第四节分式线性映射

1、第四节第四节 分式线性映射分式线性映射 分式线性映射分式线性映射 分式线性映射的性质分式线性映射的性质分式线性映射分式线性映射一一、.,)1 . 4()0(1为常数为常数其中其中称为分式线性映射称为分式线性映射复变函数复变函数定义定义dcbabcaddczbazw .,的一类映射的一类映射共形映射基本又很重要共形映射基本又很重要它是它是变换等变换等线性变换线性变换分式线性映射又称分式分式线性映射又称分式Mobius.1)4();()3();0()2(;)1(:,zwzewrrzwbzwdcbai 反演映射反演映射为实数为实数旋转映射旋转映射伸缩映射伸缩映射平移映射平移映射性映射性映射列最基本的

2、分式线列最基本的分式线取特殊值可得到下列下取特殊值可得到下列下对对 01,10, 010,)(1)(),(1)(,1,.,2 wzwzwzzdzdwzzwzzwzrezwrezii所映成的过原点所映成的过原点演映射演映射点的交角等于它们由反点的交角等于它们由反远点的曲线在无穷远远点的曲线在无穷远如果规定两条伸向无穷如果规定两条伸向无穷是共形映射是共形映射时反演映射时反演映射所以当所以当时时当当平面平面半半上上在下在下半平面时半平面时下下在上在上当当内内在单位圆外在单位圆外时时外外在单位圆内在单位圆内所以当所以当则则令令下面侧重说明反演映射下面侧重说明反演映射映射映射所以都是全平面的共形所以都是

3、全平面的共形它们的导数均不为零它们的导数均不为零很清楚很清楚前三个映射的几何意义前三个映射的几何意义 图图7-16形映射形映射伸缩在扩充复平面是共伸缩在扩充复平面是共旋转旋转平移平移这样的约定这样的约定根据根据射射在扩充复平面是共形映在扩充复平面是共形映因此反演变换因此反演变换形的形的也是共也是共在在则可以认为则可以认为角角的两条曲线在原点的交的两条曲线在原点的交、zwzzw,1,01, .,11azwrzwzezzrewreaazwiii 可复合得到可复合得到用用则则假定假定到到可由旋转和伸缩复合得可由旋转和伸缩复合得 .,平移复合得到平移复合得到伸缩和伸缩和它可由旋转它可由旋转称为整线性映

4、射称为整线性映射、bazw .)1 . 4(:射复合得到射复合得到伸缩和反演四个基本映伸缩和反演四个基本映旋转旋转可由平移可由平移一般的分式线性映射一般的分式线性映射现在我们证明现在我们证明、这时这时否则否则则则若若, 0, 00 bcaddc.,伸缩得到伸缩得到旋转旋转可由平移可由平移它是整线性映射它是整线性映射、dbzdaw )2 . 4()()(11)1 . 4(, 02cdzcadbccacdzcadbcdzaccdzbazcwc 为为则改写则改写若若.,).1 . 4()(),(),(1),(3223121仍是分式线性映射仍是分式线性映射合合两个分式线性映射的复两个分式线性映射的复直

5、接计算可知直接计算可知另一方面另一方面线性映射线性映射由它们的复合得到分式由它们的复合得到分式平移平移伸缩伸缩旋转和旋转和反演反演平移平移令令cazwzcadbczzzcdzz ),0( ,),0( ,2222222211111111 cbdadzcbzacbdadcbaw 设设例如例如.,dczbazw 复合后得复合后得把后式代入前式把后式代入前式)3 . 4(,22221111 dcbadcbadcbadcba可以证明成立等式可以证明成立等式后后在直接算出在直接算出. 0)(22221111 cbdacbdabcad因此因此.,)1 . 4(1性映射性映射为分式线为分式线分式线性映射的复合

6、仍分式线性映射的复合仍演四种变换复合得到演四种变换复合得到伸缩和反伸缩和反旋转旋转可由平移可由平移分式线性映射分式线性映射定理定理、分式线性映射的性质分式线性映射的性质二二、.),()1 . 4(1射射它的逆映射也是共形映它的逆映射也是共形映保角映射保角映射值共形映射值共形映射方单方单是在扩充复平面上的双是在扩充复平面上的双分式线性映射分式线性映射性质性质,)1 . 4(.)1 . 4(,1acwbdwz、 的逆映射为的逆映射为直接计算可知直接计算可知值的共形映射值的共形映射在扩充复平面上双方单在扩充复平面上双方单也是也是因此分式线性映射因此分式线性映射射射都是双方单值的共形映都是双方单值的共

