骆攀《矩阵初等变换的应用》

1、矩阵初等变换的应用骆攀 摘要从矩阵初等变换的定义出发，比较详细地总结了矩阵的初等变换在线性代数、初等数论、数学分析求函数极值、经济交易系统的价值、生物营养、化学方程式配平、判断平面位置关系等方面的一些应用.关键词矩阵；初等变换；秩；基1引言矩阵是大学数学学习过程中的一个重要内容，是线性代数研究的主要对象，也是数学很多分支研究及应用的重要工具.矩阵源于某一问题的有关联的数据所组成的矩形数表，最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，毫无疑问为解方程组带来了方便，随着矩阵理论的发展，新的概念不断产生，新的问题也随着产生，如比较抽象的问题能够用矩阵表示出来，建立数学模型求解，初等变换能够把各种复杂的

2、矩阵转化成需要的矩阵形式，使计算变得更加简洁，并且便于应用等等.关于初等变换的应用, 虽然前人得出了很多有价值的结论1-6,但是它的运用局限于线性代数，而且还是凌散不系统的，没有较完整的书籍或文章详细的叙述总结初等变换的应用.因此，本文综合前人在初等变换方面的研究，对初等变换的相关理论成果做全面的梳理整合，使初等变换的理论与应用更全面、细致，方便学者系统地了解初等变换在不同领域的运用，加深对初等变换的理解，以便学者今后在学习生活中能够更加灵活地运用初等变换去解决一些实际问题，服务于生活，使初等变换不仅在数学领域发挥作用，在其它科学领域中还能发挥更大的作用.定义1下面三种初等行（列）变换称为矩阵

3、的初等变换：(1)换法变换：对调矩阵两行（列）；(2)倍法变换：用任意数乘矩阵的某一行（列）中的所有元素；(3)消法变换：用数乘矩阵的某一行（列）的所有元素加到另一行（列）的对应元素上去.2初等变换在线性代数中的应用2.1 将矩阵化为阶梯形和等价标准形任意一个矩阵，经过有限次初等变换总可以化为阶梯形矩阵，进而化为最简阶梯形矩阵.任意一个矩阵，总可以经过初等变换把它化为标准形.2.2 初等变换求逆矩阵用矩阵的初等变换求逆矩阵的基本方法如下：方法一：.方法二： .方法三：.证明 （方法三）：因为可逆，故有可逆矩阵使得，且.而2.3 初等变换求矩阵的秩矩阵的秩:若矩阵经过初等行变换化为行阶梯形矩阵，

4、且行阶梯形矩阵是非零行的，那么行数就是矩阵的“秩”. 定理1 矩阵经初等变换后，其秩不变，即若，则.例1 求的秩.解 因为，所以.2.4 判断两个向量组是否等价设向量组与向量组，判断它们是否等价，可先构造矩阵，通过初等变换求出矩阵的秩，若，则向量组与向量组等价.例2 已知向量组:和向量组：.判断向量组和向量组是否等价.解 记，根据上述方法，只要证，为此把矩阵用初等变换化为阶梯形矩阵：.由此可知，故向量组和向量组等价.2.5 解线性方程组2.5.1 求齐次线性方程组的解方法：先写出齐次线性方程组的系数矩阵，然后利用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵,求出系数矩阵的秩.若,则只有零解.若,则有非零

5、解；最后对阶梯形矩阵施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，以非零行首个非零元对应的个未知量为基本未知量，其余的个未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分别令自由未知量中一个为1，其余全为0，求得的基础解系:；个解向量的线性组合就是的通解，即.2.5.2 求非齐次线性方程组的解非齐次线性方程组的求解步骤如下:首先写出的增广矩阵，并把它化为行阶梯形；若，则方程组无解.若，则此方程组有唯一解，只需要对增广矩阵实施一系列的初等行变换使其化为行最简形，由此得出方程组的解，即，得原方程组的解为.若，则此方程组有无穷多解，也可以写出它的解.2.6 初等变换求

