《数值分析简明教程》第二版(王能超-编著)课后习题答案--高等教育出版社

1、0.1 算法1、 （ p.11 ，题 1） 用二分法求方程 x3x 10 在1,2内的近似根，要求误差不超过 10-3.【解】由二分法的误差估计式 | x*xk |ba110 3 ，得到3ln 102k12k 12k 11000. 两端取自然对数得 k18.96 ，因此取 k9 ，即至少需二分 9 次. 求解过程见下表。ln 2kakbkxkf (xk ) 符号0121.5+1234567892、证明方程 f ( x)ex10x2 在区间 0,1 内有唯一个实根； 使用（ p.11 ，题 2）二分法求这一实根，要求误差不超过110 2。ex2【解】由于 f ( x)10x 2 ，则 f (x)

2、 在区间 0,1上连续，且f (0) e0100210， f (1)e1101 2 e8 0 ，即 f (0) f (1)0 ，由连续函数的介值定理知，f ( x) 在区间 0,1上至少有一个零点 .又 f '( x)ex 10 0，即 f(x) 在区间 0,1上是单调的，故 f ( x) 在区间 0,1内有唯一实根 .由二分法的误差估计式 | x*xk |ba11 10 2 ，得到 2k100 .2 ln 102k12k 12两端取自然对数得 k23.32196.6438 ，因此取 k 7 ，即至少需二分ln 27 次 . 求解过程见下表。kakbkxkf (xk ) 符号0010.

3、512345670.2 误差1（ p.12 ，题 8）已知 e=2.71828 ，试问其近似值x12.7 ，2.71， 2=2.71，2.718x2xx3各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字：因为 | ex1 |0.018280.05110 1 ，所以 x12.7 有两位有效数字；2因为 | ex2|0.008280.05110 1 ，所以 x22.71亦有两位有效数字；21 10 3 ，所以 x3因为 | ex3|0.000280.00052.718有四位有效数字；2r 1| ex1|0.051.85% ；x12.7r 2| ex2|0.051.85%；x22.71r 3

4、| ex3|0.00050.0184% 。x32.718评（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2（ p.12 ，题 9）设 x1 2.72 ， x22.71828， x30.0718 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差( 限) 与相对误差 ( 限) 。【解】 10.005， r110.0051.8410 3；x12.7220.000005， r 220.0000051.84 10 6 ；x22.7182830.00005， r 330.000056.9610 4；x30.0718评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其

5、末位数字所在位的半个单位.3（ p.12 ，题10）已知x11.42 ， x20.0184 ， x3184 10 4 的绝对误差限均为0.5 10 2，问它们各有几位有效数字？【解】 由绝对误差限均为 0.5 10 2知有效数字应从小数点后两位算起，故 x11.42，有三位； x20.0184 有一位；而 x3184 10 40.0184 ，也是有一位。1.1 泰勒插值和拉格朗日插值1、（ p.54 ，习题 1）求作 f (x)sin x 在节点 x00 的 5 次泰勒插值多项式p5 ( x) ，并计算p5 (0.3367) 和估计插值误差，最后将p5 (0.5) 有效数值与精确解进行比较。【

6、解】由 f ( x)sin x ，求得 f (1) ( x)cosx ； f ( 2) ( x)sin x ； f ( 3) ( x)cosx ；f ( 4) (x) sin x ； f (5)(x)cosx ； f (6 ) ( x)sin x ，所以p5( )f ( x0 )f(1)f ( 2) ( x0 )2f ( 5) (x0 )( x x0 )5x(x0 )( x x0 )( x x0 )5!2!f (0)f (1) (0) xf ( 2) (0) x2f (5 ) (0) x52!5!1x3!|插值误差： R5 (x)p5 (0.3367)x31 x55!f ( 6) () | (

7、x x0 ) 6| sin( ) | ( xx0 ) 6 1 x6 ，若 x0.5，则6!6!6!0.3367 30.3367 50.3303742887 ，而0.33675!3!R5 (0.3367)0.3367 62.02 1060.51055 位，6!，精度到小数点后故取 p5 (0.3367)0.33037 ，与精确值 f ( 0.3367)sin(0.3367) 0.330374191 相比较，在插值误差的精度内完全吻合！2、（ p.55 ，题 12）给定节点 x01, x1 1, x2 3, x3 4 ，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：（ 1）（ 2）f()4x33x2 ；xf

