工程电磁场-第0章场量

1、矢量与场论矢量与场论)2() 1( 45),(222zyxzyx 如温度场,电位场,高度场等;zyxxyzzxxyzyxeeeA222),(如流速场,磁场,涡流场等。标量：只有大小，没有空间方向的量。矢量：不仅具有大小，而且具有空间方向的量,合成满足平行四边形法则。矢量的书写：印刷体采用黑体，手写加矢量标识，如BEA,zy2x2exyzezxe2xyz)y,(x,AzzyyxxzzyyxxBBBAAAeeeeeeBA,zzzyyyxxxBABABAeee)()(（）BA(2) 矢量的数乘zzyyxxAAAeeeA(3) 矢量的点乘zzyyxxBABABAABcosBABAcosB(4) 矢量的

2、叉乘zyxzyxnnnnBBBAAAABeeee sinBAABABen两矢量垂直0BA两矢量平行0BA(1) 矢量的加减法AB=-(BA)AA=0(5) 矢量函数的微分zzyyxxdtdAdtdAdtdAdtdeeeAzzyyxxdAdAdAdeeeA0CddtddtddtdBAB)A(AAA)dtdudtdudtud(BABAB)Adtddtddtd(BABAB)Adtddtddtd(zzyyxxdttAdttAdttAdtteee)()()()(Adttdttdttt)()()()(B BB BAA是常矢量）（CACAC )()(dttdtt是常矢量）（CAAC )()(dttCdtt(

3、6) 矢量函数的积分(1) 标量场-等值线(面)在曲面上，标量函数函数u(M)的值为常数，这个曲面成为等值面u(x,y,z)=C等值面与给定平面相交，得到在该平面上的等值线。u(x,y,z)在xoy平面上的等值线方程u(x,y)=C要点： 用等值面表示标量场，一般将相邻两个等值面之差设为定值。 可以根据等值面的稀疏程度观察场量的空间分布。0d lA矢量线：在它上面每一点处曲线的切线方向和该点的场矢量方向相同。zyxdzdydxdeeel切线：zzyyxxAAAeeeA场矢量：方向相同zyxAdzAdyAdx矢量线微分方程(2)矢量场的矢量线计算机技术发展，可以可视化、形象化。 电位分布云图电场

4、强度矢量(3)云图(Contour）标量函数u(x,y,z), 沿方向l的方向导数MM0ll0000|)()(|limlim0MMMMMMdldululMuMulu方向导数：表示标量函数在一点M0处沿某一方向l对距离的变化率，反映了函数u(M)沿l方向增减的情况。lzzulyyulxxuluM0(1) 方向导数的方向余弦直线ldldzdldydldxdzdydxd cos,cos,cos,lzuyuxuluMcoscoscos0zyxzuyuxueeeG令cos,cos,cosle),cos(|lllueeGGG(2) 梯度(gradient)结论：直线l方向变化，方向导数数值也变化。当 时，

5、方向导数达到最大值G。G与l方向一致梯度：标量场u中的M，存在矢量G，方向为u(x,y,z)在M处变化最大的方向(方向导数)，模值为这个最大值的数值|G|，矢量G为标量u在M点处的梯度，gradu。xxxzuyuxugradueeeG(1) 通量矢量 E E 沿有向曲面S S 的面积分SnSSnddSdSESeEE 矢量场的通量 若S 为闭合曲面,外侧为正sdSE 0 (有正源) 0 (有负源) = 0 (无源)描述任意一点的通量，即通量的体密度，单位体积的通量，称作散度VdSVSEE0limdiv散度代表矢量场的通量源的分布特性divE= 0 (无源）divE= 0 (正源)divE= 0

6、(负源)在矢量场中，若divE=0，有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 E=0，称之为无源场。zEyExEzyxEdiv(2) 散度(Divergence)VSdVdivd)(ASAVzyxSzyxdxdydzzAyAxAdxdyAdzdxAdydzA)(散度定理，高斯公式，奥氏公式意义： 给出了闭合面积分与体积分之间的等价互换关系。(3) 散度定理(1) 环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分LdlA流速场环量密度LdSdSdPSl1lim该环量为绕An(en)的环量面密度。不

7、同的en，其环量密度不同。(2) 旋度矢量R，方向为环量面密度最大的方向，模即最大环量的值，称R为A在M点的旋度。zyxzyxAAAzyxroteeeAARrotSAAldrotdSl矢量函数的线积分与面积分的互换。(4) 斯托克斯(Stockes)定理SxyzxyzdxdyxAxAdzdxxAzAdydzzAyAdzAdyAdxAl)()()(zyxzyxzyxeee直角坐标系下：不是函数，也不是物理量，是一种运算。(1) 作用规则zuyuxuu )zyx(uzyxzyxeeeeeezAyAxAAAAzyxzyxzzyyxxzyx )()(eeeeeeA标量算子,zAyAxAzyxAzyxz

8、yxzzyyxxzyxAAAyyxAAAzyxeeeeeeeee )()(A(2) 梯度、散度、旋度uzuyuxugraduzyxeeeAAzAyAxAdivzyxAArot2222222zyx2222222222222)(zuyuxuuzyxuuzzzzyyyyxxxxzAyAxAzAyAxAzAyAxAzyxzyxeee)( )()( )(2222222222222222222222222222222AAAAA(3) 拉普拉斯算子(Laplace)散度定理 VSdVdASA斯托克斯定理 SAAlddSl)()()(BABABAAAA2)()(5)亥姆霍茨定理在场域内，矢量场由它的散度、旋度

9、及边界条件唯一地确定。确定一个矢量必须同时已知其散度和旋度。(4) 相关公式 直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系(1) 直角坐标系单位矢量：ex,ey,ezzyxdzdydxdeeel线段元：zyxdxdydzdxdydzdeeeS面积元：dxdydzdV体积元：zyxzuyuxuueeezAyAxAzyx Axyzxyzexeyez2222222zuyuxuuzzzzyyyyxxxxzAyAxAzAyAxAzAyAxAeee)( )()(2222222222222222222 AzyxzyxAAAyyxeeeAxyzxyzerezerzrzuurruueee1zAArrArrzr1)(1Azr

10、zrArAAzrrreee1A2222221)(1zuurrurru)?(2自己查找 A(2) 圆柱坐标系xyzxyzrereeeeeururruursin11ArArArrrrsin1)sin(sin1)(122AArrAArrrrr)sin()sin(sin12eeeA)?(22自己查找uA,(2) 球坐标系(1) 平行平面场如果在垂直某一直线(设为 Z 轴)的一族平行平面上（定性分析，非常重要），场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。在直角坐标系中，0),(zzyxFZ轴如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上(定性分析，选择合适的坐标系非常重要)，场 F 的分布都相同，则称这个场为轴对称场。在圆柱坐标系中F=f(r,z)，0),(zrF(