因式分解经典题目

1、2016.11.21第一讲：因式分解一提公因式法【知识要点】1、分解因式的概念把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式2、分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是 的恒等变形。3 .分解因式的一些注意点（1）结果应该是 的形式；（2）必须分解到每个四式都不能 为止:（3）如果结果有相同的因式，必须写成 的形式。4 .公因式多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的.5 .提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外而，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的 方示叫做提公因式法.6 .确定公因式的方法（1）系数公因式:应取多项式中

2、各项系数为；（2）字母公因式:应取多项式中各项字母为.【学堂练习】1.下列各式从左边到右边的变形，哪些是分解因式，哪些不是?word(1)x2 +x = x2(l + -); X(3)(7n + n)(ni - n) = m2 -z? 2(5)3x2 - 2xy + x = x(3x-2y)2.把下列各式分解因式(1) 9a2 -6ab + 3ci(2)t/2 -2Z? = (r/ + 5)(«-5)-l(4)x2 +4x + 4 = (x + 2)2 (6)(x-3)(x + l) = x2 - 2x-3(2) 一4/丁一6/俨+2叶4(2) 2a(x-2y)-3b(2y-x)-4

3、c(x-2y)(4) 15b(3a-b)2 +25(b-3a)3例1、把下列各式分解因式(1) 2a(x 2y) 3(x 2y)(5) -3(y-xf + 2(y-x)4(6) (a + x)m+,(b + x)i -(a + xn(b + x)例2.利用分解因式计算(1) 2.9x1234.5 + 11.7x1234.5-4.6x1234.5例3.已知a + b = 2,ab = 2，求代数式/ +加方+ab2的值。 3俐4、利用因式分解说明:36-6能被140整除。【随堂练习】1 .下列各式从左到石的变形中是因式分解的是()r-r =。+ )*一一)m(m + 4) + 4 = (m +

4、2)A、(a -1)(。+ b) = a2 + a 2x-y = (yx + yy)(>/x-yy)2 .已知二次三项式2/+以+ c分解因式2(x-3)Q, + l),则4c的值为()A、b = 3,c = -lB、b = -6,c = 2C、b = -6,c = -4D、b =-3 .下列各式的公因式是。的是()A、ax + ay+ 5B、4ma + 6ina2C、5a2 +OabD、a2 -4 .将34(工-)，)-双工-)，)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是()A、3a bB、3(x - y)5 .把多项式/(a-2) +机(2-)分解因式的结果为()A、(a - 2)(/

5、?2 + m) B、(a 2)(/n2 - m) C、in(a - 2)(? - 1) D、in(a - 2)(m +1)6 .多项式2/y 一个的公因式是;多项式是6/。3一9皿2c3的公因式是分解因式：xy-xy2-a(?一)3 _仇一?)3 =(? 一 “尸(8 .已知：“ + = 133"而= 1000。% + /必2 的值为9 .把下列各式分解因式(3) ax - y) - b(x - y)(4) 2(y x)2x(x y)(1) 2a2b-6a2b2 +2ab2(2) 3a%/+ 3 2c2+942 机.3【课后强化】1. 3/+加氏一4分解因式为(3工+ 4)。一1),

6、则用的值为2 . 一 3xy - 6nixy + 97?at = -3xy (3.把下列各式分解因式(1) 3x2y-6;iy2 + 12不忆(3) 2(x-y)3+4(y-x)2)a(x - a) + bci -x)- c(x - a) =(2) 3x2(x-y) + 6x(y-x)(4) a(a + /?)(一b)一a(a + b)2第二讲：因式分解一公式法、分组分解法1 .乘法公式逆变形(1)平方差公式；a2-b2 =(a + b)(a-b)(2)完全平方公式：ci1 + 2ah + b2 = (a + b)2,a2 2ab + b = (a _b)2 .常见的两个二项式事的变号规律：(

7、a-b)2n =(b-df (一与22 =一(一.产-二(为正整数)3 .把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式：(2)如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解:(3)如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。【学堂练习】1、如果9/+公+25是一彳A 15B2、下列多项式，不能运用平A、-nr +4 B、3、把下列各式分解因式：(1) 4(/一。2(4) 72126 + 36完全平方式，那么攵的值是(±15 C 30 宁差公式分解的是()-x2 -y2 C、x2y2 -1(2) 16-9.2(5) x2 -xv +

