数值计算课后答案4

1、习题四解答1、设xo=0,x=1,写出f(x)=e的一次插值多项式L1(x),并估计插值误差解：根据已知条件，有x01y1e设插值函数为L1(x)=ax+b,由插值条件，建立线性方程组为泰 0+b=1a 1 b =eI解之得a=e-1b =1则 L1(x) = (e-1)x 1因为 y (x) - -e项,y (x) = e所以，插值余项为r(x)f(x) -p(x)=1(n 1)!f(n1)()二(x)=1 f(2)( )：(x)2!1s、=2 f ( )(x -x°)(x-x)1 .= 2e-(x-0)(x-1)(0,1)所以r(x)u 感e* 21 q 11=xe 乂=2 48

2、2、给定函数表max x(x T)0冬空0xi-0.10.30.71.1f (xi)0.9950.9950.7650.454选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。解：设三次插值多项式为f (x) =a0+ax+a2x2+&x3,由插值条件，建立方程组 为2 .3a0+司尺(0.1)+a2y-0.1) +a3q-0.1) =0.995a0 +a1 x 0.3 +a2 勺.32 +a3".33 = 0.995a0 +a x0.7 + a2x0.72 +a3".73 =0.765.2 .3©0+4x1.1+82X1.1 +a31.1 =0

3、.454a0 -0.1ai 0.01a2 -0.001a 0.995a(o +0.3a +0.09a2 十0.027a3 =0.995a。+0.7ai +0.49a2 +0.343a3 = 0.765a。+1.1ai +1.21a2 +1.33如=0.454a° -0.1ai +0.0如-0.001a3 =0.9950.4a +0.08a2 十 0.028a3 =00.8a +0.48a2 +0.344a3 =1.760.4a" 0.72a2 + 0.988& = -0.311& -0.1a1 +0.01a2 -0.001a3 =0.995 0.4a1 +0

4、.08a2 +0.028a3 =0 0.32a2 0.288a3 =1.76-0.384a3 - -3.831解之得”a0 =0.41a1 = -6.29 1a2 = -3.48、a3 =9.98则所求的三次多项式为f (x) =0.41 -6.29x -3.48x2 +9.98x3。所以f (0.2) =0.41 - 6.29 0.2-3.48 0.22 9.98 0.23 =-0.91f (0.8) =0.41 -6.29 0.8-3.48 0.82 9.98 0.8 -1.743、设x (i =0,1,2,|,n)是n+1个互异节点，证明： n(1) Z xikli(x)=xk(k=0,

5、1,2,H|,n);i =0n(2) Z (x -x)kli(x)=0(k=0,1,2j|,n)。 i =0证明：(1)由拉格朗日插值定理，以x°,x 1,x 2,乂 n为插值节点，对y=f(x)=x 作n次插值，插值多项式为nPn(x) =N li(x)yi , i =0而 yi=xk,nn所以 Pn(x) = L li(x)yi= L li(x)xki Wi =Q同时，插值余项r(x) =xk - Pn(x)1(n 1)!(n七)芦1k (n+)f( "=*，”(x)=0n所以li(x)xk = xki =0结论得证。(2)取函数 f(x) =(x-t)k,k =0,1

6、,2，山，n对此函数取节点x(i =0,1,2,HI,n),则对应的插值多项式为nkPn(X)=£ (为一t) li(X),i=0(n 1)二(x) = 0由余项公式，得 k nk1(E .1kr(x)=(xt)(为-1) lx) = f ( )(x)= /x-t)w(n 1)!(n 1)!所以n kk(x' (xi -t) li (x)i z0令 t=x ,n(x -x)kli(x) =0i :Q4、给定数据(f (x) = V7)x2.02.12.22.4f(x)1.4142141.4491381.483201.54919(1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计

7、误差；(2)试用二次Newton插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。解：用线性插值计算f(2.3)，取插值节点为2.2和2.4,则相应的线性插值多项式P(x)= 1.483201.54919 -1.483202.4 -2.2(x-2.2)23= 1.48320 0.32995( x-2.2)用x=2.3代入，得f(2.3) 1.48320 0.32995 (2.3 -2.2)=1.450205(2)作差冏表如下xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商2.01.4142140.35012.11.449138-0.0470.34074.10752.21.483201.5960.65992.

