高等数学：5-3 定积分的换元法和分部积分法

1、1第三节第三节 定积分的换元法定积分的换元法 和分部积分法和分部积分法定积分的换元法定积分的换元法小结小结 思考题思考题 作业作业定积分的定积分的分部积分分部积分法法definite integral by partsdefinite integral by substitution第五章第五章 定积分定积分2 上一节的牛上一节的牛莱公式将定积分的计算莱公式将定积分的计算的形式的形式,而不定积分可用换元法而不定积分可用换元法和分部积分法求积和分部积分法求积 , 这样定积分的计算问题这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了已经比较完满地解决了.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法

2、归结为求不定积分归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分如果将换元法和分部积分法写成定积分常可使得计算常可使得计算更简单更简单.3定理定理1则有则有 baxxfd)(定积分换元公式定积分换元公式假设函数假设函数上上或或在在),(, )( t f )(t tt d)( 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法,)(baCxf 函数函数满足条件满足条件:(1) (2) 具有连续导数具有连续导数,且其值域且其值域,baR definite integral by substitution ( )xt ( ),;ab 4证证,)(baCxf

3、因因为为),(xF xxfbad )( )(ddtFt 是是故故)(tF tttfd )()( )()(aFbF 故有故有 tttfxxfbad)()(d)( 则则由于由于 tttfxxfbad)()(d)( )(tF )()(ttf 的的)()(ttf N-L公式公式)()(aFbF N-L公式公式则则 )()( FF 所以存在原函数所以存在原函数定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法原函数原函数,)(t 5注注由于积分限做了相应的由于积分限做了相应的故积出来的原函数不必回代故积出来的原函数不必回代;求定积分的方法有两种方法求定积分的方法有两种方法: 可用可用N-L公式公式;从

4、换元的观点从换元的观点. tttfxxfbad)()(d)( (1),ab当时换元公式仍成立换元公式仍成立;(2) 在定积分换元公式中在定积分换元公式中,改变改变,(3)定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法6例例 解解 203dsin xx 203dsin xx 202dsinsin xxxxxcosd)cos1(202 xtcos ttd)1(2 01331tt 在用在用“凑凑”微分的方法微分的方法时时, 0 x32xtcos 1 t,2 x0 t不明显地写出不明显地写出下限就不要变下限就不要变.定积分的上、定积分的上、2 001新的变量新的变量 t ,注注定积分的换元法和分

5、部积分法定积分的换元法和分部积分法7或或 203dsin xxxxxdsinsin202 202cosd)cos1( xx203cos31cos xx 32 例例 )0(d022 axxaa解解原式原式2220cos dat t,sintax 令令2,0, 0 taxtx2201cos2d2tat241a 这是半径为这是半径为a的四分之一的圆的面积的四分之一的圆的面积.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法.dcosdttax 8例例 解解 43)ln1(lndeexxxx原式原式 43)ln1(ln)(lndeexxx 43)ln1(ln)(lndeexxx 432)ln(1l

6、nd2eexx 43)lnarcsin(2eex .6 )ln(dx定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法xxlndln1219解解 aaxxax022)0(d1令令,sintax ax 2 t0 x0 tttaxdcosd 原式原式 ttcossin 20dcossinsincos121 ttttt 20cossinln21221 tt .4 ttatatad)sin1(sincos22 02 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 20 tcostd tsintcos tsin 2110 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的

7、例子的例子. 换元积分换元积分例例 则则上上可可积积在在区区间间设设,)(aaxf 证证 由于由于 aaxxfd)( 0d)(axxf对对, tx 令令 axxf0d)(由由被积函数的变化和积分区间变化被积函数的变化和积分区间变化来确定变换来确定变换.通常通常 0d)(axxf aaxxfxfxxfd)()(d)(0a定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法作作变换变换,.ddtx 还可以证明一些定积分等式还可以证明一些定积分等式,11,ax , 0 x 0d)(axxf attf0d)(x利用这一结果计算利用这一结果计算:xexxd1cos44 22xexexxxd1cos1co

8、s40 则则;at . 0 t 0d)(attftx 令令 40dcos xx定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法.ddtx x aaxxfd)( axxf0d)( 0d)(axxf aaxxfxfxxfd)()(d)(a012可得可得: 由定积分的几何意义由定积分的几何意义(面积的代数和面积的代数和)也可得也可得.,)(上连续上连续在在当当aaxf 且有且有,)()1(为偶函数为偶函数xf则则 aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(为奇函数为奇函数xf则则 aaxxf0d)(定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 由由 aaxxfxfxxfd)()(d)

9、(a013 xxxdsin4 112d4xx xxxxxd12sin552423xx d412 00例例 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法20140 xxxd |1121212d(4 21)5xx53422222222dd11xxxxxxxx 038 xxxd |2 奇奇奇奇偶偶定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法11xxxxd12220224 211 .|dxxx 543222222 .d1xxxxxx15证证 (1)tx 2 例例 证明证明上连续上连续在在若若, 1 , 0)(xf 2020;d)(cosd)(sin)1( xxfxxf 00,d)(si

10、n2d)(sin)2(xxfxxxf由此计算由此计算 02.dcos1sinxxxx设设定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 20d)(cos ttf 20d)(cos xxf02 txdd 证毕证毕.0202(sin )dsin) ( dt)=2fxxft16定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法tx txdd 0d)(sinxxxf 0d)(sin)(ttft设设 0d)(sinxxxf.d)(sin20 xxf证证由此计算由此计算 02.dcos1sinxxxx 00d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf 0d)(sinttf 0d)(sinttft

