有关二次函数的利润最值问题

1、精品资料欢迎下载有关二次函数的利润最值问题1某商场将每件进价为80 元的某种商品原来按每件100 元出售， 一天可售出100 件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1 元，其销量可增加10 件（ 1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元若商场经营该商品一天要获利润2160 元，则每件商品应降价多少元？求出 y 与 x 之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x 取何值时，商场获利润不少于2160 元2某衬衣店将进价为30 元的一种衬衣以40 元售出，平均每月能售出600 件，调查表明：这种衬

2、衣售价每上涨 1 元，其销售量将减少10 件（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元 / 件）之间的函数解析式 （ 2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润 （ 3）衬衣店想在月销售量不少于300 件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？（4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润3某商品的进价为每件40 元，如果售价为每件50 元，每个月可卖出210 件；如果售价超过50 元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨1 元，则每个月少卖1 件；如果售价超过80 元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3 件设每件商品的售价为x 元，每个月的销售量为y

3、 件（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W 与 x 的函数关系式；（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？精品资料欢迎下载4某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1 次在1 12 月份中，公司前 x 个月累计获得的总利润 y（万元）与销售时间 x（月）之间满足二次函数关系式y=a（ x h）2+k，二次函数 y=a（ xh）2+k 的一部分图象如图所示，点 A 为抛物线的顶点， 且点 A、B、C 的横坐标分别为 4、10、 12，点 A、 B 的纵坐标分别为 1

4、6、 20（1）试确定函数关系式 y=a（ xh）2 +k；（2）分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及10 月份一个月内所获得的利润；（3）在前 12 个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？5某商品的进价为每件40 元，售价为每件50元，每个月可卖出210 件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖 10件（每件售价不能高于65元）设每件商品的售价上涨x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？精品资料欢

5、迎下载6某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场若只在甲城市销售，销售价格为y（元 / 件）、月销量为x（件），y 是 x 的一次函数，如表，月销量（件）15002000x销售价格（元/件）185180y成本为 50 元 / 件，无论销售多少，每月还需支出广告费72500元，设月利润为 W 甲 （元）（利润 =销售额成本广告费） 若只在乙城市销售，销售价格为200 元 / 件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/ 件（ a为常数， 40a70），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为W 乙（元）（利润

6、 =销售额成本附加费） （1）当 x=1000 时， y 甲 =元/ 件， w 甲 =元；（2）分别求出 W 甲 ， W 乙 与 x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（ 3）当 x 为何值时， 在甲城市销售的月利润最大？若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，求 a 的值；（ 4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大？7某服装店购进一批秋衣，价格为每件30 元物价部门规定其销售单价不高于每件60 元，不低于每件30 元经市场调查发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=

7、60 时， y=80；x=50 时，y=100在销售过程中，每天还要支付其他费用450 元（1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（2）求该服装店销售这批秋衣日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？精品资料欢迎下载8某水果店购买一批时令水果，在20 天内销售完毕，店主将本次此销售数据绘制成函数图象，如图，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图，销售单价p（元 / 千克）与销售时间（天）之间的函数关系式（ 1）求 y 关于 x 和 p 关于 x 的函数关系式；（2）若日销售量不低于

8、36 千克的时间段为“最佳销售期 ”，则此次销售过程中“最佳销售期 ”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？x9某机器零件经销商，购进甲型零件 600 个，其进价为 200 元，甲型零件有两种售货渠道： A 渠道是批发给其他小型经销商； B 渠道是零售，零售价为 250 元该经销商准备用 A 渠道销售甲型零件所得的全部销售款购进一批乙型零件，乙型零件的进价为 150 元，零售价为 300 元已知该经销商用 A 渠道销售甲型零件时，其批发价y（元 / 个）与批发个数x（个）之间的函数关系为y=x+200（ 1）求该经销商用 B 渠道销售的甲型零件的销售额p1 （元）与批发个数 x（个）之间的