8、41.54919根据定理2,f(x) = f(x°)+ fx。, x1(x-x0)+fx0, x, x2(x-x°)(x-x1)+fx0 , x1,，xn(x-x 0)(x-x 1) -(x-xn 1)+fx 0, x1,，xn, x Tt (x)。以表中的上方一斜行中的数为系数，得f(2.15) = 1.41421+ 0.3501 X (2.15-2.0)- 0.047 X (2.15-2.0) X (2.15-2.1) =1.663725指出：误差未讨论。5、给定函数表x01245y01646880试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式和插值余项。解：作左冏表如卜xf(x)

9、一阶差商一阶差商二阶差商四阶差商001611673052246-3762125 34881093一8850根据定理2,以表中的上方一斜行中的数为系数，得57p(x) =0 +16x +7x(x _1) x(x_1)(x2) x(x_1)(x 2)(x 4)。2 6指出：余项未讨论。5*、给定函数表x01234y01646880试求各阶差分，并求等距节点插值。解：由已知条件，显然，xo=O, h=1, x=t作差分如下xf(x)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分00161161430-22461214042142488130一8850根据等距节点插值公式,t(t -1) t(t1)(t2) t(t

10、1)(t 2)(t-3)Pn(X0th) =pn(t)=0 t 16-14-(-2)-(一140)4!2!3!=16t 7t(t_1)_t(t -1)(t -2) 35t(t 1)(t 2)(t 3)3 6指出： 在本题这种情况下，实际上Pn(t)= Pn(x),也就是说，在这样的条件下,t的多项式就是X的多项式，可以直接转换 一般情况下，把t的关系转换为X的关系需要根据X=X0+th，将t用X表示，即 将t =q°代入得到的多项式。h6、给定数据表X0.1250.2500.3750.5000.6250.750f(X)0.796180.773340.743710.704130.656

11、320.60228试用三次牛顿差分插值公式计算f(0.1581)及f(0.636)解：所给节点是等距结点：X。=0.125,h =0.125,为=X。十ih,i = 0,1,2,3, 4,5。计算差分得Xf(X)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分五阶差分0. 1250. 79618-0.022840. 2500. 77334-0.00679-0.02963-0.003160. 3750. 74371-0.009950.00488-0.039580.00172-0.004600. 5000. 70413-0.008230.00028-0.047810.002000. 6250. 65632-0.0

12、0623-0.054040. 7500. 60228令X = X ° +th(t =匕匝),根据等距结点插值公式，得pn(X0 th) = pn(t)=0.79618 t (-0.02284)(-0.00679)t(t T)(t 一2) (0.00316) t(t T)(t Ft 7)0.00488 t(t T)(t - 2)(t -3)(t - 4) (0.00460) 3!4!5!则f (0.1581) ： Pn(0.1581)= Pn(0.125 0.2648h) =0.790294822, of(0.636) ： Pn(0.6363) = Pn(0.125 4.088h) =

13、 0.6518048267、设f(x)在-4,4有连续的4阶导数，且f(-1) =1,f(0) =2, f (0) =0, f(3) =1, f (3) =1(1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x),使其满足p(-1) = f(1) = -1,p(0) = f(0) =2,p (0) = f (0) =0, p(3) = f(3) =1,p (3) = f (3) 二1(2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。解：由7*可以求出满足p(0) = f(0) =2, p(0) = f (0) =0, p(3) = f(3) =1,p(3) = f (3) =1的三次埃尔米特插值多项式53

14、2 2H(x) = x x +2。27352设 p(x) =H (x)+a(x-3) x = x x +2+a(x3) x ,贝U p(x)两足 273p(0) = f (0) =2, p(0) = f (0) =0, p(3) = f (3) =1, p'(3) = f'(3) =1 ,由 f(1)=1 得5322221*_1) -1) +2+a(13) (1) =1n a =-辅，273108所以1108(x -3)2x2_22532 2p(x) =H (x) a(x -3)2x2 = x3 x2 22731413 33 2x4x3 x2 2108544 (2)余项具有如下

15、结构r(x) = f(x) -p(x) =k(x)(x 1)x2(x-3)2作辅助函数，(t) = f(t)-p (t)-k(x)(t 1)t2(t-3)2则显然中在点x,-1,0,3处有6个零点(其中0, 3是二重零点)，即甲(x) =0，中(一1) =0,%0) =0，中'(0) =0,%3) =0,(3) =0 ,不妨假设x在(-1,0)。由罗尔定理，存在匕小(1,x),(x,0),乌1(0,3),使得甲(4)=0,*建)=0,申性)=0,再注意到"(0) = 0*'(3) = 0，即P(t)有5个互异的零点乌<£2<0<%<3

