切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

1、切线长定理、弦切角定理、切割 线定理、相交弦定理（同名 11088）切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一 条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条 直线，它不可以度量长度。（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条 切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平III行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外 一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等 腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切 线的夹角与过切点的两个半

2、径的夹角互补；（5） 外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和相切的角。A直线AB切OO于P, PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周 角。5.弄清和有关的角:周角,心角,弦切角,内角,外角。6.遇到的切线，可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。7 与圆有关的比例线段定理图形已知结论 证法相交/ 弦定厂00 中，AB、PA PB =连结 AC、BD, CD为弦，交PC-PD证:于 P.AAPCADPB.于P（DO中，AB为PC2 =用相交弦定 直径，CD丄ABPA PB.

3、 理.线PB交。000中，PT切00于T,割（特殊连结TA、 证TB,APTBAPA于ATAy 割定推P 切线理论PB、PD 为OOPA PB =过 P 作 PT 切 的两条割线，PC -PD OO于T,用 交G>0于A、C两次切割线定理（记忆的方 法方法）00中，割线P'CP'D延长P'O交 PB 交（D0 于=r2 （DO 于 M,延 A, CD 为弦 0P,2 长 0P'交00PA-PB =于2用相交 0P2-r2 弦定理证；过 r为00的P作切线用切 半径 割线定理勾 股定理证8圆幕定理：过一定点P向。0作任一直线，交G>0于两点，则自定点P

4、到两交点的两条线段之积为常 数|op 叫（R为圆半径），因为00 疋叫做点对于O0的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。【典型例题】例1如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半0,过A作半圆切线，切点为F,交CD于E,求DE： AE的值。DECA图1解：由切线长定理知：AF=AB=1, EF=CE 设CE为x,在RtAADE中，由勾股定理(1 + x)2 = (l-x)2+l2, x = - DS = 1- = - AE=1 + - = - 44 ,44 ,:.DEz AS = -, - = 3, 544cm。例2OO中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm, BE2c

5、m,解：由相交弦定理，得AE BE=CE DEVAE=6cm, BE=2cm, CD=7cm,DE=CD-CE =1-CE ,6X2 = CE(7-CE'),CE=3cm 或 CE=4cm。故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则o解：V ZP=ZP ZPAC=ZB,AB AC2 = PB：AAPACAPBA,AB _ PBAB2 _ PB2又TPA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得刘2 =筋.FC艮卩 AB AC2 = FS： FC ,故应填PCo点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形, 推出所需

6、结论。例4如图3, P是00外一点,PC切00于点C, PAB 是(DO的割线，交。0于A、B两点，如果PA： PB= 1： 4, PC=12cm, 00的半径为10cm,则圆心0到解:VPC是。0的切线，PAB是00的割线，且PA： PB=1： 4APB=4PA又 V PC = 12cm由切割线定理，得眈72 122 =刊 APA: PA1 二 36 ,PA =111PB=4X6=24 (cm) AAB=246=18 (cm) 设圆心0到AB距离为d cm, 由勾股定理，得二 jioy 二历(也)故应填历。例5如图4, AB为。0的直径，过B点作O0的切线BC, OC交。0于点E, AE的延

7、长线交BC于点D, (1) 求证：ce.cdpb；(2)若 AB=BC=2厘米，求 CE、 CD的长。c点悟：要证网 证明：(1)连结BE是00的切线=乙4=乙GBE'0/ 二 OE => 乙4 二 ZOSAAOEA = /LDECI,即要证CEDsCBE。ZCED = ZCBEZC公用角HCEDSHCEE => = - => CS2 = C5 * CDCD CE500讯线"应为直径(2)今C® =击_1。> =乙 ABD = 90°A3 = 2OB = OC = 371 = J5EC = 2OS = A又：苗=CD 為 CB =

8、2 9 :W- 1)2 =2OT=>CT = (3-75)厘米o 点拨:有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线, 为利用弦切角定理创造条件。例6如图5, AB为。0的直径，弦CDAB, AE切。0证明：连结BD,AE 切 00 于 A, ZEAD=ZABD VAE±AB,又 AB/CD, AE 丄 CDTAB为（DO的直径 ZADB=90°AZE=ZADB=90° AAADEABADAD _ DEI? = 75 AD2 = AS* DS VCD/7 ABc n AD=BCAAD=BC,例7如图6, PA、PC切00于A、C, PDB为割线。 求证：AD BC=