7、形映平面平面而这四种变换在扩充复而这四种变换在扩充复到到和反演四种变换复合得和反演四种变换复合得伸缩伸缩旋转旋转移移知分式线性映射可由平知分式线性映射可由平由定理由定理证明证明.)5 . 4(, 0)(是分式线性映射是分式线性映射所以所以因因 bcadbcad.1保角性保角性说成分式线性映射具有说成分式线性映射具有把性质把性质.)1 . 4(2平面的圆周平面的圆周充充平面的圆周映为扩平面的圆周映为扩把扩充把扩充分式线性映射分式线性映射性质性质wz.)4 .)3 .)2 .)1:平面的直线平面的直线平面的直线映为平面的直线映为把把平面的圆周平面的圆周平面的直线映为平面的直线映为把把平面的直线平面

8、的直线平面的通常圆周映为平面的通常圆周映为把把平面的通常圆周平面的通常圆周映为映为平面的通常圆周平面的通常圆周把把情况情况这一性质包含下述四种这一性质包含下述四种wzwzwzwz.2保圆性保圆性说成分式线性映射具有说成分式线性映射具有把性质把性质.,2平面的圆周平面的圆周反演映射后是扩充反演映射后是扩充平面上的直线经平面上的直线经因此只需证明扩充因此只需证明扩充仍旧是圆周或直线仍旧是圆周或直线伸缩伸缩旋转旋转移移因为圆周或直线经过平因为圆周或直线经过平的证明的证明性质性质wz、系下可写成系下可写成平面的圆周在直角坐标平面的圆周在直角坐标扩充扩充z)6 . 4(0)(22 dcybxyxa,11

9、,)6 . 4(02222vuvyvuuxivuwiyxzwzzwa 并分开实部和虚部可得并分开实部和虚部可得代入代入将将改写为改写为把反演映射把反演映射表示直线表示直线时时当且仅当当且仅当)7 . 4(0)(1)6 . 4(:)6 . 4(22 acvbuvudzw映射后的像为映射后的像为经经化简可知化简可知代入代入.0,时表示直线时表示直线当当平面的圆周平面的圆周这是扩充这是扩充 dw,)1 . 6(,有点被映射为无穷远点有点被映射为无穷远点平面的圆周或直线上没平面的圆周或直线上没给定的给定的如果在如果在下下在分式线性映射在分式线性映射根据这个性质容易推知根据这个性质容易推知z.,那末它就

10、映成直线那末它就映成直线无穷远点无穷远点如果有一点被映成如果有一点被映成有限的圆周有限的圆周那末它就被映成半径为那末它就被映成半径为?)(167()8 . 4(, 0,:1映成何图形映成何图形见图见图的两圆弧围成的区域的两圆弧围成的区域与与把相交于点把相交于点试问分式线性映射试问分式线性映射设设例例azzkwk 图图7-16平面经过平面经过由性质由性质平面的无穷远点平面的无穷远点映为映为把把原点原点平面的平面的映为映为把把所以所以时时时时当当解解zwzwzzzkwwzwz, 2, 0 .)(,.,.,2121221121212121相等相等即其切线的交角即其切线的交角处的交角处的交角在在和和与

11、与应当应当这个角形的角度这个角形的角度根据保角性根据保角性平面的一个角形域平面的一个角形域围成围成和和通向无穷远点通向无穷远点从原点沿从原点沿时时到达到达沿沿从从当当通向无穷远点通向无穷远点从原点沿从原点沿时时到达到达沿沿从从当当射线射线是两条从原点出发的是两条从原点出发的和和因此因此通过无穷远点通过无穷远点和和且且和和平面的圆弧平面的圆弧平面上扩充平面上扩充映成映成和和的圆弧的圆弧和和 zllwLLLwlzLwlzLLLLLLwwll.,.,)(167部等也是二圆域部等也是二圆域圆外圆外所以诸如半圆内部或半所以诸如半圆内部或半弧弧被看作扩充复平面的圆被看作扩充复平面的圆因为直线段因为直线段此

12、外还应注意此外还应注意形域形域映射为顶点在原点的角映射为顶点在原点的角把二圆域把二圆域因此根据边界对应原理因此根据边界对应原理二圆域二圆域域称为域称为这样由两圆弧围成的区这样由两圆弧围成的区今后将把图今后将把图 zzkwa?),177(2, 11:2下映成何区域下映成何区域在映射在映射图图围成的区域围成的区域的二圆弧所的二圆弧所半径为半径为与与中心分别在中心分别在例例izizwzz 图图7-17.2,.,., 张角为张角为的角形区域的角形区域顶点顶点映射后映射成以原点为映射后映射成以原点为因此所给的区域经因此所给的区域经成原点成原点映射映射映射成无穷远点映射成无穷远点点点交交且互相正交且互相正