9、函数关系式；（ 2）求零售乙型零件的销售额 p2 （元）与批发个数 x（个）之间的函数关系式；（3）求该经销商售完这批甲型、乙型零件后的总利润w（元）与批发个数x（个）之间的函数关系式，并求出当批发多少个甲型零件时，利润最大，最大利润是多少？10某水果店新进一种水果，进价为20 元 / 盒，为了摸清行情，决定试营销10 天，商家通过这10 天的市场调查发现：销售价y（元 / 盒）与销售天数x（天）满足以下关系：天数1 x 56 x 10销售价格 yx+2430每天的销售量p（盒数）与销售天数x 关系如图所示（ 1）试求每天的销售量 p（盒数）与销售天数 x 之间函数关系式；（ 2）设水果店的销

10、售利润为 s（元），求销售利润 s（元）与销售天数 x（天）之间的函数关系式，并求出试营销期间一天的最大利润精品资料欢迎下载有关二次函数利润的最值问题参考答案与试题解析一解答题（共 10 小题）1（2017?高安市一模）某商场将每件进价为80 元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100 件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加 10件（ 1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（ 2）设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？求出 y 与 x 之间的函数关系式， 并通过画该函数图象

11、的草图， 观察其图象的变化趋势，结合题意写出当 x 取何值时，商场获利润不少于 2160 元【分析】（1）利润 =单件利润×销售量；（ 2）根据利润的计算方法表示出关系式，解方程、画图回答问题【解答】解：（ 1）若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100 80）=2000（元）；（3 分）（ 2）依题意得：（10080x）（ 100+10x）=2160（5 分）即 x210x+16=0解得： x1=2，x2=8（ 6 分）经检验： x1， 2都是方程的解，且符合题意， （7分）=2 x =8答：商店经营该商品一天要获利润2160 元，则每件商品应降价2 元或 8

12、 元；（8分）依题意得： y=（ 10080 x）（100+10x）（ 9 分） y=10x2+100x+2000=10（ x5） 2+2250 （10 分）画草图：精品资料欢迎下载观察图象可得：当2x8 时， y2160当 2x8 时，商店所获利润不少于2160 元（13 分）【点评】 本题关键是求出利润的表达式，体现了函数与方程、不等式的关系2（2017?南通一模）某衬衣店将进价为30 元的一种衬衣以40 元售出，平均每月能售出 600 件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1 元，其销售量将减少 10 件（ 1）写出月销售利润 y（单位：元）与售价 x（单位：元 / 件）之间的函数解析式（ 2

13、）当销售价定为 45 元时，计算月销售量和销售利润（ 3）衬衣店想在月销售量不少于 300 件的情况下，使月销售利润达到 10000 元，销售价应定为多少？（ 4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润【分析】（1）利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可；（ 2）将 x=45 代入求出即可；（ 3）当 y=10000 时，代入求出即可；（ 4）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案【解答】 解：（1）由题意可得：y=（x 30） 60010（x40）=10x2+1300x 30000；（ 2）当 x=45 时， 60010（ x 40）=550（件），y=10×

14、;452+1300×45 30000=8250（元）；精品资料欢迎下载（ 3）当 y=10000 时，10000= 10x2+1300x30000解得： x1=50， x2 =80，当 x=80 时， 600 10（8040） =200 300（不合题意舍去）故销售价应定为： 50 元；（ 4） y=10x2+1300x 30000=10（ x65）2+12250，故当 x=65（元），最大利润为 12250 元【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，得出 y 与x 的函数关系是解题关键3（2017?山东一模）某商品的进价为每件40 元，如果售价为每件50 元，

15、每个月可卖出 210 件；如果售价超过50 元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1 件；如果售价超过80 元后，若再涨价，则每涨1 元每月少卖 3 件设每件商品的售价为x 元，每个月的销售量为y 件（ 1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（ 2）设每月的销售利润为 W，请直接写出 W 与 x 的函数关系式；（ 3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？【分析】（1）当售价超过 50 元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 1 件， y=260x，50x 80，当如果售价超过 80 元

