[精选]分式要点和典型例习题--资料

1、分式要点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等2建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题 分式方程模型 求解 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，

2、对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义3类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程第一讲 分式的运算【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质;2. 与分式运算有关的运算法则3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 )4. 幂的运算法则【主要公式】 1. 同分母加减法则 :bcbc a0aaa2. 异分母加减法则 :bdbcdabc da a 0, c 0 ;acacacac3. 分式的乘

3、法与除法bdbdbcbdbd:cac,dacacaa4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项5. 同底数幂的乘法与除法mn=am+nmnmn; a a; a÷ a =a6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a m bn , (am) n= a mn7. 负指数幂 :a-p = 1pa0=1a8. 乘法公式与因式分解: 平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a 2- b 2 ;(a±b) 2= a 2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义b , x2y 21【例 1】下列代数式中：x ,1xy,a,xy ，是分式的有：.2abxy

4、xy题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义（ 1） x 4（2）3x（ 3）x2（ 4） 6 x（ 5）1x 4x2221| x | 3x1x题型三：考查分式的值为0 的条件【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为0.（ 1） x1（ 2） | x | 2（ 3） x22x 3x3x24x25 x6题型四：考查分式的值为正、负的条件【例 4】（ 1）当 x 为何值时，分式4为正；8x（ 2）当 x 为何值时，分式5x为负；3(x1)2（ 3）当 x 为何值时，分式x2 为非负数 .x3练习：1当 x 取何值时，下列分式有意义：（ 1）1（2）3x（ 3）16

5、| x | 311( x 1) 21x2当 x 为何值时，下列分式的值为零：（ 1）5| x1 |（2）25x2x 426x5x3解下列不等式（ 1） | x | 20（2）x 530x1x22x（二）分式的基本性质及有关题型AAMAM1分式的基本性质：BBMBMaaaa2分式的变号法则：bbbb【例 4】已知： x1 2 ，求 x 21的值 .xx2【例 5】若 | x y1 |( 2x 3) 20 ，求1的值 .4x2 y练习：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.0.4a3（ 1） 0.03x0.2yb（2）150.08x0.5y1ab4102已知： x13，求x 2的

6、值 .xx2x413已知： 113，求 2a3ab2b 的值 .abbaba4若 a 22ab26b 100 ，求2ab 的值 .3a5b5如果 1x2 ，试化简 | x2 |x1| x | .2x| x1|x题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（三）分式的运算12xy（2） 0.2a0.03b1确定最简公分母的方法：（1） 231x1y0.04a b最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；34最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.题型二：分数的系数变号2确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；【

7、例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.（ 1）xy（ 2）a（ 3）a题型一：通分xybba题型三：化简求值题【例 1】将下列各式分别通分 .【例 3】已知：115 ，求2x3xy2y的值 .cbaabxyx2xyy（ 1）2ab ,3a 2c ,5b2 c ；（ 2） ab ,2b 2a；提示：整体代入，x y3xy ，转化出1 1（ 3）1x2；（ 4） a2,1x y.x 2, 1 2x x2 , x2xx 22 a题型二：约分【例 2】约分：（ 1）16 x2 y；（ 3） n 2m2；（3） x 2x2 .20xy

8、3mnx 2x6题型三：分式的混合运算【例 3】计算：（ 1） ( a 2b )3 (c2) 2(bc ) 4 ；（ 2） ( 3a 3) 3(x 2y 2 ) ( yx) 2 ；cabaxyyx（ 3） m 2nnn2m ；（ 4） a 21a1 ；nmmnma（ 5）112 x4x 38 x71 x 21 x4；1 x 1 x1 x 8（ 6）111；(x1)( x1)(x 1)( x3)( x3)( x5)（7） (x 244x1) ( x 22x )x 24x2x1题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（ 1）已知： x1 ，求分子 1x284( x 241) (11 ) 的值；4x

