电磁场与电磁波(第4版之4)

1、2 2. .动态矢量位和标量位动态矢量位和标量位1 1. .波动方程波动方程4.4.时谐电磁场时谐电磁场3 3. .能量守恒定律能量守恒定律 第第 4 4 章章 时变电磁场时变电磁场两边取旋度4.1 4.1 波动方程波动方程 考虑均匀无耗媒质的无源区域考虑均匀无耗媒质的无源区域0,0J, ,麦氏方程为麦氏方程为00tt EHHEHEt EH2t EEH得得2220tEE电场电场E的波动方程的波动方程 ( (矢量方程矢量方程) )同理同理2220tHH磁场磁场H 的波动方程的波动方程 ( (矢量方程矢量方程) )得得2 EEE利用矢量恒等式式中式中2为拉普拉斯算符，在直角坐标系中为拉普拉斯算符，

2、在直角坐标系中2222222xyz 而而波动方程波动方程在直角坐标系中可分解为三个在直角坐标系中可分解为三个标量标量方程方程222222220 xxxxEEEExyzt222222220yyyyEEEExyzt222222220zzzzEEEExyzt 电磁波的电磁波的传播问题传播问题归结为在给定归结为在给定边界条件边界条件和和初始条件初始条件下求解波动方程。下求解波动方程。2220tEE、EH是空间沿一个特定方向传播的电磁波。是空间沿一个特定方向传播的电磁波。 波动方程的解波动方程的解由麦氏第三方程由麦氏第三方程 , ,可令可令 0B 由麦氏第二方程由麦氏第二方程t BEt A0t AE于是

3、于是t AE式中式中A 称为称为动态矢量位动态矢量位，简称矢量位（，简称矢量位（T.m) )，称为称为动态标量位动态标量位，简称标量位，简称标量位( (V) )。BA 4.2 4.2 动态矢量位和标量位动态矢量位和标量位 静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。 时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。1 1、矢量位和标量位、矢量位和标量位_由麦氏第一方程由麦氏第一方程tEHJ1 HA将将 BAt AE将矢量恒等式将矢量恒等式2 AAA即即AEt 已知矢量位已知矢量位A 和标量位和标量位 可求相

4、应的磁场和电场。可求相应的磁场和电场。由麦氏第四方程由麦氏第四方程E 2tt AA2 2、达朗贝尔方程达朗贝尔方程tttEAJ= J22 AJ静态场静态场222t AAJ所以所以 此方程表明矢量位此方程表明矢量位 的源是的源是 ，而标量位，而标量位 的源是的源是 。时变场中。时变场中 和和 是是相互联系的。相互联系的。 AJJ222t 同理同理得得222tt AAAJ即即222tt AAJA 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 前面定义前面定义A 的旋度等于磁感应强度的旋度等于磁感应强度B,为确定矢量位为确定矢量位A 还需规定其散度。还需规定其

5、散度。t A 令令 （洛仑兹条件（洛仑兹条件) )达朗贝尔方程达朗贝尔方程采用洛伦兹条件将采用洛伦兹条件将A A和和 分离在两个独立的方程中，方便了求解。分离在两个独立的方程中，方便了求解。4.3 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 一、坡印廷一、坡印廷定理定理由麦氏第一、第二方程由麦氏第一、第二方程t DHJt BEtt BDHEEHHEJE得得其中其中ttBHHH21212tttt DEEEEEEEJ2E21212tt HHH221122emwwwEH()()() E HHEEH利用矢量恒等式()wptEH取体积分，并应用散度定理得取体积分，并应用散度定理得d() ddSWPtE H

6、S在时变场中总电磁能量密度为在时变场中总电磁能量密度为221122EHt HEEHEJ得得2221122EHEt EH单位体积损耗的的焦耳热为单位体积损耗的的焦耳热为2pE于是有于是有-坡印廷定理坡印廷定理单位时间穿过闭合单位时间穿过闭合面面S进入体积进入体积V 的的电磁场能量电磁场能量体积体积V 内单位时间电内单位时间电场能量和磁场能量的场能量和磁场能量的增加增加单位时间体积单位时间体积V 内变内变为焦耳热的电磁能量为焦耳热的电磁能量（总的损耗功率）（总的损耗功率）由能量守恒定律由能量守恒定律 表示表示单位时间单位时间内流过内流过与电磁波传播方向相垂直与电磁波传播方向相垂直的的单位面积单位面