8、( x)x42 x3【解】依题意， n3，拉格朗日余项公式为R3f ( 4)( )3( x)(x xi )4!i 0（1） f ( 4) (x) 0 R3 ( x) 0 ；（2）因为 f (4) ( x)4! ，所以R3 ( x)f ( 4) ( ) ( x 1)( x 1)( x 3)( x 4) ( x 1)( x 1)( x 3)( x 4)4!3、（ p.55 ，题 13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367) 的近似值并估计误差。ixisin( xi )0120.320.340.360.3145670.3334870.352274【解】依题意， n3，

9、拉格朗日余项公式为R3 ( x)f ( 4) ( )3xi )4!(xi 0（1）线性插值因为 x0.3367在节点 x0和 x1之间，先估计误差f ' ' ()sin()x)max( xx0 )( x1 x)R1 (x)(x x0 )( x x1 )( x x0 )( x122!20.01214210；须保留到小数点后 4 为，计算过程多余两位。2y(x1-x 0)2/4y=(x-x 0)(x-x 1)0x0x1xP1 (x)xx1 sin(x0 )xx0sin( x1 )1( x x0 ) sin(x1 ) ( x1 x)sin( x0 )x0x1x1x0x1x0P (x)

10、1(0.33670.32) sin(0.34)( 0.340.3367 ) sin(0.32)10.0210.0167sin(0.34)0.0033 sin(0.32)0.020.3304（ 2） 抛物线插值插值误差：R2 ( x)f ' ' '( ) ( x x0 )( xx1 )( xx2 )cos() ( xx0 )( x1 x)( x x2 )3!6max( x x0 )( x1x)( x2 x)30.013110 6662y y=(x-x 0)(x-x1)(x-x2) Max=3(x 1-x0)3/80 x0xx1x2抛物线插值公式为：P2 ( x)( xx1

11、 )( x x2 )(x x0 )( x x2 )( xx1 )( x x0 )sin(x2 )(x0x1 )( x0sin(x0 )x0 )( x1sin( x1 )( x2x1 )( x2x2 )( x1x2 )x0 )1(x1x)( x2 x)(x x0 )( x2( x1x)(x x0 )0.022sin( x0 )x) sin(x1 )2sin(x2 )2P2 (0.3367)10 50.022 3.8445sin(0.32)38.911sin(0.34)2.7555sin(0.36)10 5sin(0.32)38.911sin(0.34)2.7555sin(0.36)0.33037

12、4390.022 3.8445经四舍五入后得：P2 (0.3367)0.330374，与 sin( 0.3367 )0.330374191精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3 分段插值与样条函数x 3x20x11、（ p.56 ，习题 33）设分段多项式 S( x)3bx 2cx11x22x是以 0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b， c 的值 .【解】依题意，要求 S(x) 在 x=1 节点函数值连续：S(1)1312213b12c11S (1)，即： bc1(1)一阶导数连续：S'(1)312216122b1cS' (1) ，即： 2bc1(2)解方程组（

13、 1）和（ 2），得 b2,c3，即S( x)x 3x 20x12x32x23x11x2由于 S'' (1)321262122S''(1)，所以 S(x) 在 x=1 节点的二阶导数亦连续。1的一组数据， x00, x11, x22 和 y01, y1 0.5, y2 0.2 ，2、 已知函数 yx 21（ 1）求其分段线性插值函数；（ 2）计算 f (1.5) 的近似值，并根据余项表达式估计误差。【解】（ 1）依题意，将x 分为 0,1和 1,2两段，对应的插值函数为S1 ( x)和S2 ( x) ，利用拉格朗日线性插值公式，求得S1 ( x)x x1 y0x

14、 x0 y1x 11x 0 0.50.5x1；x0x1x1x00 11 0S2 ( x)xx2y1xx1y2x 2x10.20.3x0.8x1x2x2x11 20.52 1（ 2） f (1.5)10.30769230769，而 S2 (1.5)0.3 1.50.80.35，1.521实际误差为： | f (1.5)S2 (1.5) |0.04230.05。f(1)( x)2x2 ,f( 2)( x)2(13x2 )f(3 )24x(1x 2 )由(12)(1x2)3,( x)2)4 , 可x(1 x知 M 2f (2 ) (1)0.5 ，则余项表达式R(x)| f ( 2) ( ) | |

