大学物理《普通物理学简明教程》第二章牛顿定律

1、 第二章 牛顿定律问题解答2-1 一车辆沿弯曲公路运行。试问作用在车辆上的力的方向是指向道路外侧，还是指向道路的内侧？解 车辆在弯曲的公路上运行，即汽车作曲线运动，而物体做曲线运动需要一个指向曲率中心的向心力来维持，即作用在车辆上的力的方向指向道路的内侧。2-2 将一质量略去不计的轻绳，跨过无摩擦的定滑轮。一只猴子抓住绳的一端，绳的另一个质量和高度均与猴子相等的镜子。开始时，猴子与镜在同一水平面上。猴子为了不看到镜中猴子的像，它作了下面三项尝试：（1）向上爬；（2）向下爬；（3）松开绳子自由下落。这样猴子是否就看不到它在镜中的像了吗？解 （1）当猴子向上或向下爬时，猴子与镜子受力如右图所示。以

2、地面为参考系，取向上为轴正方向。由牛顿定律分别列出它们的动力学方程 又 且猴子与镜子的质量相等，即由上可知，猴子与镜子运动的加速度大小相等，方向也相同，即在相等的时间内镜子与猴子上升或下降的距离相等，它们始终处于同一水平面上。（2）当猴子松开绳子自由下落，此时猴子在其自身重力作用下自由下落。在相等时间内它们下降相等的距离。由以上分析可知，在这三种过程中，猴子与镜子始终处于同一平面上，所以猴子能看到镜子中自己的像。2-3 如图所示，轻绳与定滑轮间的摩擦力可略去不计，且。若使质量为的两个物体绕公共竖直轴转动，两边能否保持平衡？解 三个物体的受力分析如下图所示，对于右边任意一个物体有又右边绳中张力关

3、系有所以 可见竖直绳中张力正好等于左边物体的重力，致使滑轮的两边能够保持平衡。2-4 如图所示，一半径为的木桶，以角速度绕其轴线转动。有一人紧贴在木桶壁上，人与木桶间的静摩擦因数为. 你知道在什么情况下，人会紧贴在木桶壁上而不掉下来吗？解 人受力分析如图所示，他受到竖直向下的重力、沿壁向上的摩擦力，还有桶壁对他的支持力。其中支持力提供人随木桶绕轴转动所需的向心力。要使人紧贴在木桶壁上而不掉下来，即人受到的静摩擦力与重力平衡，这就要求人与木桶间的最大静摩擦力要大于人的重力，使人始终受到与自身重力平衡的静摩擦力。由上分析可知 （1）而随支持力（即角速度）变化而变化 （2）由（1）（2）式可得2-5

4、 一人站在电梯中的磅秤上，在什么情况下，他的视重为零？在什么情况下，他的视重大于他在地面上的体重？解 人在磅秤上的受力如右图所示。由作用力与反作用力，人在磅秤上的视重等于磅秤对人的支持力的大小。要使视重大于人在地面上的体重，即此时人应随电梯有一个向上的加速度。即此时电梯向上加速运动。2-6 在升降机中有一只海龟，如图所示。在什么情况下，海龟会“漂浮”在空中？解 海龟在升降机中受自身重力和升降机底面对它向上的支持力，海龟随升降机一起运动，当海龟所受的支持力为零即，海龟会“漂浮”在空中，此时海龟随升降机向下加速运动，且加速度大小等于重力加速度值。2-7 为测量车厢的加速度，有人提出这样一个办法，在

5、车厢顶上悬挂一根长为细绳，绳下系一质量为的小球，并在竖直位置放一量角器（如图所示）。通过测量绳与竖直线的摆角可测出车厢的加速度。你知道其物理原理吗？解 小球随车厢一起以加速度向前运动，以地面为参考系，建立坐标系，小球受力如右图所示。由牛顿定律，在轴、轴方向小球的动力学方程为 （1） （2）由（1）（2）式可得，此时小球的加速度即车厢的加速度大小为由上式可见，只要测量出绳与竖直线的摆角即可得到车厢的加速度。习题解答2-1 一木块能在与水平面成角的斜面上匀速下滑。若使它以速率沿此斜面向上滑动，试证明它能沿该斜面向上滑动的距离为.证明 以木块为研究对象，其受力分析如图所示。以沿斜面向上为轴正向，由牛