7、积上的电上的电磁能量，亦称为能流密度磁能量，亦称为能流密度 二二、坡印廷矢量坡印廷矢量 定义定义W/m2SE H (1 (1） 是矢量点函数，为时间是矢量点函数，为时间 的函数，表示的函数，表示瞬时瞬时功率流密度；功率流密度； tS （3 3） 的大小：单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的能量；的大小：单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的能量；S （4 4） 的方向：电磁波传播方向。的方向：电磁波传播方向。S说明：说明： （2 2）公式中，）公式中， 应为场量的实数表达式；应为场量的实数表达式；、EH三者互相垂直且满足右手螺旋关系三者互相垂直且满足右手螺旋关系、 、SEH()

8、dSE HS单位时间穿过闭合单位时间穿过闭合面面S进入体积进入体积V 的的电磁场能量电磁场能量4 4、4 4 唯一性定理唯一性定理( ,0) ,( ,0)E rH rE 并且在并且在 时，给定边界面时，给定边界面S S上电场强度的上电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量切向分量或磁场强度的切向分量 ， 在以闭合面在以闭合面S S为边界的有界区域为边界的有界区域V V内，如果给定内，如果给定 时刻的电场强度时刻的电场强度和磁场强度和磁场强度 的值，的值， 那么在那么在 时，区域时，区域V V内的内的电磁场由麦克斯韦方程组唯一地确定。电磁场由麦克斯韦方程组唯一地确定。0tttHE ,0tH0t,t

9、tSE H( , ),( , )VE r tH r t t0,麦氏方程组1 1、提供了具有唯一解的条件、提供了具有唯一解的条件2 2、为时变电磁场问题的求解提供了理论依据、为时变电磁场问题的求解提供了理论依据作业：作业：4.14.1、4.34.3、4.94.9、4.124.12、4.164.16已知已知 例例 .1 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设（1 1）电缆为理想导体；（）电缆为理想导体；（2 2）非理想导体。导体的内外半径分别为）非理想导体。导体的内外半径分别为a和和b。解解:(1):(1

10、) 理想导体内部电磁场为零，电磁场分布如图所示。理想导体内部电磁场为零，电磁场分布如图所示。电场强度电场强度()ln( / )Uabb aEe()2Iab He222ln( / )bAaUIPddUIb a SA 穿过任一横截面的能量相等，穿过任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收电源提供的能量全部被负载吸收。 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用导线只起导向作用。表明表明：z2I)a/bln(UeHES单位时间内流入内外导体间的横截面单位时间内流入内外导体间的横截面A A的总能量为的总能量为磁场强度磁场强度坡印亭矢量坡印亭矢量图

11、图4.4.1 4.4.1 同轴电缆中的电磁能流同轴电缆中的电磁能流 常数常数0l2UddrUrE2 ezJIEaattEE外内(2)(2)非理想导体非理想导体 电导率为电导率为 ，计算导线损耗的能量。，计算导线损耗的能量。导体内电场强度导体内电场强度根据边界条件，内导体表面上根据边界条件，内导体表面上有有图图4.4.2 4.4.2 导体有电阻时同轴电缆中的导体有电阻时同轴电缆中的E、H 与与S2外aIHea则内导体表面外侧则内导体表面外侧ln( / )aUb aEe外2zIa e内导体表面外侧的坡印廷矢量内导体表面外侧的坡印廷矢量()外外外aaSEH223222ln( / )zIUIaab a