15、( x1)( x2) |M 20.520.540.06250.52!2!1.4 曲线拟合1、（ p.57 ，习题 35）用最小二乘法解下列超定方程组：2x4 y113x5 y3x 2 y 62x y 7【解】构造残差平方和函数如下：Q( x, y) ( 2x 4y 11) 2(3x 5y 3) 2( x 2y 6)2(2x y 7) 2，分别就 Q对 x 和 y 求偏导数，并令其为零：Q (x, y)xQ (x, y)y0 ：6xy 17(1) ，0 ：3x46y 48(2) ，解方程组（ 1）和（ 2），得4617486483171.24176x2733.04029,y2732、（ p.57

16、 ，习题37）用最小二乘法求形如yabx2的多项式，使之与下列数据相拟合。【解】令 Xx2 ，则 y abX 为线性拟合，根据公式(p.39,公式 43) ，取 m=2， a1=0，N=5，求得55255abX i5abxiyi(1)i1i 1i 1；555555a X ib X i 2a xi2b xi4X i yixi 2 yi( 2)i 1i 1i 1i 1i 1i 1依据上式中的求和项，列出下表2)2(=x i4)2yi)xiyiXi(=x iXiXi yi (=x i191936113032168592532.362539062520187.531499619235214708938

17、73.314442085136105845.24497.819363748096189340.8157271.453277277699369321.5将所求得的系数代入方程组（1）和（ 2），得5a05327b271.4(1)5327a07277699b369321.5(2)a271.47277699369321.553277791878 .10.97258 ；57277699532753278011566b5369321.55327271.4400859.70.05004 ；57277699532753278011566即： y0.972580.05004x 2 。2.1 机械求积和插值求积

18、1、（ p.94 ，习题 3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：h(1) f (x)dxh1(2) f ( x)dx01(3) f ( x)dx0A0 f ( h)A1 f (0)A2 f (h) ；A0 f (1 )A1 f ( 1)A2 f ( 3 ) ；4241 f (0) A0 f (x0 ) 。4【解】（1）令 f ( x)1, x, x 2 时等式精确成立，可列出如下方程组：A0A1A22h(1)A0A20(2)A0A22 h(3)3, A1hh f (解得： A0A2h4 h ，即：f ( x) dxh)4 f (0) f (h)

19、，可以33h3验证，对 f ( x)x3 公式亦成立，而对f (x)x4 不成立，故公式（1）具有 3 次代数精度。（2）令 f ( x)1, x, x 2 时等式精确成立，可列出如下方程组：A0A1A21(1)A02 A13A22(2)解得： A03A012 A1 27 A216(3)f (1 )2 f ( 3 ) ，可以A22,A11，即：f (x)dx1 2 f (1 )13303424验证，对 f ( x)x3 公式亦成立，而对f (x)x4 不成立，故公式（2）具有 3 次代数精度。A03（3）令 f ( x)1, x 时等式精确成立，可解得：4x02311f (0)3 f ( 2)

20、 ，可以验证，对f ( x) x 2 公式亦成立，而对即：f ( x)dx0443f ( x) x3 不成立，故公式（ 3）具有 2 次代数精度。13 , 试构造计算积分1f ( x) dx 的插值型2、（ p.95，习题 6）给定求积节点 x0, x1I440求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：1 x x1 dx1 x32 ( 1 x 23 x)A04dx0 x0 x10 1324101；2441 x1A11 xx0 dx4 dx 2 ( 1 x21 x)0 x1 x00 3124101；244插值求积公式：1n1113f ( x)dxAk f ( xk )

21、f ( )f ( )0k02424当 f ( x)1，左边 =11；右边 =11111；左 =右；f (x)dx02211 x 21111131当 f ( x)x ，左边 =；右边 =；左 =右；f ( x) dx02022424211 x311；右边=11195 ；左右；当 f ( x)x2 ，左边 =f ( x)dx003321621616故该插值求积公式具有一次代数精度。2.2 梯形公式和 Simpson 公式1、（ p.95，习题 9）设已给出f ( x) 1 e x sin 4x 的数据表，x0.000.250.500.751.00f(x)1.000 001.655 341.551

22、521.066 660.721 591分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分【解】（1）用 复化梯形法 ：If ( x) dx 的近似值。0a 0, bb a1, n 5, hnn 1hT5 f ( xk ) f (xk 1 )k 0210.254hn 12 f (xk ) f (b) f (a)2k 1T50.25 f (0.00)2 f (0.25)f ( 0.50)f (0.75)f (1.00)2T50.1251.000002(1.655341.551521.06666)0.72159T51.28358（2）用 复化辛普生法 ：a0, b1, n 2,hba1n0.52n 1 h4 f