8、 y2 4,)D ±30D、(a) - (tn + a)2(3) 16x2y2-l(6) -a2 +2xy- y2(7) x2 -y2 +ax + ay(8) 4/一。26。一9【经典例题】例1.用公式法分解因式：(1) (a2 +b2)2 -4a2b2(3) a2b2 -4ab + 4(2) (x + 2)2 -(y-3)2(4) x4 -8x2 +16(5)16(x-1)2 -25(x + 2)2分组分解法掌握分组分解法中使用“二二“分组后能运用公式(一三分组)x2 - y2 -x + yx2 -2xy + y2 -1分组后能提公因式(二二分组)ax+ay+bx+by练习：把下列

9、多项式分解因式：1 .(1)ci + b + ub +12 .(1) 7/+3y + .p + 21x3 . (1) a2-9b2 + 2a-6b4 . (1) a22ab+b2 c2(6)(x2 -x)2 +6(x2 7) + 9一三”分组的不同题型的解题方法a2-b2-c2+2bcab-c+b-QC(2) a2-ab-ac-bc(2) 2ac-&id + be_3bd(2) A2+x-4y2-2y(2) a2 -4b2 +2bc-9c2课外延伸1 .用分组分解法把Qb-c+b-QC分解因式分组的方法有()A. 1种B.2种C.3种D.4种2 .用分组分解一b2c?+2bc的因式，分

10、组正确的是()A.(a2 -c2)-(b2-2bc)B.(a2 -b2 -c2) + 2bcC.(a2 一/)-1 -2bc)Dxi2 -(2 +c2 -2机)3 .填空：(1) ax+ay-bx-by=(ax+ay) () =() ()(2) x2-2y-4/+x= () + () =() ()(3) 4a2-b2-4c2+4bc= () -() =() (4.用分组分解法分解困式(1) 4ax-4ay-x + y(2) a2 -9 + 8ab + 16b2(3) a2 -b1 -4a + 4b5 .用合适的方法分解因式：(1) 5m2a4 -5m2b4(3 ) 4a2 (m -n) + b

11、2 ( - m)6 .利用分解因式计算：(1) 1.222 x9-1.332 x4(4) a2 -b2 -c2 +d： -2ad-2bc(2) I2m2n2 -I2m2n + 3m2(4) 4nr +9(/71 + n)2 + 2m(m + n)(2 ) 2022 + 202x196 + 9827.若。+ = 3,ab = 2,求。'+ a2b + ab +/ 值。【随堂练习】1 .对于多项式xLY+V-1有如下四种分组方法：其中分组合理的是（） CU) + (x2-l)(金 +/)一(工3 + 1)+ /)_1 / 一*3 一/ +)A.B.C.D.2 .a ABC的三边满足a4+b

12、2c2-a2c2-b4=0,则4ABC的形状是.1 .1 .3 .已知。+。= 2,利用分解因式，求代数式一/+0 + /。224、分解下列因式：(1) -3x3-12x2+36x(3) m2 + 2/2 - mn - 2m5、计算：(1) 20032-2002x2004(2) (/+1/一4一(4) a24-2ab+b2 ab(2)552 -4529+198+1【课后强化】(4) (/+1-一4一(2) 16/一沂(3) crh + ab-2a2b(5) x-y + x2 -2xy + y2第三讲因式分解十字相乘法十字相乘法一、x2 + px + q 型的二次三项式因式分解：整式乘法(x +

13、 4)(x + b) .)X? + (a + b)x + ab因式分解(其中 p = a + b > q = ab )一、利用十字相乘法将下列各式因式分解(1 )、x?+7x+6(2)、X25x6(3)、K-5x+6(4)、a24a21(7)、” -4x + 3(10)、(13)、/+5x2 - 6(6)、m2+4m12(9) x2-12x-13(12). x27x+6(15)、x4+10x2+9、t2-2t-8(8)、a2 4-6x-7(11)、/+8,T + 15(14)、m46m24-8(16 )、(a + b f - 3(a + b) -4(17)、(2x-y)2 -8(2x-y

14、) + 12(19)、(x2-2x)2-11(x2-2x)+24(18)、(x2+5a)2+10(a-2+5x) + 24二、二次三项式 ax2 +bx+c的分解:如果二次项系数。分解成。I、&，常数项。分解成。2 ；并且等于一次项系数。， 那么二次三项式：ax +bx+c = aia2x +(ac2 +a2cl)x + clc2 =+ )(a2x + c2)借助于画十字交叉线排列如下： 二、利用十字相乘法将下列各式因式分解2x2 +5x +22/ +7x + 33x2 +7x -65x2 +6x 8lx2 -5x-32/ 一 7工 + 33x2 +8x - 36x2 - 5x -25