12、ee进入每进入每单位长度单位长度内导体的功率为内导体的功率为()SaAPe dA 外22022lIIaadzaa222lII Ra表明，导体电阻所消耗的能量是由表明，导体电阻所消耗的能量是由外部外部传递的。传递的。HEStnHESnt电源提供的能量一部分用于导线损耗电源提供的能量一部分用于导线损耗 另一部分传递给负载另一部分传递给负载图图4.4.3 4.4.3 导体有电阻时同轴电缆中的导体有电阻时同轴电缆中的E、H 与与S()外外外aaSEH223222ln( / )zIUIaab aee4.5 4.5 时谐电磁场时谐电磁场一、时谐量的复数表示一、时谐量的复数表示电磁场随时间作正弦变化时，电场

13、强度可用余弦函数表示电磁场随时间作正弦变化时，电场强度可用余弦函数表示, , , ,cosxxmxEx y z tEx y zt, , , ,cosyymyEx y z tEx y zt, , , ,coszzmzEx y z tEx y zt用复数的实部表示用复数的实部表示jReexxxmtEEjjReeReeyttymyymEEEjjReeReezttzmzzmEEE式中式中jjeeyzymymzmzmEEEE称为称为时谐电场的复振幅时谐电场的复振幅2221(cossin )ReImjzajbjzrerabzrjzzjz 复数的表示复数的表示jexxmxmEEjReetxmE()( )co

14、s()mttE r,Er其三个分量表示其三个分量表示三要素三要素幅幅 值值角频率角频率相相 位位时谐电磁场不但易于激发时谐电磁场不但易于激发, ,而且任意而且任意的周期函数都可展开为傅立叶级数的周期函数都可展开为傅立叶级数, ,非周期函数可用傅立叶积分表示非周期函数可用傅立叶积分表示故故jjReeReexxyyzztxxmyymzzmtmEEEEEEEeeeeeeE式中式中mxxmyymzzmEEEEeee称为称为时谐电场的复矢量时谐电场的复矢量 时谐场对时间的导数时谐场对时间的导数jjjReeReeRe jetttmmmtttEEEE22j2j22ReeReettmmttEEE二、复数形式的

15、麦氏方程二、复数形式的麦氏方程由麦氏第一方程由麦氏第一方程tDHJjjjReeReeRe jetttmmmHJD设为时谐场设为时谐场任何场矢量任何场矢量mxxmyymzzmHHHHeeexxmyymzzmJJJmJeee222jtt将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换jjjReeReejetttmmmHJDjjeejmmmttHJD约定不写出时间因子约定不写出时间因子 ，去掉场量的下标和点，即得麦氏方程的复数形式，去掉场量的下标和点，即得麦氏方程的复数形式jetjHJD同理其他三个麦氏方程同理其他三个麦氏方程j EB0BD三、复数形式的波动方程三

16、、复数形式的波动方程波动方程波动方程2220tEE设为时谐场设为时谐场222t得得220kEE同理同理220kHH亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程令令 波数波数22k 用复数形式研究时谐场称为频域问题。用复数形式研究时谐场称为频域问题。 复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。jjjReeReeRe jetttmmmHJD场强复矢量的齐次波动方程场强复矢量的齐次波动方程1.1.复数式复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义, , 2.2.实数形式实数形式代表真实场，具有明确物理

17、意义；代表真实场，具有明确物理意义；3.3.在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方平方关系的物理量关系的物理量采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化；采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化；说明说明: :SEH（称为二次式（称为二次式 ），只能用场量的），只能用场量的瞬时形式瞬时形式表示。表示。 损耗除与材料有关外，还与场随时间变化的快慢有关。损耗除与材料有关外，还与场随时间变化的快慢有关。在有损耗的情况下，电磁参量就不再是实常数，而是复数，在有损耗的情况下，电磁参量就不再是实常数，而是复数，且与频率有关。且与频

