随机变量及其分布归纳整合人教A选修实用教案

1、离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示(biosh)在这个对应关系下，数字随着试验结果的在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化像这种随着试验结果变化而变化的变量变化而变化像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量通常用字母称为随机变量通常用字母X，Y，等表示等表示(biosh)(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量量称

2、为离散型随机变量(3)离散型随机变量的分布列：离散型随机变量的分布列：要点要点(yodin)归纳归纳一、1第1页/共29页第一页，共28页。一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值取每一个值xi(i1，2，n)的的概率概率P(Xxi)pi，以表格，以表格(biog)的形式表示如下：的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列有时为了简单起见，也用等式P(Xxi)pi，i1，2，n表示(biosh)X的分布列(4)离散型随机变量的分布列的性质：pi0，

3、i1，2，n；第2页/共29页第二页，共28页。(5)常见的分布列：常见的分布列：两点分布：如果随机变量两点分布：如果随机变量X的分布列具有下表的形式的分布列具有下表的形式(xngsh)，则称，则称X服从两点分布，并称服从两点分布，并称pP(X1)为为成功概率成功概率.X01P1ppX01mP第3页/共29页第三页，共28页。其中其中mminM，n，且，且nN，MN，n，M，NN*.如果随机变量如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变的分布列具有上表的形式，则称随机变量量X服从服从(fcng)超几何分布超几何分布二项分布及其应用二项分布及其应用2(2)条件概率的性质：0P(B|A)1；

4、必然(brn)事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；第4页/共29页第四页，共28页。(4)独立独立(dl)重复试验：一般地，在相同条件下重复重复试验：一般地，在相同条件下重复做的做的n次试验称为次试验称为n次独立次独立(dl)重复试验重复试验(5)二项分布：一般地，在二项分布：一般地，在n次独立次独立(dl)重复试验中，重复试验中，设事件设事件A发生的次数为发生的次数为X，在每次试验中事件，在每次试验中事件A发生的发生的概率为概率为p，那么在，那么在n次独立次独立(dl)重复试验中，事件重复试验中，事件A恰恰好发生好发生k次的概率为次的概率为第5页/共29页第五页，共28页。P(Xk

5、)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n.此时此时称随机变量称随机变量X服从二项分布，记作服从二项分布，记作XB(n，p)，并称，并称p为成功概率两点分布是当为成功概率两点分布是当n1时的二项分布，二项时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式分布可以看成是两点分布的一般形式离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值(jn zh)与方差与方差(1)均值均值(jn zh)、方差：一般地，若离散型随机变量、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为的分布列为3Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望(qwng)，它反映了离散型

6、随机变量取值的平均水平第6页/共29页第六页，共28页。(2)均值均值(jn zh)与方差的性质：若与方差的性质：若YaXb，其中，其中a，b是常数，是常数，X是随机变量，则是随机变量，则Y也是随机变量，且也是随机变量，且E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)(3)常见分布的均值常见分布的均值(jn zh)和方差公式：两点分布：和方差公式：两点分布：若随机变量若随机变量X服从参数为服从参数为p的两点分布，则均值的两点分布，则均值(jn zh)E(X)p，方差，方差D(X)p(1p)二项分布：若随机变量二项分布：若随机变量XB(n，p)，则均值，则均值(jn zh)E(X)np，方差

7、，方差D(X)np(1p)第7页/共29页第七页，共28页。第8页/共29页第八页，共28页。曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1.(3)和和对正态曲线的影响对正态曲线的影响(yngxing)：当当一定时，曲线的位置由一定时，曲线的位置由确定，曲线随着确定，曲线随着的变化而的变化而沿沿x轴平移；轴平移；当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定，确定，越小，曲线越越小，曲线越“瘦瘦高高”，表示总体的分布越集中；，表示总体的分布越集中；越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散表示总体的分布越分散第9页/共29页第九页，共28页。(4)正态分布的正态分布的3原则：若

