《三角形中的几何计算》教学设计

1、.课题：三角形中的几何计算一、教材分析本节课是学习了正弦定理、 余弦定理之后的一节小结课或习题课， 可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的， 为后面的实际应用举例奠定基础， 因此本节课的学习具有承上启下的桥梁作用。 在本节课的教学中， 用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。二、教学目标1、知识与技能通过回顾正弦定理、余弦定理的表达式，进一步熟悉正、余弦定理的内容、作用及所解三角形的类型；能够联系勾股定理、 三角形面积定理及三角形内角和公式等有关三角形相关知识， 灵活地解三角形。2、过程与方法首先帮助学生回忆并复述出正弦定理和余弦定理及其变式

2、，再指出正弦定理和余弦定理的相通性，能用正弦定理解的三角形， 用余弦定理多数也可以解，反之亦然；但解题的时候，应有最佳选择；善于利用分类讨论的思想，利用先易后难、 逐层推进的思想，解决一些繁、难三角形问题，培养学生应用自主、合作、探究的方法，解决新问题，掌握新知识。3、情感、态度与价值观把对学生的类别联想、探究思维能力的训练贯穿整节课的始终；教学过程中，指导学生结合利用正弦定理和余弦定理解三角形的问题进行归纳剖析，以提高学生的思维层次；通过本节课的探究， 培养学生积极探索、 勇于创新的科学精神， 以及具体问题具体分析的良好学习习惯， 并对正弦定理、 余弦定理的对称美产生愉悦感， 从而激发学生热

3、爱数学、热爱科学的追求精神。三、教学重点、难点1、重点：灵活选用正弦定理、余弦定理进行有关的三角形中的几何计算；2、难点：利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用。四、教学方法与手段本节课的重点是正确运用正弦定理、 余弦定理解斜三角形， 而正确运用两个定理的关键是要结合图形， 明确各已知量、 未知量以及它们之间的相互关系。 通过问题的探究，要让学生结合图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论， 在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路， 采用一问多探的方式引导学生动眼、动脑、动手，积极投入到新知的达成中去，以提高学生观

4、察、识别、分析、归纳等思维能力。五、教学过程教学环节教学过程温故知新请学生回顾正弦定理、余弦定理内容及其可解决的问题（以问答的形式展开）设计意图复习与本节课内容有关的知识，为新课的展开作铺垫。创设情景导入新课例 1：一次机器人足球比赛中，甲队1 号机器人由点 A 开始做匀速直线运动， 到达点 B 时，发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 做匀速直线滚动， 如图所示。已知： AB=4 2 dm ， AD=17 dm ， BAC=45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间， 则该机器人最快可在何处截住足球？采用课本上的例子引入，让学生体验数学应用的广泛性和重要性，以及课本对于

5、教学的指导作用。引导;.分析： 机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方，设为 C 点，利用速度建立 AC 与 BC 之间的关系，再利用余弦定理便可建立方程，进而解决问题。解：设该机器人最快可在点C 处截住足球， 点 C 在线段AD 上。设 BC=x dm ，由题意， CD=2x dmAC=AD-CD=(17-2x)(dm)（注：也可以设AC=x dm ，则 CD=(17 x) dm ,BC=0.5(17 2x) dm ）在 ABC 中，由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·ACcosA即 x2=(4 2 )2+(17-2x) 2 -2 ×42

6、 ×(17-2x)cos45 °解得： x1=5(dm) ， x2=37(dm)3所以，AC=17-2x=7(dm) 或 AC=23 (dm)( 不合题意，3舍去 )学生自主或者小组合作探究，充分调动学生探究的积极性。答：该机器人最快可在线段AD 上离点 A 7dm 的点C 处截住足球。思考： 请问 AC 为什么会出现负值？它表示什么意思？思考、探究时让学生分析探究体会方程思想的运获取新知例 2：如图所示，在梯形 ABCD 中，AD BC ，AB=5 ， 用。AC=9 ， BCA=30°， ADB=45°。求 BD 的长。思考： 本题所求的 BD放在哪个

7、三角形中最容易计算？（ ABD）在这个三角形中欲求BD还需要通过此问题的探究，知道哪些条件？它与哪个定理培养学生一题多解、关系最近？怎样用定理？（分析： 用正弦定理求出 ABC的正弦，利用平行关系一题多探的多维思维求出 BAD的正弦，再利用正弦定理求出BD)。和主动探索新知的思解： 在 ABC 中， AB=5 ， AC=9 ， BCA=30°想。由正弦定理，得ABACsin ABCsin BCAsin ABC= AC sinBCA 9sin 30o9AB510因为 AD BC，所以 BAD=180° - ABC ，于是 sin BAD=sin ABC=9109 ，同理，在

8、ABD 中， AB=5 ， sin BAD= ADB=45° ，10解得BD=9 2。2答： BD 的长为 922;.探究： 能否用平面几何知识来解决它？分别过点 A、D 作 BC 的垂线 AE 、DF 交 BC 与 E、F，则： BDF 、 AEF 为两个特殊的直角三角形，进而可求 BD 长。AD BCAD45°且 ADB=45 059 BDF 为等腰直30°角三角形BEFC积极引导学生思考，适当点拨并展示学生探究成果。课堂练习巩固提高归纳总结 BD= 2DF AE 、DF 分别垂直 BC 于 E、F ，AC 9， ACB 30 AE 9 ， 所以：BD9 2

9、22提出疑问： 观察该解题过程，题目中好像有个条件没有用到！是我们错了还是课本条件给多了呢？！探究： 如果把题目中的条件 AB=5 去掉，能否用正、余弦定理求出 BD 的长？在三角形 ABC 中由正弦定理可得：ABBD，AB9sin 450sin BADsin 300sin ABC在三角形 ABD 中由正弦定理可得：因为 AD BC 所以 BAD 180 °- ABC9sin30 09 2，所以 BD02sin45于是 sin BAD sinABC结论：课本给出 AB=5是为了降低难度，是故意给出的，没有错误。练习 1：课本例 3练习 2：锐角三角形ABC 中，边 a、 b 是方程x

10、223x20 的两根，角A、B 满足 2sin AB30,求角 C 的度数、边c 的长度和三角形ABC 的面积。（采用提问形式，学生阐述，老师适当补充）1、对于平面图形的计算问题，要把所求的量转化到某个三角形中，然后选用正、余弦定理解决2、构造三角形时，要注意尽量含有多个已知量，这样可以简化运算3、注重方程思想在解题中的应用题4、养成具体问题具体分析地的良好思维习惯产生疑问，引导学生思考通过对这一问题的探究，让学生体会一题多解、一题多思，对数学产生探索的兴趣学以致用， 巩固提高，在提高中不断升华，进而内化成学生自身的能力，同时让学生体验成功的喜悦培养学生学习的主动性和学后反思的习惯及归纳总结的能力。六、课后作业1、必做题：课本习题2-2A 组第 3、5、6 题2、选做题：课本习题2-2B 组第 2 题七、教学反思本节课，我是通过典型的实例来探索关于解三角形的多种思维方法，具体解三角形时，所选例题突出了函数与方程的思想， 将正弦定理、 余弦定理视作方程或方程组， 处理已知量与未知量之间的关系。 教学中， 我采用问题为主线， 以学生自主探究为主体， 学生自我展示，;.老师适当点拨为辅助的教学模式：通过问题的设置突显本节的重点，让学生在探究问题的过程中主动参与、 积极思考，展示个人观点，培养学生爱思考的优良个性品质。对于本