13、交与与点为点为所设两个圆弧的交所设两个圆弧的交解解iiii .211)12()12(1212, 12221iiiiwzC 它的对应点是它的对应点是与正实轴的交点与正实轴的交点取所给圆弧取所给圆弧.177,221所示所示图图从而映射成的角形域如从而映射成的角形域如第二象限的分角线第二象限的分角线映射为映射为由保角性知由保角性知上上角线角线这一点在第三象限的分这一点在第三象限的分 CCC221212121,RazazazzzzaRazzz 同时同时侧侧同同在在和和三点共线且三点共线且和和意指意指对称对称关于圆周关于圆周和和复平面上两点复平面上两点图图7-18.)3();9 . 4()( )()2(

14、;:)1(:2122121正交正交均与圆周均与圆周的任一圆周的任一圆周与与过过对称对称关于圆周关于圆周和和下列陈述等价下列陈述等价引理引理 KzzRazazRazzz221)9 . 4()9 . 4(azRaz 有时写成有时写成.,.)0(321212121对称对称关于关于和和则则对称对称关于关于和和若若和和及两点及两点圆周圆周平面的平面的分别映成扩充分别映成扩充和和及两点及两点平面的圆周平面的圆周把扩充把扩充设分式线性映射设分式线性映射性质性质 wwzzwwwzzzbcaddczbazw.,2,.,21212121对称对称关于关于和和再由引理知再由引理知也正交也正交与与们的像们的像故它故它保

15、角性保角性又因分式线性映射具有又因分式线性映射具有正交正交与与由引理知由引理知故故对称对称关于圆周关于圆周与与因因与与平面的圆周通过点平面的圆周通过点是是知它知它由性质由性质的原像为的原像为设设正交正交都与都与的任一圆周的任一圆周和和平面上经过平面上经过只需证明只需证明根据上面的引理根据上面的引理证明证明 wwKKzzzzzKKKwww.3保对称性保对称性说成分式线性映射具有说成分式线性映射具有把性质把性质.10)Im(:3的分式线性映射的分式线性映射映成单位圆映成单位圆求将上半平面求将上半平面例例 wz图图7-19 zwzzzz、wwzwz,10,01. 10)Im(,.,质知质知具有保对称

16、点不变的性具有保对称点不变的性所以根据分式线性映射所以根据分式线性映射的一对对称点的一对对称点是与之对应的关于圆周是与之对应的关于圆周与与点点是关于实轴的一对对称是关于实轴的一对对称与与而而映成单位圆周映成单位圆周实轴要实轴要的圆心的圆心要映成单位圆周要映成单位圆周有一点有一点由于上半平面总由于上半平面总映射成单位圆映射成单位圆上半平面上半平面因此它必能将因此它必能将保圆性保圆性因为分式线性映射具有因为分式线性映射具有边界圆周边界圆周的的那末实轴就相当于圆域那末实轴就相当于圆域域域成是半径为无穷大的圆成是半径为无穷大的圆如果把上半平面看如果把上半平面看解解.),(.,为常数为常数其中其中射具有

17、下列形式射具有下列形式从而所求的分式线性映从而所求的分式线性映必映成必映成kzzkww )10. 4()0)(Im(),(., 1, 1,1, zzewekkzzzzzzwzzzkwii射一般形式为射一般形式为因此所求的分式线性映因此所求的分式线性映是任意常数是任意常数这里这里即即所以所以故故这时这时上的点上的点对应着对应着而实轴上的点而实轴上的点因为因为有有取实数时取实数时这是因为当这是因为当映成单位圆映成单位圆半平面半平面的分式线性映射必将上的分式线性映射必将上形如形如反之反之,. 10)Im()10. 4(,zwz . 1 zzezzewii. 10)Im()10. 4(, 0. 1 w

18、zwzw映射成映射成必将必将所以所以映射成映射成又因上半平面中的又因上半平面中的即把实轴映射成即把实轴映射成 .)10. 4(,形式的分式线性映射形式的分式线性映射有有圆的映射必是具圆的映射必是具把上半平面映射成单位把上半平面映射成单位据上所论据上所论.11:4映射映射的分式线性的分式线性映射成单位圆映射成单位圆求将单位圆求将单位圆例例 wz对称对称即与即与平面上的无穷远点平面上的无穷远点应该被映射成应该被映射成的点的点对称于单位圆周对称于单位圆周这时与点这时与点的中心的中心的单位圆的单位圆平面上平面上映射成映射成内部的一点内部的一点平面上单位圆平面上单位圆设设解解0(11. 011 wwaz