11、0 证明证明上连续上连续在在若若, 1 , 0)(xf0 xx x() sin()dt ftt 17 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 02)(cosdcos112xx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 说明说明:尽管尽管, 0cos1sin2 Cxxx 但由于它没有但由于它没有初等原函数初等原函数,故此积分无法直接用故此积分无法直接用N-L公式求得公式求得.00(sin )d(sin )d2xfxxfxx定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法18.d)(d)(,)(0为任何常数为任何常数则则的周期的周期是连续函数是连续函数如果如果axx

12、fxxfxfTTaaT 这个公式就是说：这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等区间上的定积分都相等.(留给同学证留给同学证)定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法19例例 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求设设解解 法一法一,2tx 令令tx 2txdd e137 tt d )1(012 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法1 331(2)df xx11( )df tt10dtet20法二法二 )2(xf即即 , 2, 2, 54)2(22xexxxxfx 31d)2(xxf 1 3e13

13、7 , 02 x,)2(12 x, 02 x,)2( xexxxd)54(2 xexd2 22定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求设设21 xxttxtx020dsin1lim求求极极限限解解被积函数中除积分变量被积函数中除积分变量t外还含有变量外还含有变量x,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式,应先作换元变换应先作换元变换,uxt 令令,xut 则则0 t; 0 u.2xu xt xttxt0dsin.ddxut uuuxdsin20 xxxxx22sinlim220 1

14、 00分析分析02xxuusinxud 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法22001sin=limduxxuxu原式22定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法选择题选择题设函数设函数)(xf连续连续,则下列函数中则下列函数中,必为必为偶函数偶函数的是的是.d)()(02ttfAx .d)()(02ttfBx .d)()()(0ttftftCx .d)()()(0ttftftDx 分析分析 xttfx0d)()()( 0d)(ttfx x 2002年考研数学年考研数学(二二)选择选择3分分)(Attfxd)(02 )( xut ud x0utdd )(2uf )(

15、x 23定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法二、定积分的二、定积分的分部积分分部积分法法设设)(),(xvxu上上在区间在区间,ba有有连续的导数连续的导数,则则 vuddefinite integral by parts定理定理2uv uvd由不定积分的分部积分法由不定积分的分部积分法abbaab及及N-L公式公式. bababauvuvvudd24例例 30d1arcsinxxx解解xxx 1arcsin334 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法uvd原式原式=30 30 xxxxd)1(2 xxxd)(1)(302

16、2 11 xd)arctan(xx 30 301xx25例例 解解 102d)2()1ln(xxx 10)1ln(x2ln 10)2ln()1ln(312lnxx 2ln31 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法1990年考研数学年考研数学(一一)计算计算5分分原式原式=u dx 21xx 2)1ln(10 xxxd112110 xd10 xx21113126例例 解解 21,dsin)(xtttxf设设.d)(10 xxxf求求 10d)(xxxf2dx102)(21xfx 102)(d21xfx)1(21f 102d)(21xxfx无法直接求出无法直接求出),(xf所以所以

17、因为因为ttsin没有初等原函数没有初等原函数,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法分析分析被积函数中含有被积函数中含有“积分上限的函数积分上限的函数”,用用分部积分法分部积分法做做.u 10)(xf21选择选择积分上限的函数积分上限的函数为为.u 21dsin)(xtttxf 110)1( f22sin)(xxxf xx2sin2 x2 27 102dsin221xxx 1022dsin21xx102cos21x ).11(cos21 )1(21f 102d)(21xxfx定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 10d)(xxxf0)1( f)(xf xx2si

18、n2 注注今后也可将原积分化为二重积分计算今后也可将原积分化为二重积分计算.28例例 证明定积分公式证明定积分公式证证设设,sin1xun ,dsindxxv xnun 2sin)1(d ,cos xv xxxxInnndcosdsin02 02 2020d)(cosd)(sin xxfxxfn为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数,22143231 nnnn,3254231 nnnn,dcosxx nI2212200 sincos (1)sincosdnnxxnxx x J.Wallis公式公式十七世纪的英国数学家十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出给出.定积分的换元

19、法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 29x2sin1 0)1( n21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止 20dsin xxInnxxnndsin)1(20 2 nI)1( nnI 200d xI 201dsin xxI因为因为,2 , 1定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 nI2212200 sincos (1)sincosdnnxxnxx x2 nn换成换成220(1)sindnnInx x30所以所以,21 nnInnI 4231nInnnn02143231Innnn 22

20、143231 nnnn21 nnInnI 4231nInnnn13254231Innnn 13254231 nnnn,12 nnInnI4223 nnInnI当当n为正偶数时为正偶数时,当当n为大于为大于1的正奇数时的正奇数时,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法31例例 xxxxdsindcos20102010 2200dcosdsin xxxxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用上公式在计算其它积分时可以直接引用. 注注 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分

21、部积分法54 7722006sindcosd7x xx x32 1 65 9710 843 21 2 32例例 xxxd42202 解解,sin2tx 令令 原式原式tttd)sin(sin162042 用公式用公式2cos2cos dtt tn为正偶数为正偶数22143231dsin20 nnnnxxn定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法0 2 t2sin402 d2cos dxt t33xxeedln)1(1 计算计算解解 xxeedln1用定积分的分部积分公式（先求用定积分的分部积分公式（先求不定积分如何？请试试）不定积分如何？请试试）e22 e11 e1xxdlnxxdln 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法34定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 bababauvuvvudd定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法