9、CD AB图6点悟：由结论ADBC=CDAB得眷筑 显然要 证 APADsAPBA 和厶 PCDAPBC证明:VPA切。0于A, ZPAD=ZPBA又 ZAPD=ZBPA,/.APADAPBA 竺=竺'AB AP同理可证ZPCDsAPBCPA、PC 分别切00 于 A、CA PA=PC 竺=竺9 9 AS BC/.AD BC=DC AB例&如图7,在直角三角形ABC中，ZA=90° ,以 AB边为直径作O0,交斜边BC于点D,过D点作。0 的切线交AC于E。图7求证：BC=20Eo点悟：由要证结论易想到应证0E是AABC的中 位线。而OA=OB,只须证AE=CE。证明

10、：连结0D。TAC丄AB, AB为直径AC为的切线，又DE切00于DEA=ED, 0D丄DEV0B=0D, A ZB=Z0DB在 RtAABC 中，ZC=90° -ZBVZ0DE=90° AZC=ZEDCA ED=ECAAE=EC0E是AABC的中位线BC=20EtilHI例9如图8,在正方形ABCD中，AB=1,品是以点B 为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD 上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作几 所在圆的切线，交边DC于点F, G为切点。当ZDEF=45°时，求证点G为线段EF的中点;AD图8解：由 ZDEF=45° ,得 ZDF

11、E=ZDEFDE=DF又 VAD=DCAE=FC因为AB是圆B的半径，AD丄AB,所以AD切圆B 于点A；同理，CD切圆B于点C。又因为EF切圆B于点G,所以AE=EG, FC=FG。 因此EG=FG,即点G为线段EF的中点。【模拟试题】（答题时间:40分钟）一、选择题1.已知：PA、PB 切00于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则 PA=()2025A.石B.TC. 5D82.下列图形一定有内切圆的是（)A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形B. 40°3已知：如图1直线MN与。0相切于C, AB为直 径，ZCAB=40° ,则ZMCA 的度数（）A.

12、50°C. 60°HI一弦被交点分为1： 4,则另一弦长为A. 8 cmC 12cmD 16cm5. 在AABC中，D是BC边上的点，4圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另 （）B. 10cmHI=3cm, DC=4cm,如果E是AD的延长线与ZkABC的 外接圆的交点，那么DE长等于（）A.B.C. 2-xcmD. 3、民淤B. 106. PT切G）0于T, CT为直径，D为0C上一点， 直线PD交。0于B和A, B在线段PD上，若CD=2, AD=3, BD=4,则 PB 等于（）A20C. 5二、填空题7. AB、CD 是00 切线，ABCD, EF 是OO 的

13、切 线，它和AB、CD分别交于E、F,则ZE0F = O&已知：。0和不在。0上的一点P,过P的直线 交00于A、B两点，若PAPB=24, 0P=5,则 的半径长为o9若PA为的切线，A为切点，PBC割线交00 于 B、C,若 BC = 20, 刃=10柘, 则PC的长为10.正ZkABC内接于00, M、N分别为AB、AC中pc _ 点，延长MN交00于点D,连结BD交AC于P,则冠二三、解答题11 如图2, A ABC 中，AC=2cnn 周长为 8cm, F、K、N是ZkABC与内切圆的切点，DE切。0于点M, 且DEAC,求DE的长。12.如图3,已知P为。0的直径AB延长线上一点,PC切00于C, CD丄AB于D,求证：CB平分ZDCP。13如图4,已知AD为。0的直径，AB是00的切 线，过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN =NC,若AB=2,求。0的半径。【试题答案】 一、选择题图41. A 2. C 3. A4. B5. B6. A7. 90& 13010.期E二、填空题三、解答题:9.11.由切线长定理得ABDEESABDEABAC,得 DE=lcm12证明:连结AC,则AC丄CBTCD丄AB, AAACBACDB, A ZA=Z1PC 为00 的切线，A ZA=Z2,又Z1