16、再次由罗尔定理得,存在 < (1, 1), 2,( 2,0), 3(0, 3), 4,(3,3),使得(1)=0"( 2)=0, '( 3)=0, ' ( 4)=0第三次应用罗尔定理得，存在1 ( 1,2), '2 ( 2,3),'3 ( 3, 4)使得(i)=0, ' ( 2)=0, ' ( 3)=0,第四次应用罗尔定理得，存在七( 1,2), % ( I,3)使得(1 )=0"(七)=0,第五次应用罗尔定理得，存在.(1,七)使得(5) (.) = 0注意到;:(5)(t) =r(5)(t) 5!k(x) = f(5

17、)(t)-5!k(x)(r(t) =f(t) p(t)中p(t)是4次函数，其5次导数为0)。所以f(5)() 中(t) = f (5)(亏5!k(x)=0n k(x)=, 5!代入余项表达式，有,f (5) ( ' )22r(x) = f (x) - p(x) = (x+1)x(x3)。5!指出：本题是非标准插值问题，比较简单的求解方法有： 求插值问题的基本方法是待定系数法。 以本题来说，有5个条件，可以确定 个4次的插值多项式，设为y =a°+ax+a2x2 &3x3 + a3x3,将条件代入，建立-个5元的线性方程组，求出各参数，就可以求出插值多项式。 求插值问

18、题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的结构 和各基函数的结构，根据条件确定基函数即可。具体方法与拉格朗日插值基函数 构造和埃尔米特插值基函数构造相似。 以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法，本题中，首先利用4个条件构造一个埃尔米特插值，在此基础上设定所求插值多项式的一般形式，保证其满足埃尔米特插值条件，代入未利用条件解方程(组)，求出其中的未知参数，即可 求出插值多项式。本题也可以先利用p(1)=f (1)=1,p(0) = f (0)= 2p (3f (3片构造一个 2次插值多项式p2(x),以此为基础构造4次插值多项式p4(x) , p4(x)的结构是 p4(x) =

19、 p2(x)十(ax +b)(x+1)x(x3),满足p(-1) = f (-1) = -1,p(0) = f (0) =2, p(3) = f(3) =1再根据p'(0) = f '(0) =0, p'(3) = f '(3) =1列出两个线性方程组成的方程组，求出a、 b两个参数，即可求出所求的插值多项式。求插值函数余项r(x)的常用方法是：r(x) = f(x)-p(x)应具有如下形式(以本题为例)-22r(x) = f (x) - p(x) = k(x)(x 1)x (x - 3)作辅助函数(t) = f(t)-p(t) -k(x)(t 1)t2(t -

20、3)2则甲(t)在点x,-1,0,3处有6个零点(其中0, 3是二重零点)。反复应用罗尔定理，直到至少有一个丁在(-4,4)，使得中(5)(司=0。此时即有(5)(5)f(5)(')()=f ( ) 一5!k(x)=0 =. k(x)=5!代入余项表达式即可求出。7*、设f(x)在-4,4有连续的4阶导数，且f(0) =2, f (0) =0, f(3) =1,f (3) =1试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H(x),使其满足p(0) = f (0) =2, p(0) = f (0) =0, p(3) = f (3) =1, p'(3) = f'(3) =1。解一

21、(待定系数法)：解：设 H (x) =a0+ax+a2x2+a3x3,贝U2H (x) =a +2a2x +3a3x ,由插值条件得”2 = H(0) =a°0 = H '(0)=a11 = H (1) = a()+a1 +a2 +a31 = H'(1) = a1+2a2+3a32 5 解之侍 a0 = 2, a1 = 0,a2 = , a3 =,3 27所以 H(x) =x3 Wx2 + 2。273解二(基函数法)：x-x x-33-x10 (x)=x° - x1033解：设 H3(x) = f (x°)%(x) + f (xi)%(x) + f

22、 弗0说(刈+ f 3)Ei(x),因为线性拉格朗日插值基函数为l1(x)=WHHH由得12：°(x) =1 -2(x-x°)l°(x)冷-x./'2= 1-2(x*工x° xi x。一xJ1 "2(x0)挡.3 -'x3 J2327-9x 2x27同理c 2 c 39x -2x27")=1十四3'£x° x1为一x° )由得：o(X)=(X -X。)/-2X _X(、(x) =(x -Xi)X X0Xi X。j3 x 2=X .3_ X3 -3X2一 9则532 2H(x) =