23、( xkhn 1n1S2k 0 6 f ( xk )1 )f (xk1 ) f (a)4f ( xk 1 )2f ( xk ) f (b)26k02k1S20.5 f (0.00)4 f (0.25)f (0.75)2f ( 0.50)f (1.00)6S211.0000010.8883.103040.721591.30939122、（ p.95 ，习题 10）设用复化梯形法计算积分I1ex dx ，为使截断误差不超过1 105，02问应当划分区间【0,1 】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？【解】（ 1）用复化梯形法 ， a0, b1, f (x)f '( x)f '

24、9; (x)ex ，设需划分n 等分，则其截断误差表达式为：|RT | |ITn |(ba)3)(10)3e ；12 n2max f ' '(12n3依题意，要求 | RT|110 5，即2e110 5n 2e105212.849 ，可取 n213 。12n 226（ 2）用 复化辛普生法 ， a0, b1, f (x)f ' (x)f ''' '( x) ex ，截断误差表达式为：55e 4 ；|RS | |ISn |(ba) 4 max f ''''()(10) 4 e180( 2n)2880n2880

25、n依题意，要求 | RS|110 5，即2e1 105n4e 10 53.70666 ，可取 n 4 ，划分 8 等分。2880n 4214402.3 数值微分1、（ p.96 ，习题24）导出三点公式 (51)、 (52)和(53)的余项表达式f ' ( x0 )13 f ( x0 )4 f (x1 )f (x2 )(51)2hf ' ( x1 )1f (x0 )f ( x2 )(52)2hf ' ( x2 )1 f ( x0 )4 f ( x1 ) 3 f (x2 )( 53)2h【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为f( n1)(k)n

26、R( xk )( xkx j )f ' (xk ) p'( xk )(n1)!j0jk由三点公式 (51) 、 (52) 和(53)可知， n2, h x1 x0x2 x1 ，则f( 21)( 0 )2f '' '( 0 ) (x0f ' ''( 0 ) h2R( x0 )(x0x j )x1 )( x0 x2 )( 21)!j13!3f(21)( 1 )2f '''( 1 ) ( x1f '' '( 0 ) h2R( x1 )(2( x1x j )x0 )( x1x2 )1)!j0

27、3!6j1f(21)(2 )2f '' '( 2 ) ( x2f ''' ( 2 ) h2R( x2 )(2(x2x j )x0 )(x2x1 )1)!j03!3j22、（ p.96 ，习题 25）设已给出 f (x)1的数据表，x)2(1x1.01.11.2f(x)0.25000.22680.2066试用三点公式计算f ' (1.0), f ' (1.1), f ' (1.2) 的值，并估计误差。【解】已知 x01.0, x11.1, x2 1.2, h x1x0x2x10.1，用三点公式计算微商 ：f ' (1

28、.0)13 f (1.0)4 f (1.1) f (1.2)130.2500 4 0.2268 0.20660.247022h0.1f ' (1.1)1 f (1.0)f (1.2)2hf ' (1.2)1 f (1.0)4 f (1.1)2hf ( x)12;f '(x)x)(1(11 0.25000.20660.217020.113 f (1.2)0.250040.226830.20660.187020.123;f ' '( x)64; f '''( x)245 ，x)(1 x)(1 x)用余项表达式计算误差R(1.0)f &

29、#39; ''(0 )h2240.120.002533(11.0)5R(1.1)f ' ' ' (1 ) h2240.120.001253!3!(11.0)5R(1.2)f '' ' ( 2 ) h2240.120.0496733(11.1)53、（ p.96 ，习题26）设 f ( x)sin x ，分别取步长h0.1,0.01,0.001，用中点公式（ 52）计算 f' (0.8) 的值，令中间数据保留小数点后第6 位。【解】中心差商公式：f ' ( a)f (ah)f (ah) ，截断误差： R(h)f &#

30、39; '' (a) h 2 。可见步长 h 越小，截断误差亦越小。2h3!(1)h0.1, x00.8h0.7, x20.8h0.9,则f ' (0.8)1 sin( 0.9)sin( 0.7)10.783327 0.6442180.695545 ；2h20.1(2)h0.01, x00.8h0.79, x20.8h0.81, 则f ' (0.8)1sin( 0.81)sin( 0.79)210.724287 0.710353 0.69672h0.01(3)h0.001, x00.8h0.799, x20.8h0.801, 则1sin( 0.801)sin(0.799)10.716659 0.6965f ' (0.8)0.7180522h2 0.01而