8、随机变量原则：若随机变量XN(，2)，则，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.在实际在实际(shj)应用中，通常认为服从于正态分布应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量的随机变量X只取只取(3，3)之间的值，并简之间的值，并简称之为称之为3原则原则第10页/共29页第十页，共28页。专题专题(zhunt)一条件概率一条件概率第11页/共29页第十一页，共28页。解决概率问题要注意解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合三个步骤，一个结合”(1)求概率的步骤是：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质；第一步，确定事件性质；第二步，判断事件的运

9、算；第二步，判断事件的运算；第三步，运用公式第三步，运用公式(2)概率问题常常与排列、组合概率问题常常与排列、组合(zh)知识相结合知识相结合2第12页/共29页第十二页，共28页。 在在5道题中有道题中有3道理科题和道理科题和2道文科道文科(wnk)题如题如果不放回地依次抽取果不放回地依次抽取2道题，求：道题，求：(1)第第1次抽到理科题的概率；次抽到理科题的概率；(2)第第1次和第次和第2次都抽到理科题的概率；次都抽到理科题的概率；(3)在第在第1次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概次抽到理科题的概率率解设解设“第第1次抽到理科题次抽到理科题”为事件为事件A，

10、“第第2次抽到理次抽到理科题科题”为事件为事件B，则，则“第第1次和第次和第2次都抽到理科题次都抽到理科题”为事为事件件AB.【例1】第13页/共29页第十三页，共28页。第14页/共29页第十四页，共28页。求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答起进行考查，解答(jid)此类问题时应分清事件间的此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解运算表示出有关事件，并运用相应公式求解特别注意以下两公式的使用前提特别注意以下

11、两公式的使用前提(1)若若A，B互斥，则互斥，则P(AB)P(A)P(B)，反之不成，反之不成立立(2)若若A，B相互独立，则相互独立，则P(AB)P(A)P(B)，反之成，反之成立立专题二相互独立事件专题二相互独立事件(shjin)的概率的概率12第15页/共29页第十五页，共28页。【例2】第16页/共29页第十六页，共28页。第17页/共29页第十七页，共28页。第18页/共29页第十八页，共28页。离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较

12、为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向灵活，常与期望、方差融合在一起，横向(hn xin)考查考查对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等斥事件、相互独立事件的概率公式等均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的立在均值这一概念之上的，它表明了

13、随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题因此在当前的高考中是一个热点问题专题三离散型随机变量专题三离散型随机变量(su j bin lin)的分布的分布列、均值与方差列、均值与方差123第19页/共29页第十九页，共28页。(1)求该学生考上大学的概率；求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参次测试就结束，记该生参加测试的次数为加测试的次数为X，求，

14、求X的分布列及的分布列及X的数学的数学(shxu)期望期望【例3】第20页/共29页第二十页，共28页。第21页/共29页第二十一页，共28页。X2345P第22页/共29页第二十二页，共28页。(1)写出写出的概率分布列的概率分布列(不要求计算过程不要求计算过程)，并求出，并求出E()，E()；(2)求求D()，D()请你根据得到的数据，建议该单位派请你根据得到的数据，建议该单位派哪个哪个(n ge)选手参加竞赛？选手参加竞赛？【例4】第23页/共29页第二十三页，共28页。解解(1)的概率分布列的概率分布列为为123P第24页/共29页第二十四页，共28页。第25页/共29页第二十五页，共

15、28页。 正态密度曲线恰好关于参数正态密度曲线恰好关于参数对称，因此充分利对称，因此充分利用该图形的对称性及用该图形的对称性及3个特殊区间内的概率个特殊区间内的概率(gil)值来值来求解其他区间的概率求解其他区间的概率(gil)值，是一种非常简捷的方值，是一种非常简捷的方式，也是近几年高考的一个新动向式，也是近几年高考的一个新动向专题专题(zhunt)四正态分布四正态分布第26页/共29页第二十六页，共28页。 某市去年某市去年(qnin)高考考生成绩服从正态分布高考考生成绩服从正态分布N(500，502)，现有，现有25 000名考生，试确定考生成绩在名考生，试确定考生成绩在550600分的人数分的人数【例5】第27页/共29页第二十七页，共28页。 本章知识在高考中占有十分重要的地位，这是因本章知识在高考中占有十分重要的地位，这是因为：一方面本章知识在实际生活中应用十分广泛；另为：一方面本章知识在实际生