16、后，若再涨价，则每涨 1 元每月少卖 3 件， y=420 3x，80 x 140，（ 2）由利润 =（售价成本）×销售量列出函数关系式，（ 3）分别求出两个定义域内函数的最大值，然后作比较【解答】 解：（1）当 50x80 时， y=210（ x50），即 y=260x，当 80 x140 时， y=210（ 8050） 3（ x 80），即 y=4203x则，精品资料欢迎下载（ 2）由利润 =（售价成本）×销售量可以列出函数关系式w=x2+300x 10400（50x80）w=3x2+540x16800（80 x 140），（ 3）当 50x 80 时， w=x2+30

17、0x10400，当 x=80 有最大值，最大值为 7200，当 80 x140 时， w=3x2+540x16800，当 x=90 时，有最大值，最大值为 7500，故售价定为 90 元利润最大为 7500 元【点评】 本题主要考查二次函数的应用，应用二次函数解决实际问题比较简单4（2017?利辛县一模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次在 1 12 月份中，公司前 x 个月累计获得的总利润 y （万元）与销售时间 x（月）之间满足二次函数关系式 y=a（x h） 2+k，二次函数 y=a（xh）2+k 的一部分图象如图所示，点 A 为抛物线的顶点，且点

18、 A、 B、 C 的横坐标分别为 4、 10、12，点 A、 B 的纵坐标分别为 16、20（ 1）试确定函数关系式 y=a（ xh）2+k；（ 2）分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及 10 月份一个月内所获得的利润；（ 3）在前 12 个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？【分析】（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为 （4，16），设出抛物线的顶点式，把（10，20）代入即可求出 a 的值，把 a 的值代入抛物线的顶点式中即可确定出精品资料欢迎下载抛物线的解析式；（ 2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润（ 3）根据前 x 个月内所获得的利润减去前 x1

19、个月内所获得的利润，再减去16 即可表示出第 x 个月内所获得的利润，为关于 x 的一次函数，且为增函数，得到 x 取最大为 12 时，把 x=12 代入即可求出最多的利润 2当 x=10 时， y=20，所以 a（104） 2 16=20，解得 a=1，所求函数关系式为： y=（ x4） 216（ 4 分）（ 2）当 x=9 时， y=（94）216=9，所以前 9 个月公司累计获得的利润为9 万元，又由题意可知，当 x=10 时， y=20，而 20 9=11，所以 10 月份一个月内所获得的利润 11 万元（4 分）（ 3）设在前 12 个月中，第 n 个月该公司一个月内所获得的利润为s

20、（万元）则有： s=（ n 4） 216 （n14）2 16 =2n9，因为 s 是关于 n 的一次函数，且 20，s 随着 n 的增大而增大，而 n 的最大值为 12，所以当 n=12 时， s=15，所以第 12 月份该公司一个月内所获得的利润最多， 最多利润是 15 万元（4分）【点评】本题考查了二次函数的应用， 主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题5（2017?高台县模拟）某商品的进价为每件40 元，售价为每件50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨1 元，则每个月少卖10 件（每件售价不能高于 65 元

21、）设每件商品的售价上涨x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元（ 1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（ 2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？精品资料欢迎下载【分析】（1）根据进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件，再根据每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件和销售利润 =件数×每件的利润列出关系式，即可得出答案（ 2）根据（ 1）得出的函数关系式，再进行配方得出 y=10（x5.5）2+2402.5，当 x=5.5 时 y 有最大值，从而得出答案【解答】 解

22、：（1）由题意得： y=（21010x）（50+x40）=10x2+110x+2100（0x15 且 x 为整数）；（ 2）根据（ 1）得：y=10x2+110x+2100，y=10（x5.5）2+2402.5， a=100，当 x=5.5 时， y 有最大值 2402.5 0 x15，且 x 为整数，当 x=5 时， 50+x=55， y=2400（元），当 x=6 时， 50+x=56， y=2400（元）当售价定为每件 55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400 元【点评】本题考查二次函数的实际应用， 关键是读懂题意，找出之间的等量关系，根据每天的利润 =一件的利润&#

