e) (4-13c)代入(4-13b)，再代入(4-13e)中，得2()yx (4-13f) (4-13a)和(4-13e)比较得：2()(4-14)由(4-13d)和(4-14)式，可用杨氏模量 和泊松比 表示拉梅常数 和E第37页/共79页(1)(1 2 )2(1)根据试验（4-15）10,02 所以 。0,0第38

19、页/共79页 再考虑纯剪切情况。如设在 面内，应力分量除 外，其余应力分量均为零，又 ， 为剪切弹性模量，即： xoyxyxyxyGG00 xyzyzzxxyzyzzxxyxyG(f) (f)与(4-5n)后三式比较，得G （4-16）第39页/共79页将(4-15)、(4-16)式代入(4-8)式，整理可得:1()1()1()xxyzyyzxzzxyyzyzzxzxxyxyGGG （4-17）第40页/共79页 与(4-8)式对应。前三个式相加得到用 E和表示的体积应变虎克定律： 12t（4-18）式中 ，若物体受到均匀压缩，则xyz 0 xyzzxxyp yz常数,则， 3(12 )tp

20、（4-19）第41页/共79页式（4-19）反映了体积应变与压强p的关系，令 3(1 2 )K则tpK 其中K称为膨胀系数。第42页/共79页 在均匀各向同性介质中，经常使用拉梅弹性常数 及其杨氏弹性模量 ，泊松比 剪切模量 和围压膨胀模量 ，它们对弹性力学研究十分重要，特别是对地震波传播，直接反映介质的弹性性质或弹性波传播速度。它们六个可分为三组，两者间可以转换，其转换关系总结如下： , EGK第43页/共79页，制E，制K，G制(E)/(1+)(1-2)K-(2/3)GE/2(1+)G(3+2)/(+)E(6GK)/K+(4/3)G/2(+)K-(2/3)G/2K+(4/3)G+(2/3)

21、(1/3)E/2(1+)K第44页/共79页 弹性体在外力作用下，发生变形，微元体要发生位移，这时外力对物体做了功，这个功以应变能的形式贮存在物体内。这种弹性体因变形而储存的能量称为弹性变形位能，简称变形能，又称应变位能或应变能。在物体弹性范围内，当卸去外力时，这个弹性应变能又完全释放出来，使物体恢复原来形状。第45页/共79页 设有一拉杆上端固定，下端挂一小盘，与盘同高的水平面上放有许多重块，每块重量为F，如图4 3(a)所示，在应力小于比例极限范围内加入载荷的重量与拉杆伸长成正比，是一条倾斜直线，如图4 3 (b)所示。第46页/共79页（a） (b)图4 3 载荷与杆件拉伸的关系第47页

22、/共79页逐渐增加重块时，每增加一重块，拉杆就伸长 。这时。载荷下沉而做功，但损失位能，而杆件则获得变形能。载荷损失的位能在数量上等于它所做的功A(载荷缓慢增加，动能无明显变化，故可忽略不计)。根据能量守恒定律，载荷损失的位能等于拉杆所获得的变形能。即应变能 ，当 时， ，由 ，在整个加力过程中，F从 ， 从 ，载荷做功0A。于是，()dlUAFFdF()lldl ()dAF dl10Fl10l 10()lAF dl第48页/共79页再利用应力、应变定义及虎克定律：()1dldFlSl式中E为弹性模量，S为横截面积， 为拉杆原长度，于是12102FF llAF dFSS根据虎克定律，当载荷为

23、时， 1F111 FllS 第49页/共79页故1112AF l也就是应变能为2111122F lUF lES1F 由于拉杆整个体积内有各点的应力状态均相同，故当载荷 为时，原体积内每单位体积的变形能都等于 2211112222F lUuVS l称为应变能密度应变能密度。（4-20）第50页/共79页 在纯剪应力情况下，通过薄壁面扭转试验可知，当剪应力不超过比例极限时，扭转角 与外力偶矩 成正比，同理可得剪切应变能 ，剪切应变能密度 m12Um2122111222mUeGVS lG其中SFlFm/,第51页/共79页 在空间应力状态下，变形能数值上仍等于外力所作的功，它也决定于作用力的最终数值

24、，而与加力先后顺序无关。用主应力和主应变表示空间应力状态下的应变能密度为1 12233111222u (4-21a)将广义虎克定律代入(4-21a)式，用应力表示应变能密度为22212312233112 ()2u (4-21b)第52页/共79页 若正立方体形状单元体上的三个主应力不相等，相应的主应变也不相等，单元体三个棱边的变形不同。单元体的变形表现为体积的增加或减小，形状的改变(正方体变为长方体)。因此可以认为应变能密度由两部分组成：(1)因体积变化而储存的应变能密度称体积改变应变能密度 ；(2)因形状改变而储存的应变能密度称形状改变应变能密度 ，于是 tuxutxuuu(4-22a) 第