19、awwwazz.),1()1()1(:.1, 0).akkzaazkzaazakazazkwwazwaz 的形式的形式分式线性映射具有如下分式线性映射具有如下满足这些条件的满足这些条件的时时时时因此当因此当的点的点图图7-20. 111,1. 11, waakzwzwz得得代入上式代入上式将将时时所以当所以当的点的点平面上单位圆周上平面上单位圆周上映成映成平面上单位圆周上的点平面上单位圆周上的点由于由于)(, 1,11是任意实数是任意实数即即 iekkaa )11. 4()1()1(:, azaazewi 有如下的形式有如下的形式所求的分式线性映射具所求的分式线性映射具由此可知由此可知. 11

20、)1(:11)11. 4(, aeaeeeeaaeewwziiiiiii 上的点上的点单位圆单位圆映射成映射成位圆位圆的分式线性映射必将单的分式线性映射必将单形如形如反之反之. 11)11. 4(, 011 wzwwazz映射成单位圆映射成单位圆必将单位圆必将单位圆所以所以心心的圆的圆映射成单位圆映射成单位圆内有一点内有一点同时单位圆同时单位圆.0)21(, 0)21(:5的分式线性映射的分式线性映射圆且满足条件圆且满足条件求将单位圆映射成单位求将单位圆映射成单位例例 ww),21121()11. 4(.1211,0)21(zzewwzzwi 得得所以由所以由的中心的中心映射成映射成内的点内的

21、点所求的映射要将所求的映射要将知知由条件由条件解解,34)211(21)21()211()21(212 iziezzzew 由此得由此得所以所求的映射为所以所求的映射为即即从而从而为正实数为正实数因此因此由于由于故故. 0, 0)21(arg,)21(, 0)21(.)21(arg wwww.21221121zzzzw .2)2(arg,2)2(220)Im(:6的分式线性映射的分式线性映射且满足条件且满足条件映射成映射成求将求将例例 iwiiwiwz).22(10)Im(. 0)2(. 12222,izizeziiwiwi 的映射为的映射为映射成映射成将将这时这时映射成映射成将将映射映射容易

22、看出容易看出解解).22(22)217(izizeiwi 图图故有故有图图7-21.412)2(ieiwi 由此得由此得).2(mod2)41arg()2arg()2(arg ieiwi.22)1(22222. 0,2)2(argizziwiziziwiw 或或于是所求的映射为于是所求的映射为从而得从而得因为因为 .,4先介绍复比的概念先介绍复比的概念之前之前性质性质在陈述分式线性映射的在陈述分式线性映射的.,),;,(:24321432124142313的复比和称为比式定义zzzzzzzzzzzzzzzz.比比复比又称交比或反调和复比又称交比或反调和)12. 4(),;,(),;,(),4

23、, 3 , 2 , 1)()0()(,:4432143214321wwwwzzzzizfwwbcaddczbazzfwzzzzzii 则则平面的四点平面的四点分别映成分别映成经分式线性变换经分式线性变换平面的四点平面的四点是是和和即若即若变变分式线性映射保复比不分式线性映射保复比不性质性质直接计算可知直接计算可知证明证明),4 , 3 , 2 , 1()( jdczbazzfwjjjj;)()()()(123213223311332313dczzzdczzzdczbazdczbazdczbazdczbazwwww .)()(1242142414dczzzdczzzwwww ).,;,(:),;

24、,(432124142313241423134321zzzzzzzzzzzzwwwwwwwwwwww 故故理解为理解为则复比则复比例如例如四个数中有一个是四个数中有一个是如果在如果在必须指出必须指出),;,(,43124321zzzzzzzz . 1,:lim),;,(21413241423134312的项均作为的项均作为即把复比表达式包含即把复比表达式包含 zzzzzzzzzzzzzzzzz., 4定理定理一决定分式线性映射的一决定分式线性映射的三对对应点可唯三对对应点可唯可以建立下述关于利用可以建立下述关于利用利用性质利用性质.,),(,2321321321321wwwzzzzfwwwwwzzzz和和依次映射为依次映射为和和将将映射映射则存在唯一的分式线性则存在唯一的分式线性和和也任意