6、顿第二定律可得滑块沿斜面下滑、上滑时的动力学方程为其中，物块上滑时的加速度为一恒量，即物块作匀变速直线运动，假设物块能上滑的最大距离为，此时速度为零。其运动学方程为由上述三式可得木块能向上滑动的距离为 2-2 假使地球自转速度加快到能使赤道上的物体处于失重状态，一昼夜的时间有多长？解 赤道上的物体随地球自转作圆周运动，当其作圆周运动所需的向心力仅由重力提供时，物体处于失重状态，即为地球半径，此时地球自转的角速度为所以地球自转一昼夜所要的时间为2-3 一枚质量为的火箭，在与地面成倾角的发射架上，点火后发动机以恒力作用于火箭，火箭的姿态始终以与地面成的夹角飞行。经后关闭发动机，计算此时火箭的高度及

7、距发射点的距离。（忽略燃料质量和空气阻力）解 如图，以地面为参考系，在火箭飞行的竖直平面内建立坐标系，由题意分析，火箭在飞行的过程中始终受重力和与水平面成角的恒定推力的作用，由牛顿定律得其动力学方程为 将上式分解到、坐标中得 （1） （2） 又由于加速度恒定不变，火箭在水平、竖直方向均作匀变速直线运动，由运动学方程可得，火箭经过后到达位置点的坐标为 ， （3）由（1）（2）（3）式，可得 ，火箭距发射点的距离为 2-4 图示一斜面，倾角为，底边长为，质量为的物体从斜面顶端由静止开始向下滑动，斜面的摩擦因数为. 试问，当为何值时，物体在斜面上下滑的时间最短？其数值为多少？解 如图，取斜面顶点处为

8、原点，沿斜面向下为轴正方向。由牛顿定律，物体在轴方向有即 （1）又物体沿斜面向下做匀变速运动，所以有 由（1）式得 （2）当物体在斜面上下滑时间最短时，有 ，由（2）式可得即 ，将值代入（2）式，可得下滑的最短时间为2-5 工地上有一吊车，将甲、乙两块混凌土预制板吊起送至高空。甲块质量为，乙块质量为. 设吊车、框架和钢丝绳的质量不计。试求下述两种情况下，钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力：（1）两物块以的加速度上升；（2）两物块以的加速度上升。从本题的结果，你能体会到起吊重物时必须缓慢加速的道理吗？解 取竖直向上为轴正向，要求钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力，我们分别以甲、乙整体和乙

9、为研究对象，其受力分析如右。其中为框架整体所受的钢丝绳对它的拉力，即绳中张力。是物体乙受到的物体甲对它的支持力。甲乙当物块以加速度上升时，由牛顿定律，对于甲、乙整体有 对于物体乙 由上两式可得 （1） （2）（1）两物块以的加速度上升时，由以上（1）可得绳所受的张力的值为由（2）式得甲对乙的作用力的值为 由牛顿第三定律，乙对甲的作用力为（2）两物块以的加速度上升时，绳所受的张力值为乙对甲的作用力为 由上述结果可知，在起吊重物时，物体的加速度越大，绳中所需的张力越大，物体的加速度越小，绳中所需的张力越小。因此，起吊重物时必须缓慢加速，以确保起吊安全。2-6 如图所示，已知两物体A、B的质量均为，