25、53页/共79页若单元体上以主应力的平均值1233m 代替主应力，而单位体积的改变 与 ， ， 作用时仍相等。但以 代替主应力后，由于三个棱边的变形相同，所以只有体积变化而形状不变，所以t123m(4-22b)11132222tmmmmmmmmu 第54页/共79页由广义虎克定律(4-17)式得：(12 )()mmmmmEEEE代入(4-22b)式中得212312()6tu(4-22c) 根据（4-21b）和(4-22a)式得：2221223311()()() 6xu(4-22d) 第55页/共79页若不是用主应力表示应变能量，一般情况为1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzxu (4-2

26、2e) 证明：由1 122332221231223311()212 ()2u 第56页/共79页)(2)(2)(211332211332212321Eu 根据(2-11)式中第，第，第应力不变量定义和关系：133221222321zxyzxyxzzyyxzyxIII而：第57页/共79页)(1 (2)(221)(1 (2)(221)(1 (2)(212222222222222222zxyzxyxzzyyxzyxzxyzxyxzzyyxxzzyyxzyxzxyzxyxzzyyxzyxvvEvEvEu于是：第58页/共79页进一步 1()21()21()212(1)12(1)12(1)222xxy

27、zyyxzzzyxxyxyyzyzzxzxu 根据广义虎克定律(4-17)式，可得:1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzxu 证毕。第59页/共79页同理可得出以应变表示的应变能密度。22222221 ()2 ()()2xyzxyzyzzxxyu (4-23) 进一步，应力与应变分量可用应变能密度的偏导数表示第60页/共79页xxyyzzy zy zz xz xx yx yuuuuuu(4-24) 第61页/共79页第62页/共79页 前节仅讨论应变能（变形位能），即处于平衡状态情形。当物体既运动又变形时，其内部通常既有动能又有应变能。单位体积内所含的动能称为动能密度，记作 ，单位体积所

28、含的应变能称为应变能密度，记作 ，单位体积内所含总能量(指动能和应变能即机械能，内能不考虑热能。注：内能包括势能和热能)， kPuPu2221()21()()() 2kxxyyzzxyxyyzyzzxzxuvwttt (4-25) 式中 为材料的密度。 第63页/共79页利用广义虎克定律(4-5n)式，将 u1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzx )()(2)(212222222xyzxyzzyxzyxuPuP考虑物体处于运动状态时，即波传播时，应力和应变还应是时间的函数。为讨论弹性介质机械能的变化规律，先研究 对时间的变化率。中的应力分量用应变分量表示（即(4-23)式）：第64页/共

29、79页()()2 ()()(2)(2)(2)yuxzxyzyxzxyzxyyzzxxyyzzxyxztxtytzxyyzzxxyyzzxyxzxyzttttGtttGtttGGGtttGGGttttt 222222222()()()xyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxttttuvwt xt yt zvuwvuwt xt yt yt zt zt x (4-26) 第65页/共79页 再研究动能密度 对时间 的变化率，并利用运动微分方程(2-19)式，得 kPt222222()()()()kyxxyyzyyzxzxxzzxyxxzyxyyzzxuuvvwwtttttttuvwtxyztxyz

30、txyzuvwtxtxtxuvwtytytyuvtzzyzwtztz(4-27) 第66页/共79页显然， 将(4-26)和(4-27)代入，合并同类项，利用 和 互易性得到 ukttttx()()()xxyxzyxyyzzxzyzuvwtxtttuvwytttuvwzttt(4-28) 第67页/共79页定义一个矢量场()()() xxyxzyxyyzzxzyzuvwitttuvwjtttuvwkttt (4-29) 称为能通量密度矢量场能通量密度矢量场。则能量密度对时间的变化率divt 第68页/共79页即能量密度对时间的变化率等于能流密度矢量的散度，表示 单位时间单位时间内通过与 方向垂

31、直的单位面积的能量，称为能量密度矢量场，它又表明机械能(包括动能和应变能)以多大数量沿什么方向传播，即弹性波传播，这里给出了弹性波的一种定义，即机械能在弹性介质中的传播。例子，已知介质密度，圆频率，振幅A，试求沿 轴传播的平面简谐波 x( , )cos()cos()xu x tAtKxAta第69页/共79页的能通量密度， ，称圆波数， 为波的传播速度。 Ka2Ga解：由2(2 ),sin(),sin();xtuuuuAt KxAKt Kxxxtx 将， 代入能通量密度（4-29）式中得 0yzxyyzzx2222sin ()xxuAtkxt 第70页/共79页 当平面简谐波在介质中传播时，同一点介质的能通量密度是随时间变化的，其最大值与振幅平方、圆频率的平方，介质密度成正比。 研究能量密度和能通量密度的关系。先求能量密度， 动能动能2211()22kumvdxdydzt 动能密度