18、率有关。 非理想导体非理想导体 有限有限 欧姆损耗欧姆损耗 实际媒质都是有损耗的实际媒质都是有损耗的 极化损耗极化损耗磁化损耗磁化损耗四四. . 时谐场中媒质的性质时谐场中媒质的性质1 .1 .复介电常数复介电常数HEjE复电容率复电容率 （欧姆损耗）（欧姆损耗） c()cjEjjE 引入引入 后对于时谐场，导电媒质的方程与理想介质中的方程有完全相后对于时谐场，导电媒质的方程与理想介质中的方程有完全相同的形式，即把导电媒质等效地看作一种介质，把传导电流和位移电流用同的形式，即把导电媒质等效地看作一种介质，把传导电流和位移电流用一个等效的位移电流代替，一个等效的位移电流代替， 即为等效的介电常数

19、即为等效的介电常数cc 媒质的电磁特性、传导特性在描述时，其特性分别用媒质的电磁特性、传导特性在描述时，其特性分别用、表征表征 若媒质还存在极化损耗若媒质还存在极化损耗 jc 两者同时存在：两者同时存在： )( jc2.2.损耗角损耗角 tg表征电介质的损耗特性表征电介质的损耗特性/tg 0 工程上称工程上称 的介质为低损耗介质。的介质为低损耗介质。 愈小，介愈小，介质的绝缘性能愈好。质的绝缘性能愈好。 通过测量电气设备的通过测量电气设备的 值可以检测值可以检测设备的绝缘缺陷，如绝缘受潮、老化等。设备的绝缘缺陷，如绝缘受潮、老化等。1tgtgtg微波炉中，微波频率为微波炉中，微波频率为2.45

20、 GH2.45 GHZ,Z,面食的面食的 约为约为0.0730.073，菜和，菜和肉的肉的 较高，而包装盒材料的较高，而包装盒材料的 仅为仅为 ，所以，所以包装盒中的食物得以加热，而包装盒几乎不获取热量。包装盒中的食物得以加热，而包装盒几乎不获取热量。tgtgtg510应用应用: :（虚部与实部之比）（虚部与实部之比）/tg 11 ()100dII 弱导电媒质（良绝缘体）弱导电媒质（良绝缘体）1 (100)dII良导体良导体3.3.磁化损耗磁化损耗 tg传导电流与位移电流振幅之比传导电流与位移电流振幅之比复磁导率复磁导率1100100 有损耗媒质有损耗媒质 比值与频率有关，比值与频率有关，低频

21、低频时的良导体，时的良导体，高频高频时就可能为绝缘体了时就可能为绝缘体了cj0 表征磁介质的磁化损耗表征磁介质的磁化损耗导电媒质：导电媒质： 0例例.3五五. .时谐场的位函数时谐场的位函数 复数形式复数形式 ： 1 HA洛仑兹条件：洛仑兹条件： Ajt Aj 2()() AAEjAjjA而而 AEtjt EjA22 k21() HAAEjAk达朗贝尔方程：达朗贝尔方程： 22221 Ak AJk六六. . 平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量坡印廷矢量坡印廷矢量SEH坡印廷矢量的坡印廷矢量的瞬时值瞬时值( (实数形式实数形式) )正弦电磁场，该量在一个周期内的平均值正弦电磁场，该量在

22、一个周期内的平均值平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量正弦变化矢量正弦变化矢量 tt、AB1(*)21(*)2ReReAA+ABB+B于是于是11() (*)(*)2211(*)()22ReReReReAB)A+AB+BA BA B2/012SSS avTdtdtT也可用复数形式求平均值也可用复数形式求平均值 2Re Re11()*()*2211ReRe*22j tj tj tj tj tj tjtttEeHeEeEeHeHeEHeEHS = EH 011d1Re*2TavTttdttttTTavSEHSEHEH其平均值其平均值平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量1Re2avSEH 与时间无关。与时间无关。avS2 /012SSS avTdtdtT 表示电磁场中某点处的表示电磁场中某点处的有功有功功率流密度功率流密度, ,即在该处垂直穿过单即在该处垂直穿过单位面积的平均功率流大小和方向位面积的平均功率流大小和方向无功无功功率流密度功率流密度1Im2EH均匀线性各向同性媒质中，电磁场能量密度的平均值均匀线性各向同性媒质中