6、解矩阵方程2.6.1 当,可逆时线性矩阵方程的解（1），若可逆，则，初等变换法即.（2），若可逆，则，初等变换法即.（3），若均可逆，则，即先作，再作.例3 求解矩阵方程, 其中.解 ,因此.2.6.2 当,不可逆时线性矩阵方程的解定理 2 如果矩阵方程有解,且有可逆矩阵使,就可得矩阵方程的通解为,其中为的前行组成的矩阵,中的元素可以任意取值.由上述定理可知求解矩阵方程的方法如下:（1）把,放到一起,组成一个矩阵,然后对其做初等行变换得到矩阵,其中是上阶三角矩阵,从而可确定矩阵和矩阵的秩,判断方程是否有解,同时取的前面行作成,它满足,且为的前行.（2）如果上述方程有解,就对作初等列变换,经过列

7、变换后变成，其中,必有.（3）从而由上述定理2可知，的通解公式为.例4 设, ,求矩阵方程的通解.解 根据解矩阵方程的步骤,将放到一起,组成一个矩阵,如下:,然后对其作一系列初等行变换,使得为上三角矩阵, 即,很明显矩阵和矩阵的秩都是,故该方程有解.取, 有,接下来对作初等列变换有, 经过列变换后可得到.从而,由定理2知,该方程的通解为,其中是任意的矩阵.2.7 化二次型为标准型化实二次型为标准型，首先写出二次型所对应的矩阵，然后构造矩阵,紧接着对矩阵每进行一次初等行变换后，就对施行一次同样的初等列变换，当矩阵化为对角矩阵时，单位矩阵就化为可逆矩阵，使得.最后得到可逆矩阵和非退化线性替换,在这

8、个变换下化为标准形.例5 化二次型为标准形，并写出所用的非退化线性替换.解 题中二次型的矩阵为，由上面的初等变换法化二次型为标准形的步骤可知：,从而非退化线性替换为，原二次型化为.2.8 判断向量组的线性相关性基本方法如下：设向量组为，以为列构成矩阵，对施行初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩.若，则线性无关.若，则线性相关.例6 试判断下列所给向量组的线性相关性. 解 把行向量组成矩阵，用初等变换化成阶梯形，有,所以向量组的秩是2，可见向量组线性相关.2.9 求的子空间与的和与交的维数在中设, ,计算与的维数.基本方法：构造矩阵,采用初等行变换求出中列向量组的极大无关组,从而得到的一个

9、基,基中向量个数即为的维数；再由可得的维数.例7 在中，设向量组为求，的维数.解 设，由题意可得.构造矩阵，所以是的一组基，.再由得.2.10 初等变换求标准正交基2.10.1 初等列变换求标准正交基的依据引理1 设为mxn矩阵则是阶对称矩阵. 定理3 设为矩阵，且，则存在可逆矩阵使的列向量是正交向量组.2.10.2 初等列变换求标准正交基的基本方法设是的一组基，由上述定理3可得到初等列变换求标准正交基的方法如下：（1)求积；（2)作矩阵；（3）首先对矩阵施行消法初等列变换，把化为下三角矩阵，同时把化为，即.（4）记，令（i=1,2,L,n）,则是标准正交基.例 8 已知是的一组基，其中，试用

10、构造的一组标准正交基.解 因为,所以的一组标准正交基为.2.11 用矩阵的初等变换求过渡矩阵设与是的两个基,则就是到的过渡矩阵.例 9 向量组和都是的基，求由基到基的过渡矩阵.解 由题意可得,所以基到基的过渡矩阵为.2.12 初等变换求基下的坐标方法：（其中为列向量，为基），的坐标即为所求的坐标.例 10 已知三维线性空间的一组基为在上述基底下的坐标.解 设，对进行初等变换如下:故在基下的坐标为.3 初等变换在数论中的应用3.1 初等变换求两个整数的最大公因数、最小公倍数命题1若,，,则存在整数矩阵,且,使得,其中,.命题2 矩阵左（右）乘一个可逆的整数矩阵相当于对进行一系列的整数行（列）初等