23、215;销售件数， 建立函数关系式， 此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题6（2017?微山县模拟）某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场若只在甲城市销售，销售价格为y（元 / 件）、月销量为 x（件）， y 是 x 的一次函数，如表，（件）15002000月销量 x（元/件）185180销售价格 y成本为 50 元 / 件，无论销售多少， 每月还需支出广告费72500 元，设月利润为 W甲（元）精品资料欢迎下载（利润 =销售额成本广告费） 若只在乙城市销售，销售价格为 200 元/ 件，受各种不确定因素影响，成本为

24、a元 / 件（ a 为常数， 40 a 70），当月销量为 x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为 W 乙 （元）（利润 =销售额成本附加费） （ 1）当 x=1000 时， y 甲 = 190 元/ 件， w 甲 = 67500 元；（ 2）分别求出 W 甲， W 乙 与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；（ 3）当 x 为何值时，在甲城市销售的月利润最大？若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，求 a 的值；（ 4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完， 请你通过分析帮公司决策， 选择在甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大？【分析】

25、（1）设 y 甲 =kx+b，列出方程组即可解决， 再根据 w 甲 =x（y50） 72500，求出 w 甲 的解析式，分别求出 x=1000 时， y 甲，w 甲 ，即可（ 2）根据利润 =销售额成本附加费，即可解决问题（ 3） x= ， y 最大值 = 进行计算即可利用公式列出方程即可计算（ 4）当 x=5000 时，w 甲 =427500，w 乙=5000a+750000，再列出不等式或方程即可解决问题【解答】 解：（1）设 y 甲 =kx+b，由题意，解得， y 甲=x+200， x=1000时， y 甲 =190，w 甲=x（ y 50） 72500=x2+150x 72500，x=

26、1000时， w 甲 =67500，故答案分别为 190，67500（ 2） w 甲=x（y50） 72500=x2+150x72500，w 乙=x2+（ 200a） x，精品资料欢迎下载（ 3） 0x 15000当 x=7500 时， w 甲 最大；由题意得，=，解得 a1=60， a2=340（不合题意，舍去） 所以 a=60（ 4）当 x=5000 时， w 甲 =427500，w 乙 = 5000a+750000，若 w 甲 w 乙 ，427500 5000a+750000，解得 a64.5；若 w 甲 =w 乙， 427500= 5000a+750000，解得 a=64.5；若 w

27、甲 w 乙 ，427500 5000a+750000，解得 a64.5所以，当 40a64.5 时，选择在乙销售；当 a=64.5 时，在甲和乙销售都一样；当 64.5 a 70 时，选择在甲销售【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、待定系数法，解题的关键是学会利用二次函数求函数的最值问题，学会利用不等式或方程解决方案问题，属于中考常考题型7（ 2017?宁波一模）某服装店购进一批秋衣，价格为每件30 元物价部门规定其销售单价不高于每件 60 元，不低于每件 30 元经市场调查发现：日销售量 y （件）是销售单价 x（元）的一次函数， 且当 x=60 时，y=80；x=50 时，y=

28、100在销售过程中，每天还要支付其他费用 450 元（ 1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围（ 2）求该服装店销售这批秋衣日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式（ 3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？【分析】（1）根据 y 与 x 成一次函数解析式，设为 y=kx+b，把 x 与 y 的两对值代入求出 k 与 b 的值，即可确定出 y 与 x 的解析式，并求出 x 的范围即可；（ 2）根据利润 =单价×销售量列出 W 关于 x 的二次函数解析式即可；精品资料欢迎下载（ 3）利用二次函数的性质求出W 的最大值，以及此

