二阶线性偏微分方程理论与δ函数PPT学习教案

1、会计学1二阶线性偏微分方程理论与二阶线性偏微分方程理论与函数函数2二阶线性偏微分方程理论本次课主要内容与函数(一)、二阶线性偏微分方程理论(二)、 函数第1页/共34页3(一)、二阶线性偏微分方程理论基本概念T为算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，称T为线性算子2. 二阶线性偏微分算子 2111nnnijiiiiijiLabcx xx 1. 线性算子 第2页/共34页4于是 二阶线性偏微分方程可以简记为：fLu 齐次形式为：0Lu 12( ,.,)nuu x xx其中:3.边界条件算子Hn第3页/共34页5物理背景：叠加原理原理1：(有限叠加) 在物理上，常有所谓的叠加现

2、象：即几种因素产生的总效果等于各因素产生的效果总和。 物理上的叠加现象反映到数理方程中来，就得到线性定解问题中的叠加原理。 设ui满足线性方程(或线性定解条件)：iiLuf( 1 ,2,., )in 又设：1niiiuc u 那么：11nni ii iiiLcuc f第4页/共34页6(1,2,)iiLuf i11iiiiiiLcuc f其中： 收敛，且算子L与和号能交换次序。原理2：(无限叠加)1niiic u第5页/共34页7其中，M表示自变量组，M0为参数组 .0,MMfLu 设u(M,M0)满足线性方程(线性定解条件)：原理3：且积分00(),vU Mu MMdM收敛，并满足L中出现的

3、偏导数与积分号交换次序所需要的条件，那么U(M)满足方程(或定解条件）：00(),vLU MfMMdM第6页/共34页8原理3的证明：00(),vLU MLu MMdM00,vLu MMdM00,vfMMdM主要假定了L与积分号的次序可交换！解的结构定理：非齐次线性偏微分方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。第7页/共34页9例1 求泊松方程 ：的一般解。2221212uxy解:(1)先求出方程的一个特解u1由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：441uxy注：这是观察法！一般情况下很难求出偏微分方程特解。第8页/共34页10(2)、求对应齐次方

4、程通解xiy 对应齐次方程为：20u作变换：则齐次方程化为：0uu再作变换：ab第9页/共34页11方程化为：u f x iyg x iy0abu齐次方程通解为：原方程通解为：44()u f x iyg x iyxy第10页/共34页12背景：齐次化原理 在对波动方程与热传导方程定解问题的求解中，常常考虑将定解问题中方程齐次化，这就需要用到下面与此相关的两个齐次化原理。 齐次化原理有明确的物理背景，其背景就是力学中的冲量原理：力作用引起的冲量等于动量的改变。 齐次化原理又称为冲量原理。 齐次化原理的具体物理分析在此略去。第11页/共34页13齐次化原理1232, (,)0,ttLMRttfMt

5、 23200,(,0)0,0ttuLufM tMRttuut.0, ;tuW M td如果(, ; )W M t满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：为了证明该定理，先介绍：第12页/共34页14含参变量积分求导法则定理(,) ,ffxuu在(,)R axbu上连续，而a(u),b(u)在，上可导，且对任意u属于，有：( ),( )aa ub ab ub则： 的导数：( )( )( )( ( ), ) ( )( ( ), ) ( )b ua udufdxf b u u b uf a u u a uduu( )( )( )( , )b ua uuf x u dx第13页/共34页15.0, ;tt

6、uWdW M ttttdt.0.00ttu22.22.0, ;ttW M tuWdttt.0,tLWdf M tLuf M t证明：首先，00tu第14页/共34页16齐次化原理20)0,( ,03tutRMMtfLutu,3MftRMLtt.0,;tuW t Md如果(, ; )W M t满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：第15页/共34页17对齐次化原理的三点说明：1、齐次化原理只适用于波动方程和热传导方程，对稳态的泊松方程不能使用这两个原理；2、齐次化原理使用时必须注意初始条件为零；3、齐次化原理可以推广到有界域的波动、热传导方程的定解问题上。但定解问题必须满足初始条件为零，边界条件齐

7、次！第16页/共34页18例2、若V (x, t ;)是定解问题20200,0,.txxxxLthua uucuuIRuc.0( , ), ;tu x tV x td是定解问题的解，则：22000 ,0 ,0 .tx xxxLthIRuauuccuuu的解.第17页/共34页192.0.0( , , )tttuVVI RdV x tdtttc证明：首先，00tu其次，因V(x,t,)是齐次定解问题的解，因此，不难证明00,0,xx Luu2220()ttxxxxhVhI Rua uua VV dctcc2IRc第18页/共34页20解的适定性 满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称为解的适定性。

8、 解的稳定性是指若定解条件有微小变化，其解也只有微小变化。 只有解满足稳定性，其解才有意义，因定解条件常为实验数据，有测量误差。第19页/共34页21 1、 定义 函数是指满足下面两个条件的函数 (二)、 函数0000 ,(1 ) .(),xxxxxx 0001 ,(,)( 2 ) .()0 ,(,)baxabxxd xxab 几点说明：第20页/共34页22 (1) 、 几何意义曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为1。 (2)、物理意义x0 x(x-x0) 定义中条件(1)反映物理量集中在x0处，该处称为点源；条件(2)反映物理量有限。第21页/共34页23 例3、两端固定的长为L的弦，密度

9、为，初始时刻在x0处受到冲量I的作用。求初速度和定解问题。解:(1)x0u(x,t)xL0000,0,t txxuxx第22页/共34页24(2) 由动量定理F t= mv得：0LtIu dx所以有：00()ttIuxx定解问题为：20000,0,0,0,0,0,().ttxxxLxtttua uxL tuuIuuxx第23页/共34页25 例4、一根长为L的导热杆，密度为，比热为c，初始时刻在x0处用火焰烧了一下，传杆的热量为Q。求初始温度分布和定解问题。解:(1)x0u(x,t)xL0000,0,txxuxx第24页/共34页26(2)0LQc udx所以有：00()tQuxxc定解问题为

10、：2000(0)0,0()(0)txxxx Ltua uxLuuQuxxxLc第25页/共34页27 2、 性质(1)筛选性质：对任意连续函数(x),有：00() ( )()xxx dxx第26页/共34页28所以，0 xx证明：由于(2)函数是偶函数,即：()( )xx有0()0 xx00() ( )()xxx dxx证明：由于对任意连续函数(x),有() ( )(0)( ) ( )xx dxxx dx所以，()( )xx第27页/共34页29函数的导数定义：设定义的算符(n)称为(x)的n阶导数。合理性解释：作形式分部积分：( )nf xC由( )( )( ) ( )( 1)(0)nnnx f x dxf ( ) ( )( ) ( )( ) ( )(0)x f x dxx f xx f x dxf第28页/共34页30 1、 定义 函数是指满足下面两个条件的函数 高维函数0000 ,(1 ) .(),MMMMMM 30( 2 ) .()1RMMd x d y d z 物理解释：表示点源的广义函数。第29页/共34页31 例6、在M0处放置单位电荷，则电荷体密度 为函数。三维函数与一维函数的关系：( , , )( ) ( ) (