23、x3 X2 +2。2738、设f (x) =eX(0三x苴1)，试作一个二次多项式p(x),使其满足 p(0) = f (0), p'(0) = f '(0), p(1)= f(1),并导出余项估计式。解：设此二次式为p(x) =a bx cx2,因为 f (x) =ex, f (x) = ex,所以，由已知条件p(0) = f (0) =1,p(0) = f (0) =1,p(1)= f(1) =e将其代入 p(x) = a+bx+cx2, p'(x) =b+2cx ,得a = 1a = 1IIb = 1= b = 1a b c=e c=e-2所以，要求的二次多项式为

24、p(x) =1 +x +(e -2)x2 °因为0是2重零点，1是1重零点，因此可以设余项具有如下形式:-_ 2r(x) = f(x)p(x) = K(x)(x 0) (x-1),其中K(x)为待定函数。固定x,作辅助函数(t) =r(t) -K(x)(t -0)2(t-1)显然响=0,%) =0,%x) = 0,%1) = 0,不妨假设x(0,1)。由罗尔定理，存在(0, x), ； , (x,1),使得"(乌)=0,(饥=0 ,再注意到(0) =0再次由罗尔定理得,存在1 (0, 1)(0,1), 2 (12)(0,1),使得(1)=0, '( 2)=0再次应用

25、罗尔定理，存在 (，2)(0,1)使得中西=0。注意到'(t) =r (t) 3!K(X) = f (t) 3!K(X)(r(t) = f (t) - p(t)中p(t)是2次函数，其3次导数为0) 所以f ()"估顷伯一 3!K(X)*K(X)=4，代入余项表达式，有一f ( )2e 2(X1)。r(x) = f(x) -p(x) =(x -0) (x-1)=-x指出：石瑞民数值计算关丁余项讨论很活楚。9、给出sinx在0,兀上的等距结点函数表,使其截断误差为妇。,问该函数表的步长2解：设xk(k=0,1J|D为等距结点，步长为h,当x e Xk , Xk斗时，作f(x)的

26、线性插值x 一 xk 彳X XkL1(X)=f (Xk)f(Xk.1)Xk 'Xk 1Xk 1 'Xk则有用线性插值计算 sinx的近似值,h取多少才能满足要求?则 Xk 1 = Xkhf ( )f (x) -Li(x) = (x -Xk)(x -XkG ,由此易知1 .1 h2f(x)-Li(x)max f (x)|(x -xQ(x-Xk i),x Xk,Xki2 &与双i24因此h2 f(x)f(x)8,h21由< 勺0 ,得h苴0.02。 82指出：关丁最大值的计算与12题相同。10、求f(x)=x4在区间a,b上的分段埃尔米特插值，并估计误差。 解：由分段

27、三次埃尔米特插值多项式nH3(x)f(x)i(x) f (Xi) i(x)i =0则f (x) =X4的分段埃尔米特插值为 nH3(x) =' f(Q i(x) f (Xi) 'i(x) i =0 n=£ x4%(x) +4xHi(x) i书其中一 2(x 一为)，x x 1. c1 + , x 页 < x < Xi, I # 0xi A Xi xi x J. J.、2,、.x 2(x 为人 x x书 j 】口(为)=<1+ ,xi 壬xxi，i#nx + -xi xx书 J0,其他(x-为)：(xi) = (x %)/-.2x xi- . c ,x

28、ixi,0 Xi - X J J2x xi*1为一为中J,xi £ x £ x 1, i = n0,其他其余项估计式为h4r(x)苴 max384 a 契11、已知数据表"4) / f (x)u4u4hhV A X 4! o38416i012为2.57.510f(xi)4.07.05.0f '(xi)0.13-0.13求三次样条插值函数。解：这是第一类边界条件，要求解方程组210 Y M 0 '4。'鸟2M1=g112><92 J其中h0 =x1 x0 =7.5-2.5=5h1 =x2 -x1 =10-7.5=2.5七=2 =