29、时x 的值即可【解答】 解：（1）设 y=kx+b，根据题意得 ，解得： k= 2，故 y=2x+200（30x60）；（ 2） W=（ x 30）（ 2x+200） 450= 2x2+260x6450=2（x65）2+2000；（ 3） W= 2（ x 65）2+2000， 30x60， x=60时， w 有最大值为 1950 元，当销售单价为60 元时，该服装店日获利最大，为1950 元【点评】此题考查了二次函数的应用， 待定系数法求一次函数解析式， 以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键8（ 2017?新野县一模）某水果店购买一批时令水果，在20 天内销售完毕，店主将本次

30、此销售数据绘制成函数图象，如图，日销售量 y（千克）与销售时间 x （天）之间的函数关系；如图，销售单价 p（元 / 千克）与销售时间 x（天）之间的函数关系式（ 1）求 y 关于 x 和 p 关于 x 的函数关系式；（ 2）若日销售量不低于 36 千克的时间段为 “最佳销售期 ”，则此次销售过程中 “最佳销售期 ”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？【分析】（1）分两种情况进行讨论： 0 x 15； 15x20；针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式， 再将已知点的坐标代入， 利用待定系数法求解； 0 x10 时 p=25，10x20 时，设解析式为 p=mx+n，利用待定系数法求解

31、；精品资料欢迎下载（ 2）日销售金额 =日销售单价×日销售量 日销售量不低于 36 千克，即 y36先解不等式 3x36，得 x12，再解不等式 9x+18036，得 x16，则求出 “最佳销售期 ”共有 4 天；然后根据 p= x+35（10x20），利用一次函数的性质，即可解答【解答】 解：（1）分两种情况：当 0x15 时，设日销售量 y 与销售时间 x 的函数解析式为 y=k1x，直线 y=k1x 过点（ 15，45）， 15k1=45，解得 k1=3， y=3x（0x15）；当 15x 20 时，设日销售量y 与销售时间 x 的函数解析式为 y=k2x+b，点（ 15，45

32、），（20，0）在 y=k2x+b 的图象上，解得： y=9x+180（15x20）；综上，可知 y 与 x 之间的函数关系式为：y=当 0x10 时， p=25，当 10 x20 时，设销售单价 p（元 / 千克）与销售时间 x（天）之间的函数解析式为 p=mx+n，点（ 10，25），（20，15）在 p=mx+n 的图象上，解得：， p=x+35（10 x 20）， p=；（ 2）若日销售量不低于 36 千克，则 y 36当 0x 15 时， y=3x，精品资料欢迎下载解不等式： 3x36，得， x 12；当 15 x20 时， y=9x+180，解不等式： 9x+18036，得 x16

33、， 12x16，“最佳销售期 ”共有： 1612+1=5（天）； p=x+35（10 x 20），k=10， p 随 x 的增大而减小，当 12x 16 时， x 取 12 时， p 有最大值，此时 p=12+35=23（元 / 千克）答：此次销售过程中 “最佳销售期 ”共有 5 天，在此期间销售金额最高是第 12 天【点评】此题考查了一次函数的应用，有一定难度解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用9（2017?临沭县校级模拟）某机器零件经销商，购进甲型零件600 个，其进价为 200 元，甲型零件有两种售货渠道： A 渠道是批发给其他小型经销商；

34、 B 渠道是零售，零售价为 250 元该经销商准备用 A 渠道销售甲型零件所得的全部销售款购进一批乙型零件， 乙型零件的进价为 150 元，零售价为 300 元已知该经销商用 A 渠道销售甲型零件时，其批发价 y（元 / 个）与批发个数 x（个）之间的函数关系为 y= x+200（ 1）求该经销商用 B 渠道销售的甲型零件的销售额 p1（元）与批发个数 x（个）之间的函数关系式；（ 2）求零售乙型零件的销售额 p2（元）与批发个数 x（个）之间的函数关系式；（ 3）求该经销商售完这批甲型、 乙型零件后的总利润 w（元）与批发个数 x（个）之间的函数关系式， 并求出当批发多少个甲型零件时， 利润最大， 最大利润是多少？【分析】（1）根据题意知用 B 渠道销售甲零件（ 600x）个，由销售额 =销售价&#