11、变换.由命题1、命题2可得出求两整数,的最大公因数与最小公倍数的基本方法如下：构造矩阵,对实施整数初等变换,把化成阶梯形矩阵,则为最大公因数,为最小公倍数.例 11 已知,求,.解 如前述方法构造矩阵,并对其实施整数初等变换： 所以有,.命题3 设是个不全为0的整数,它们的最大公因数,则存在可逆方阵,使得.由命题3 可得求的最大公因数的方法：在行向量 下方添加一个阶单位阵,构成阶矩阵,对实施整数初等列变换直到其第一行化为,则其下方的单位阵便化成了可逆方阵,即 .3.2 初等变换求多项式的最大公因式设是数域上的多项式，记.则存在，使得.记.令，则可经过初等变换化为的形式.其中，.例12 设，求的

12、最大公因式.解 作矩阵，对其施行一系列的初等行变换.所以.3.3 初等变换求多项式的最小公倍式设数域上的非零多项式，令，对其施行一系列的初等行变换化为，其中，为首1多项式，则，（其中为首1最小公倍式）.例13 设.求.解 对矩阵，实施一系列初等行变换化为.所以，.4 初等变换在数学分析求函数极值中的应用定理4 设函数在点的某一邻域内连续，且具有一阶及二阶连续偏导数，且是驻点，即作矩阵，其中.当矩阵的各阶主子式均不为0时，则有（1）当矩阵正定时，点为的极小值点，为极小值；（2）当矩阵负定时，点为的极大值点，为极大值；（3）当矩阵不定时，点不是的极值点.定理5 设是阶方阵，且,把.（1）正定（2）

13、负定（3）不定中有正有负或某个为零.由于行列式的某行（列）乘以正数，或某行（列）乘以某数加到另一行（列）不改变行列式值的符号，对施行这两种变换将其化为上（下）三角行列式，观察，位于行列式的对角线上元素的符号，由定理可判定出是否是极值点及极大（小）值.例14 判断三元函数是否存在极值？若有极值，是极大值还是极小值？解 令可得驻点，在驻点处的二阶偏导数分别为，构造矩阵，对施行初等行变换将其化为上三角行列式，即.因为，由定理知，不是函数的极值点.5初等变换在其他方面的应用5.1 在通信中的应用有一种对信息进行保密的措施，就是把字母与整数一一对应编码，然后发送这组整数.如要发送消息“action”，此

14、消息对应的整数编码是1,3,20,9,15,14.用这种方法，在一条长消息中，根据数字出现的频率，容易估计它所代表的字母，因而容易被破译.因此，可以利用矩阵的乘法对这个编码进一步加密后又利用初等变换解密，就可以避免被破译.先任选一个行列式等于1或-1的整数矩阵，如，然后将编码1,3,20,9,15,14写成两个传出信息向量.因为，所以将传出信息向量经过乘A编成“密码”后发出，收到的信息为67,44,43,81,52,43.又由得，所以,.所以将收到的信息写成两个信息向量后，经过给予解码为1,3,20,9,15,14.最后，利用使用的代码将编码恢复为明码，得到信息“action”.5.2 初等变

15、换在经济交易系统的价值问题中的应用例15 在人类原始社会的一个部落当中，人们分别从事三种职业：农业生产、劳动工具的打造和器皿的手工制作、生活必需品的供给.由于当时的社会条件不存在货币制度，人们所有的商品和服务都是进行物物交换.记这三类人为，并假设有表1所示的实物交易系统.表1 实物交易系统产品分配假设没有资本的积累和债务，使用货币系统如何给三种产品定价，就可以公平的实现当前的实物交易系统.解 设所有农产品、手工业品、服装的价值分别为，由题意可得.利用初等变换求解齐次线性方程组的方法可得其通解，且.因此，可以按此比例给三种产品定价，就可以公平的实现当前的实物交易系统.5.3 初等变换在生物营养方

16、面的应用例16 随着生活水平的提高，越来越注重营养的摄取，某兽医推荐狗的食谱中每天应该包含100个单位的蛋白质，200个单位的卡路里，50个单位的脂肪.一个商店的宠物食品部有四种食品.每的这四种食品所包含的蛋白质、卡路里和脂肪的量（单位）如下表2所示：表2 四种食品所包含的营养量食物蛋白质卡路里脂肪A5202B4252C71010D1056问从该商店的宠物食品部现有的四种食品中，能否找到使得狗的食谱所含营养量满足兽医的推荐.解 设狗一天食谱中的量分别为，使得狗的食物满足兽医的推荐.由题意可得.此时，对该线性方程组所对应的增广矩阵进行初等行变换，把它化为行阶梯形矩阵，就可以得到一个同解线性方程组