29、0.66667 h0 h131 ="1 =0.33333g0gi(1一 - y°) =0.564 hih二心一 Q .12002h1 h2h2h16.y? - y=(y2 - 一)=1.608h2h2，210 Y M 0 >12M1g1<012>h2将以上数据代入方程组g2解之得M0 =0.807339M = -1.050678M2 =1.329334将获得的数据代入到Si(x)=M“4£6hmW"6Mi“、X -x Mi 2、x-x h ) (yihi )h6hi中，得 330.026911 (7.5 -x) -0.035023 (x

30、-2.5)0.127218 (7.5 - x) 2.275565 (x - 2.5)s(x)：-0.070045 (10-x) -0.088622 (x-7.5)3.237783 (5.0 - x) 1.446111 (x - 7.5)12、设f(x)在C2a,b(具有二阶连续导数)，且f(a)=f(b)=0 ,证明:max|f (x) <1(a)2max f ”(x)a空鱼8a母色证明：以a、b为节点进行插值，得f(x) =pjx) r(x)= Tf(a)尸 f(b) gf ( )(x-a)(x-b) a -bb-a 2!1.f ( )(x-a)(x-b) (a ：: b)因为(x-a

31、)(x-b)在x = ?(a+b)处取得最大值，故 f "(x) max (x a)(x b)a冬至12 a _x _b2max f (x)一 maxa冬重2-(b-fxf (x)13.给定数据表-0. 1用两种方法求其二次拟合曲线。解一：设所求的拟合函数为y=a+ bx+cx2,5则 L =，(a +bx +c%2)yj2。i对a、b、c分别求偏导，并令偏导数等丁 0,得-：Lu 2、c=、2(a b为 cxi ) - yi = 0_ai 452 .=(a bxi c ) -yj =0i 45552=5a b、 x c、 x l y = 0i 4 i 4i 4:L :2一 =、2(

32、a bx c% ) -yx =0_=b i45_ . _2=、(a bx cxi ) - yjxi i 45=a M xi i W55b、x2 * xi3i 1i A=05-'、xy =0 i T.：L ,522一 =、2(a b为 cx：) - yix =0,:c i 日5-2=(a bxi 宓i注55=a' xi2 b' xi3i Ai A2)-yjx =0将各数据点的数值代入，得方程组为5a 16= 2. 9«1 (b = 4. 21 03 十 3(4= 7解之得 a=0.4086, b=0。42, c=0.0857,所以数据点所反映的函数的近似关系为y

33、 = 0.4086 0.42x 0.0857x2解二：设所求的拟合函数为y=a+bx+cx2,将数据代入方程得"a-2b +4c = -0.1a -b +c =0.1a =0.4a +b +c =0.9a 2b 4c =1.6方程组的系数矩阵和右端向量为-24、z-0.r-110.100,B =0.4110.924>J.6>(11A= 11J因为Z1-2 4 飞、1111、1-1 1飞 0 10、A A =-2-1012100=0 100、410 1 4 j111J00 34,L124>'0.1，1111 1 '0.10.9、atb =-2-101

34、20.44.2<4101 4>0.90.6所以r5010、'2.9、0100b4.2(0034 ><cJ'、7 >解之得 a=0.4086, b=0。42, c=0.0857,所以数据点所反映的函数的近似关系为_ _2y =0.4086 0.42x 0.0857x14、已知试验数据x1925313844y19. 032. 349. 073. 397. 8用最小二乘法求形如y = a + bx2的经验公式，并计算均方误差。解：设 y = a bx2则5L = L (a bx2) -yj2 i d对a、b分别求偏导，并令偏导数等丁 0,得二八 2(a

35、bx2)-y=0:ai 45=' (a bx：)-由=0 i 4552=5a 3 为 -' yi =0 i 4 i 4=L22-=2(a bXi ) -乂为=0.:bi 4522=、(a bx ) - yi Xi = 0 i 4555=a、xi2 b、x：xi2y 0i 4i 4i 4将数据代入得5a b (192 252 312 382 442) 一(19.0 32.3 49.0 73.3 97.8) = 0_2_2_222_4_4_444_2_2a(192252 312382442)b (194254 314384444)-(1921 9.025232.3+312 39.0

36、+ 382 x 73.3+442乂 97.8) = 0化简得5a 5327b -271.4 =05327a 7277699b -369321.5 = 0第二个方程减去第一个方程乘以1065进一步化简得 5a 5327b -271.4 =02a 1604444b-80279.5 =0解之得a =1.01b =0.05则x与y的函数关系是 2y=1.01+0.05x 。此时，平方逼近误差为 5L = ' (a bx2) -yi2 =0.017 i=1所以，均方误差为J0.017=0.13。指出：均方误差实际上就是按最小二乘法则确定的残差。15、观测物体的直毯运动，得出如下数据:时间 t(s