15、2x2 -3x-202x2 7x + 63x2 -5x + 26x2x2 +5x-72x2 7x + 65x2 -3x-2-7x+ 31 .把下列各式分解因式 (1)5/ + 6 y - 15x - 2xy(4) 9m2-6m4-2nn2(7) /+3?一4(10) / + 10x-24(13) x2-13xy-36/(16) x4 +7x2 +12(2)1 a2- 21。- 3b(5) 4X2-4xy-02+/(8) +x-30(11) x2-14.r + 24(14 ) a2-ab12b2(17) /+2q一8y2(3)a/+3/- 4。-12(6) 1 m2n24-2mn(9) /一24

16、=15(12) K+xy 12必(15) 3x2 +21x4-36(18)+ 因为分解的一般步眼：一程二代三分姐、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字柜乘法；、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。因为分解几点注意与说明：、因式分解要进行到不能再分解为止；、结果中相同因式应写成幕的形式；、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点, 因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。因式分解综合复习【考点分析】考点1:分解因式

17、的意义1、下列从左到右的变形，属于分解因式的是()A. (x+3)(x-2)=x2+x6B. axay+1=a(xy)+1C. x2-4=(x+i)(x-)D. 3x2+3x=3x(x+1)2、若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x2),试求a、b的值。考点2：提公因式法分解因式1.多项式6a3b23a2b221a2b3分解因式时，应提取的公因式是()A. 3a2bB. 3ab2C. 3a3b2D. 3a2b22.把多项式2(x2产一(2x)3分解因式的结果是()A. (x-2)2(4-x) B. x (x-2)23.下列各组代数式没有公因式的是()A. 5a 5b 和 baC. (a

18、b)2和一a + b4、分解下列因式(1 ) _gx2n+2 yn+2 +12xn+1 V2n+3C.-X(X-2)2 D. (x-2)2(2-x)B. ax+1 和 1+ayD. a2-b2和(a + b)(a + 1)(2) x2y(xy) + 2xy(yx)(3) 16 (xy) 224xy (yx)(4) _27*23_»_9心_3x)考点3：运用公式法分解因式1 .如果9 +履+25是一个完全平方式，那么k的值是()A、15B、±5C、30D±302 . (1) (2009 年北京)分解因式：一“2+14。 + 49/=°(2005年上海市)分

19、解因式:-16/j4 =3、分解下列因式: (1) L2-32(3) 9(.-)2-16(4 + )2考点4：分组分解法分解因式(1) 4x2-2x-y2-y(3) (l-a2)(l-b2)-4ab(4) 9(一)2+24(“一切+16(2) 4nr -9/z2 -4机 + 1(4) a2 -4 + 4-c2考点5：综合运用提公因式法、公式法分解因式1> (1)分解因式：4m '-m=；(2)分解因式：8x2 y-8xy+2y=。2、分解下列因式:（1） 8a4-2a2(2) 9/一)- y2(n-m)(3) (a-b)2 -4nr(b-a)2(4) «2(16x-y+

20、 l) + Z?2(y-l-16x)考点6：分解因式的应用1、利用因式分解方法计算：（1）4.45 x 13.7 + 445 x 0.889 -44.5x 0.26(2) 8002-1600x798 + 79822、已知6a = 6,ab = 7,求4%一的值。3、 ABC的三边满足a22bc=c22ab,则 ABC是（A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形）D、锐角三角形4、若。为整数,证明（2。+整_1能被8整除。【随堂小测】1、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（(A) (a+3)(a-3)=a2-9(C) a2b+ab2-ab(a+b)(B) x2+x-5=(x-2)(x+3)+1 (D)x2+1=x(x+l)x2、把多项式m2g-2）+m（2a）分解因式等于（(A) (a-2)(m2+/n)3、下列多项式中不能用平方差公式分解的是(A) -a2+b2(B) -x2-/)(C) m(a-2)(m-1)(C) 49x2y2-z2(D) 16m425n2P24、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）(A)? + l +十 (B)-x2 +2xy-y2(C)-t/2 +14c/? + 49/?25、把多项式p2（a-l）+（l-.）分解因式的结果是（）A、（a-l）（p +） B、（。-1乂-）C、p(a-lXT)D、”(a-lXp + 1)6、已知x2