空间向量运算的坐标表示教案

1、数学教学设计设计人：董永兴教材分析：引入空间直角坐标系， 为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点， 为 培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算， 以及根本定理的根底上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律， 是平面向量的 坐标运算在空间推广和拓展， 为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方 法根底。学情分析：学生在必修 2 中学习了立体几何初步以及在必修 4中学习了平面向量的根底 上学习空间向量及其运算， 并利用空间向量解决立体几何中直线、 平面位置关系 的问题，本节课由平面向量推广到空间向量这一过程中， 应注意维数增加对学生 带来的影响，让学生感受数学概念

2、推广可能带来很多更好的性质。教学方法：根据教材的特点和学生的实际情况， 本节课采用“启发探究 式的教学方法： 从教材内容来看，空间向量的坐标运算无论是结构还是内容都与平面向量相似， 因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学， 从空间向量的坐标运算问题提 出到空间直角坐标系的建立， 从向量坐标确实定到向量坐标运算规律的探索、 证 明和记忆都与平面向量作类比， 让学生经历向量坐标运算由平面向量向空间向量 的推广的全过程，充分体会数学知识的发生和开展过程。学习目标：1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。2、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。3、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式

3、、空间两点间距离公式；并会应 用这些知识解决简单的立体几何问题。过程与方法：让学生经历向量坐标运算由平面向空间向量推广的全过程， 充分体会数学知 识的发生和开展过程。情感态度与价值观：通过空间直角坐标系的建立和空间向量的坐标运算规律的探索， 开展学生的 空间想象能力、探索能力，提高学生的科学思维素养。学习重点：1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示2、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式； 学习难点：弓I入空间直角坐标系后，应用空间向量解决简单的立体几何问题教学过程:一、情境引入1. 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨 石，这三个力

4、为F,、F2、F3，它们两两垂直，且|刊 3000N、| F2 2000N、F3 2000 3N .假设以Fi、F2、F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空 间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就 需要用到空间向量运算的坐标表示。2. 复习回忆平面向量坐标运算3=(捲，yj， b=( X2, y2)，写出以下向量的坐标表示r ra + b =( + x2， yi + y2)r ra - b =( xi- X2， yi- y2)ra =( xi，yi)r ra ?b=xix2 yiy2r ra/ bx x2yi=0a 丄 bxix2 yiy2=0设a (x,

5、 y)，那么 | a |2 x2 y2 或 |a|x2 y2如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(Xi，yj、(X2,y2)，那么l；| (Xi X2)2 (yi y2)2(平面内两点间的距离公式)r rCOS=MXiX2 yiy2( 0)lallbl xi2 yi2 . X22 麗(新课讲授:我们知道，向量a在平面上可用有序实数对(X , y)表示，在空间 那么可用有序实数组X, y,z表示。类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示。空间向量的直角坐标运算：、 rr1.设a =孔忌),b =(血成)，贝Sr r(1) a + b = (

6、ai bi, a2 b2,a3 b3)；)a b = (q bi, a2 b2, a3 b3)；右 a = ( a“ a2, a3)( R)； a b =a2p asd .上述运算法那么怎样证明呢？(将a = a i + a2 j + a3 k和b = b1 i + pj +b3k代入即可)rr2.两个向量共线或垂直的判定：设a = (a1,a2,a3), br r r r a / b a =入 b a1b,a2b3 , ( R)=(d,b2,b3),贝卩a1a2a3bb2b3 ； a 丄 b a b =0a1b1 a2b2 a3b3 0练习1： a 3,2,5 ,b1,5, 1，求：a +

7、b3； - b6；a b练习2： a2, 1,3 ,b 4,2,x，且arr贝 S x =.2b)/(2 aurb),那么()A. x1B. x2,y练习 3: a 1,2, y ,b x,1,2，且AC. x 2, y 一 D. X 1,y143. 向量的模：设 a= (a1,a2,a3)，那么 | a |= a2 a| af利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：4. 空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，点 AgQq), BGbG)，那么A, B两点间的距离 5、两个向量夹角公式这个公式成为两个向量的夹角公式. 利用这个公式，我们可以求 出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关 系：r rr r当cosV a、b > = 1时，a与b同向；当cos V a、b >= 1时，a与b反向；当 COS V a、b > = 0 时，a 丄 b .练习：A 3,5, 7 ,B 2,4,3 ,求Ab,ba,线段AB的中点坐标及 线段AB的长度.三、典型例题四、课堂小结1. 根本知识：1空间向量坐标表示及其运算2向量的长度公式与两点间的距离公式；3求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在适宜的直角坐标系中找出两个向量