37、)|00.91.93.03.95.0距离 s(m) 010305080110求运动方程。解：设运动方程为s= a+bt则66662 一一 _' t =14.7,' ti =53.63,' Si =280,' tSi =1078 i 1i 1i 4i 4将上述数据代入方程组666a b' ti = L s i 4 i 46 一 6 一 6a' ti " ti2 =' tiSi 4i 4 i 4得方程组6 a 14.7b =280414.7a 53.63b =1078解之得a = -7.8550478b = 22.25376所以，s

38、 = -7.8550478+ 22.25376t。指出：利用统计型计算器，有关中间数据可以简单求出。16、在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下:时间t05101520253035浓度 y(*104)01.272.162.863.443.874.154.37时间t40455055浓度y(W04)4.514.584.624.64用最小一乘法求y=f(t)。解：描草图，观察草图可以发现，该组数据分布近似丁指数函数曲线，而且随着t的增大，y的增速放缓，故设by = ae。两边取对数，得，1In y =ln a +b；,1令 In y = z,- = s,ln a =c , t则拟合函数转化

39、为线性拟合关系z = c +bs。1111'、'§ =0.6039755,'-0.06232136i 3i 31111Z Zi =13.639649, £ s 石=0.5303303。i ±i注将上述数据代入11c +b，Si =£ Z| i 4i-1111111c£ Si +b£ s2 =£ SZi i Ji 4i 4/曰11c 0.6039755b =13.63964940.6039755c 0.06232136b =0.5303303解之得b =-7.4961692,c =1.6515592=

40、a =5.2151048所以7.4961692y =5.2151048e 一t。指出：(1) T=0，该拟合函数不适用。(2) 专业的变化规律(经验函数)应当由专业人员给出。仅仅从有限数据的草 图得出的规律可能不具普遍性。17、给定数据表x7.22.73.54.14.8y6560535046用最小二乘法求形如y = aebx的经验公式。解：对y=aebx两边取对数，得ln y =ln a +bx ,令 ln y =Y,ln a =a0,b =a1,则Y = a ax ,代入数据，建立方程组为5a 17.3a =19.9796881517.3a0 64.23a1 =68.55117703解之得a

41、 = ea° = 85.9529b = % = -0.132329a0 =4.45380<n *a1 =-0.132329所以y =85.9529eS32329x。18、用最小二乘法求方程组切x+4y =11j3x-5y =3x 2y =6x 2y =14的近似解。分析：这是方程个数多丁未知数个数的超定方程组，是矛盾方程组，用最小二乘法求解。解：设方程组中各个方程的一般形式为ajX + byMi,则4L =(aiX by) -Ci的拟合函数，试求本问题的最小二乘解。a bx，一 1解：令y =_,zz = a+bx,原拟合问题转化为线性拟合问题。8则 L = ' (a

42、b%) -yj2。 W 对a、b分别求偏导，并令偏导数等丁0,得 :L ? i 4对X、y分别求偏导，并令偏导数等丁 0,得:L 一一 =2(a bXi) - yi =0 a i吐 8 -x (a bx)”=0 i ± =8a bM xii兰.、一 一=、2(aiX biy) -cja =0：X i 4 4 =、(aiX biy) -cJa =0 i 4444=x'M a2 y M aQ M a，= 0i Ai 4i 4一丸：一 =£ 2(aiXFy)qb =0:y i 4 4='、' (aiX biy) -Cib = 0 i i444-._- .

43、一 2 一 一-=xaq y 灯-be = 0i Ai 1i =1将数据代入得15x -3y-51=0-3x 49y-69=0解之得lx =3.727y =1.63619、已知数据表12345678它有形如p(x)则拟合函数变形为8-' 乂=0i=115.320.527.436.649.165.687.8117.6=、2(a bxj -乂为=0,:b ij8=、(a bx) - yixL0 i 4888一一 2=a、 Xi b、为 xyi =0 i 4i 4i 4将数据代入，得888a+b£ x -£ yi =。i -1i =8一8一8二aL x +b£X