10、物体A以加速度运动，求物体B与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计）解 物体和滑轮受力分析如右图所示。由牛顿定律得物体A、B及滑轮的动力学方程为其中，由牛顿第三定律有 ，综合上式可得物体B与桌面的摩擦力为2-7 质量为的长平板以速度在光滑平面上作直线运动，现将质量为的木块轻轻平稳地放在长平板上，板与木板之间的动摩擦因数为，求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度？解 木块与平板的受力分析如右图所示，以地面为参考系，由牛顿定律可得木块与平板的动力学方程分别为 （1） （2）且 （1）、（2）中、分别是木块和平板相对地面运动的加速度。若以长平板为参考系，平板运动的方向为轴正方向，则木块相对

11、于平板的加速度为，它相对于平板作初速度为的匀减速运动，直到停止在长平板上，假设木块在平板上滑行的距离为，由匀变速直线运动规律， （3）由（1）、（2）及（3）式可得 2-8 在一只半径为的半球形碗内，有一粒质量为的小钢球，当小球以角速度在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？解 由题意分析可得，小球在水平面内作匀速圆周运动的向心力由碗内壁对它的支持力在水平面上的分量提供。取钢球和碗中心轴线所在的平面为坐标面，如图建立坐标系.取钢球为隔离体，其受力分析如图所示，其中支持力垂直于碗壁，且总在坐标平面内。其动力学方程为其中 由以上三式可得，钢球距碗底的高度为2-9 一质量为的小球最初位于

12、如图所示的A点，然后沿半径为的光滑圆轨道ADCB下滑。试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力。解 小球受力分析如图所示，它受重力和轨道对它的支持力. 取自然坐标系，由牛顿定律，小球的切向和法向运动方程为 （1） （2）又 ， 代入（1）式得 （3）又小球从A运动到C，速度由到，角度由到，对（3）式两边积分所以 则小球到达C点的角速度为 由（2）式得，此时小球受到轨道对它的支持力为由牛顿第三定律得，小球对圆轨道的作用力为2-10 轻型飞机连同驾驶员总质量为. 飞机以的速率在水平跑道上着陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数，求：（1）后飞机的速率；（2）飞机着陆后后内滑行的距离

13、。解 如图，取飞机沿水平轨道运动的方向为轴正方向。由牛顿定律，飞机的动力学方程为 （1）由题意可知，飞机所受的阻力大小与时间的关系为 （2）由（1）、（2）式得， 考虑到初始条件，将上式积分可得时刻飞机的速率为 当时，飞机的速率为 又由可得时间内飞机滑行的距离将代入上式可知飞机着陆后滑行的距离为 2-11 质量为的跳水运动员，从高台上由静止跳下落入水中。高台与水面距离为. 把跳水运动员视为质点，并略去空气阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为，其中为一常量。若以水面上一点为坐标原点，竖直向下为轴，求：（1）运动员在水中的速率与的函数关系；（2）若，跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率减少

14、到落水速率的？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等。）解 （1）如右图，运动员从高台跳下作自由落体运动，由运动学公式当他落到水面时速度为入水后，运动员受到其自身的重力，浮力和水对他的阻力的作用。由牛顿定律，运动员入水后的动力学方程为其中，并且 代入上式整理得考虑到入水时的初速度，对上式两边积分所以运动员在水中的速率与的函数关系为（2）由第（1）问关系式结果可得将及代入上式得此时运动员下沉的距离为 2-12 质量为的物体，由地面以初速竖直向上发射，物体受到空气的阻力为，且.（1）求物体发射到最大高度所需的时间；（2）最大高度为多少？解 （1）如图，取地面上一点为原点，竖直向上为轴正方向。物体受到重力和阻力的作用由初速度竖直向上减速运动，到达最高处时速度为零。由牛顿定律，物体的动力学方程为 （1）将阻力代入上式整理得 考虑到初始条件，对上式积分即物体发射到最大高处所需的时间约为.（2）将代入到（1）式整理得对上式积分可得物体上升的最大高度为即 2-13 质量为的摩托车，在恒定的牵引力的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是. 试计算从静止加速到所需的时间以及所走过的路程。解 由题意可设车所受的阻力与速度的函数关系为 ，摩托车在牵引力与