9、2x（ 2）已知： xyz ，求 xy2 yz3xz的值；234x2y2z2（ 3）已知：2310211a，试求 (aa 2 )(aa ) 的值 .a题型五：求待定字母的值【例 5】若 13xMN，试求 M,N 的值.x21x1x1练习：1计算（ 1） 2a 5a12a3 ；（ 2） a2bb22ab ；2(a1)2(a1)2(a1)aba（ 3）ab ca2b3cb2c；（ 4） ab2b 2；a b cb c ac a ba b4ab4ab) ；（ 6）112；（ 5） (a b)( ab1 x1 x2a ba b1 x（ 7）121.( x 2)( x3)( x1)( x3)( x1)(

10、x2)2先化简后求值（ 1） a1a241，其中 a 满足 a 2a 0 .a2 a22a1a21（ 2）已知 x : y2 : 3 ，求 ( x2y 2)( xy ) ( xy )3 x的值 .xyxy 23已知：5 x4AB，试求 A、B的值.(x1)( 2x1)x12x14当 a 为何整数时，代数式399a805 的值是整数，并求出这个整数值 .a2（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例 1】计算：（ 1） (a2 ) 3 (bc 1)3（ 2） (3x 3 y 2 z1 )2 (5xy 2 z3 ) 2（ 3） (a b) 3 (a b) 5 2（ 4） ( x

11、y) 3 (xy) 2 2 ( x y) 6(a b) 2 (ab) 4题型二：化简求值题【例 2】已知 xx 15，求（ 1） x2x 2 的值；（ 2）求 x4x4的值 .题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：（1） (3103)(8.2102)2；（ 2） (4 103)2(21023.【例 2】解下列方程)练习 ：（ 1）x4x 44；（2） x 7 x 9 x 10 x 6x 1xx 6 x 8x 9x 51计算：（ 1） ( 11)( 1)2 |1 |(13 )0(0.25)200742008提示：（1）换元法，设xy ；（2）裂项法，x711.3553x1x6x6（2）(313

12、n2)2(m2n)3【例 3】解下列方程组m(2ab 2 ) 2(a 2 b) 2111(1)（3）xy2(3a3 b2 )(ab 3 )2111( 2)yz3（ 4） 4( xy)2( x y)22111(3)zx42( xy)1(xy)22已知 x25x10 ，求（ 1） xx 1 ，（ 2） x2x 2 的值 .题型三：求待定字母的值第二讲 分式方程【例 4】若关于 x 的分式方程21m 有增根，求 m 的值 .x3x3【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法;【例 5】若分式方程2xa1的解是正数，求a 的取值范围 .x22. 分式方程产生增根的原因2a3. 分式方程的应用题提示：0

13、且 x2 ，a 2 且 a4 .x3【主要方法】1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数;题型四：解含有字母系数的方程2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 .3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 .【例 6】解关于 x 的方程（一）分式方程题型分析xac (cd0)题型一：用常规方法解分式方程bxd【例 1】解下列分式方程提示：（1） a,b,c, d 是已知数；（ 2） cd0 .（ 1）13 ；（2）210 ；（3） x 141 ；（ 4） 5 x x 5题型五：列分式方程解应用题x1xx3xx 1x21x 3 4 x练习：提示

14、易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记1解下列方程：验根 .（ 1） x 12 x0 ；（ 2）x24；题型二：特殊方法解分式方程x 11 2 xx3x3（ 3） 2x2322 ；（4）7317 x 2xxx2x x x2x21（ 5） 5x 4 2x 5 1（6）11112x 4 3x 2 2x 1 x 5 x 2 x 4（ 7）xx9x1x8x2x7x1x62解关于 x 的方程：（1） 112(b2a) ；（ 2）1a1b (a b) .axbaxbx3如果解关于 x 的方程kx会产生增根，求k 的值 .2xx 224当 k 为何值时，关于x 的方程 x3k1 的解为非负数 .x2(x 1)( x2)5已知关于x 的分式方程2a1a 无解，试求a 的值 .x1（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例 1解方程： 1x3x2二、化归法例 2解方程：1201x21x三、左边通分法例 3：解方程： x81x8x77四、分子对等法例 4解方程： 1a1b(a b)axbx五、观察比较法例