44、2 £xyi=0i 4i 4i 4解之得8a 36b419.9 = 04n36a 204b-2479.48a 36b 419.9=0-84b 8737.9 = 0a =520.58b = -104.02所以，所求的拟合函数为1P(x)=。520.58 -104.02 x20、在平面上给出三个点，它们的坐标是 X =(1,1尸,x2 = (2, 0)T禹=(1.5,3),每 个点对应一个函数值z1 =1.8,z2 =2.6,z3 =3.1 ,找出一个通过这三个点的平面。解：这实际上是求过三个点(1,1,1.8),(2,0,2.6),(1.5,3,3.1)的平面方程。由解析几何知识可知，

45、平面的三点式方程为xyz1xyZ11x2y2z21x3y2z31将三点坐标代入，解此方程就可求出所求平面方程(以下从略)补充题(一)1、求次数不超过2和3的多项式p2(x)和p3(x)。使得P2(0)= P3(0) = 0, P2(1)= P3 =1, P2(2) = P3 =8, P3(3) = 27。2解一：设一次多项式为 p2(x)=a0+ax+a2x,则有_2a0 +q x0+a2 乂02 =0a0 % 1 a2 12 =1一H 一a。+a a+a2 乂2 =8 J解之得，a0 =0, a1 = 2, a2 = 3。所以P2(x) = 2x +3x2。设三次多项式为P3(x)=a0+a

46、x+a2x2 + a3x3 ,则有40-2-3-&0+4乂0+&2乂0 +a<0 =0,2,3,a0+a1 乂1+a2 尺1 +a3x1 =1一._2 ._3 -a0+a1x2+a2K2 +a32 =8-.2.3 a0+a1 x 3+a2 x 3 +a3x3 =27 J解之得,a。=0, a = 0, a? = 0, a3 = 1。所以3P2(x) = x。解二：由题6,可以直接利用插值多项式公式求出所要求的多项式来。解三：在学习了差商和差分后，也可以利用牛顿插值公式或等距节点插值公式求出所求多项式。对f(x)在0, 1, 2, 3处求差商得xf(x)一阶差商二阶差商三阶

47、差商0011137128619327所以，p2(x)=p2(0)+1 (X-0)+3 (X-0)(x-1)=3x2-2x,3p3(x)=p3(0)+1(x-0)+3(x-0)(x-1)+1 (x-0)(x-1)(x-2)=x 。2、已知函数f(x)在节点一1, 0, 1处的值分别是0.3679,1.000,2.7182用待 定系数法和插值基函数法两种方法求出拉格朗日插值。解1:设所求的多项式为p2(x) =a° +ax +a2x2 ,把已知条件代入得2a0 +a1 x(1) + a2 乂(1)2 =0.3679a0 +a1 x(0) +a2 乂(0)2 =1.0003° +

48、a WE *1? =2.7182解之得a0 =1,a =1.751,a2 =0.5431所以-2p2(x) =1 +1.1751x +0.5431x。解2:由插值基函数公式【(x-Xk)k 30li(x) 二Enn (x -%)k li(x)x-(-1)(x-1)0 -(-1)(0 -1)=-(x 1)(x -1)l2(x)=x«1)(X0)心 F 1-(-1)(1-。)代入插值公式得p2(x) =0.36791。(x) 1.000l1(x) 2.7182l2(x)即 ._ 2p2(x) =1 +1.1751x +0.5431x。1, 0, 1, 2为插值节3、设f(x)=x4,试利

49、用拉格朗日插值余项定理写出以一 点的三次插值多项式。解：记三次插值多项式为p(x),由插值余项定理f(x)px )- f(n1) C )x ()(n 1) !1(4、.= ;f(4(3x+ MV D(x1)(2)4!=(x 1)(x-0)(x-1)(x-2)所以，p(x) =f(x) -(x 1)(x-0)(x-1)(x-2)=x4 -x(x2 -1)(x-2)= 2x3 x2 -2x思考：用插值多项式公式直接求插值多项式与本题求出的多项式比较一下。4、已知 sin0.32=0.314 567,sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274 用抛物线插 值计算 sin0.3367。解：sin0.3367= 0.330 3745、 设lk(x)(k=0,1,2,是nn+1个互异节点x0,x1,x3，所上的n次基本插值多 项式，证明下面的包等式成立n'、' xlk(x) =xm(m =0,1,2，山,n) k 证明：由拉格朗日插值定理，以xo,xi,x2，脂为插值节点，对y=f(x)