17、，通过回代的方法得出原方程组无非负解.所以不可能在该商店现有的四种食品中找出狗的食谱所含营养量，使得狗的食谱满足兽医的推荐.5.4 初等变换在化学方程式配平中的应用配平化学方程式的原则是确定各分子式的系数（为正整数，且除了1没有其它公约数）使化学方程式两边的各原子数相等.例17 配平化学方程式解 设各分子式的系数分别为即根据配平原则，即求齐次线性方程组的整数解.方程组的系数矩阵为.把化成行最简型矩阵时，会有分数运算，较麻烦.解方程组来说，不必非得将的第1列先化为,即,右边的矩阵虽不是行最简型矩阵，但具有与行最简型矩阵等效的功能.由,知方程组有非零解，这时可选为自由未知数，从而有同解方程组.令为

18、符合条件的解，于是化学方程式为5.5 初等变换在解析几何中的应用例18 判断空间三个平面的位置关系平面：平面：平面：解 设,令则,接下来利用初等变换求出上述矩阵的秩.（1）当时，原方程组有唯一解，故三个平面交于一点.（2）当时，方程组没有解，故三个平面没有公共点.（3）当时，方程组的通解为一维仿射子空间，即三个平面交于一条直线.（4）当时，方程组无解，由说明三个平面彼此平行，但至少有两个平面不重合.（5）当时，方程组的通解为二维仿射子空间，即三个平面完全重合.6 结束语线性代数历来以抽象著称，是理工类学生非常烦恼的科目，然而矩阵又是线性代数的重要研究对象，矩阵的初等变换是矩阵计算、证明中的重要

19、工具，贯穿于线性代数学习的整个过程，由以上归纳可见，矩阵的初等变换广泛的应用于线性代数、初等数论、通信、经济学、生物学、数学分析、化学及解析几何等方面，从文章所给的具体实例可以看出,初等变换在处理相关问题时，能够把抽象问题转化为具体的数学模型，能够化繁为简，化多为少，化大为小，具有简单、快速、易于操作、便于理解等特点.因此，有必要对初等变换的应用进行归纳讨论，使之理论与应用更加完备.但是要注意的一点是,当处理不同的问题时,使用初等变换的种类可能会不一样,所以在具体使用时要因题而议，灵活应用，采用合适的初等变换，这样利用初等变换才会起到事半功倍的效果.参考文献1卢 刚.线性代数M.北京:高等教育

20、出版社,2000,41209.2韩志刚.高等数学M.长沙:湖南教育出版社,2008.3卢 刚.线性代数M.北京:高等教育出版社,2000,41209.4Abraham R,maralen JE,Ratiu T.manifild,Tensor Analysis and its Applications.New York:Springer-Verlag,1988.5Arnold V I.Geometrical methcds in theory of onlinary differential equations.New York:springer-verlag,1988 .6Feng Tian-

21、xiang <journal of Chongqing three gorges university >Re-discussing Applications of Elementary Transformation in Matrix computation.Vol.24 No.110.7同济大学数学系.线性代数M.北京：高等教育出版社，2007.8戴天时,陈殿友.大学数学线性代数M.北京:高等教育出版社,2004.9赵树嫄.线性代数(3版)M.北京:中国人民大学出版社,2005.061.10王成,饶从军.矩阵初等变换的应用研究J.高等数学研究,2007,14(4):76-78.

22、11林亨成,陈群.矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用J.成都教育学院学报,2006,4(2):91-92.12王文省,姚忠平.初等变换的思想方法在高等代数中的应用J.聊城师范学报(自然科学版)2003,13(3):58.13吴明芬.初等变换的应用J.工科数学,2001,17(3):21.14陈碧琴.矩阵初等变换在初等数论中的应用J.南通工学院学报,2004,3(1):9-12.15王卿文.线性代数核心思想及应用.北京:科学出版社,2012.16杨纯富.矩阵的初等变换在多项式理论中的应用J.重庆文理学院学报(自然科学版）,2008,27(4):5557.17惠菊梅.一元多项式最大公因式的矩阵求法J.青海师专学报,2008,12(5):68-72.1