第七章 灰色预测法

1、1第七章 灰色预测法安徽财经大学安徽财经大学2第一节 灰色预测的概念n一、灰色系统的概念n二、灰色预测的基本思路n三、灰色预测的种类3一、灰色系统的概念n灰色系统：部分信息已知部分信息未知的系统。n白色系统：系统的信息完全充分。n黑色系统：外界对系统内部信息一无所知。n灰色系统是绝对的，白色系统和黑色系统是相对的。n华中理工大学邓聚龙教授于1982年首次提出灰色系统的概念，此后建立了灰色系统理论，并将灰色理论用于预测分析取得了令人满意的成果，引起了国内外的重视。4二、灰色预测的基本思路n将已知的的数据按某种规则构成动态的或非动态的白色模块，再按某种变换、解法来求解未来的灰色模型。在灰色模块中，

2、再按某种准则，逐步提高白度，直到未来发展变化的规律基本明确为止。5三、灰色预测的种类n1.灰色时间序列预测：对系统行为特征指标观测值所形成的序列进行的灰色预测。如国民生产总值预测，粮食产量预测，商品销售量发展变化的预测等。n2.灾变预测：对超出某一界限的异常值出现时间的预测。此时建模的数据的序列是按序号给出的时间间隔。如预测旱灾出现的年份，预测涝灾。（是否旱灾或涝灾可以由年平均降雨量确定）6n3.系统综合预测：是对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节变化的方法，属于对系统的综合研究。n4.拓扑预测：即图形的预测，它是从现有波形来预测未来变化

3、的图形，一般在原始数摆动幅度大且频繁的情况下应用。7n灰色理论的微分方程模型称为GM模型(Grey Model)，GM（1，N）表示一阶的N个变量的微分方程模型，而GM(1,1)表示一阶的单个变量的微分方程模型。8第二节 灰关联分析n一、关联度的概念n关联度是事物之间、因素之间关联性大小的度量，若事物之间变化态势基本一致，则关联度较大，反之则关联度较小n灰色关联分析所需数据较少，对数据要求较低，与相关分析、回归分析等要求大样本的方法相比，有其独特的优点。9n二、灰关联分析的步骤n1. 确定比较数列和参考数列n2.求关联系数n3. 求关联度n4. 关联度按大小排序10n三、关联度的计算n1.原始

4、数据的处理n在对单位不同，或初值不同的数作关联度分析时，一般要 作处理，使之无量纲化，规一化。n方法一：初值化n用同一数列的第一个数据去除后面的所有数据，得到初值化的序列，这种变化适用于有稳定增长趋势的序列。) 1 ()()(:)(,),2(),1 (XkXkXnXXXX则初值化处理设有一序列11n方法二：均值化n先分别求各个原始数列的平均数，再用平均数去除所有数据，得到均值化数列。XkXkXkXnXnk)()(:)(1:1则均值化处理12例我国19952001年，GDP和GDP1,GDP2,GDP3之间的关联度分析.1.原始数据：132.对原始数据处理，使其无量纲化：方法一：初值化处理：GD

5、PGDP1GDP2GDP3199511111996 1.160855 1.154357 1.1778341.13821997 1.273342 1.184958 1.304325 1.2831361998 1.339736 1.213408 1.353264 1.4026421999 1.403388 1.206701 1.421191 1.5065132000 1.529499 1.219728 1.574583 1.66481120011.6405 1.218202 1.719436 1.79717714方法二：均值化处理：GDPGDP1GDP2GDP3平均值78087.614044.43

6、8936.425106.8GDPGDP1GDP2GDP31995 0.748878 0.853934 0.732936 0.7148341996 0.869339 0.985745 0.863276 0.8136241997 0.953577 1.011876 0.9559860.917231998 1.0032981.03617 0.991855 1.0026571999 1.050966 1.030443 1.041642 1.0769072000 1.145408 1.041568 1.154068 1.1900642001 1.228534 1.040265 1.260236 1.28

7、468415n2.计算关联系数n设经过数据处理后的参考数列为X0(t)，与参考数列作关联程度比较的数列记为： Xk(t),k=1,2,p。n计算参考数列与比较数列差的绝对值：n0k(t)=| X0(t)- Xk(t)|16例3.以GDP为参考数列，以GDP1，GDP2，GDP3为比较数列，计算差的绝对值（本例以作了均值化后的序列计算）：1231 0.105056 0.015942 0.0340442 0.116406 0.006062 0.0557143 0.058299 0.002409 0.0363484 0.032872 0.011443 0.0006425 0.020523 0.009

8、324 0.02594160.103840.00866 0.0446567 0.188269 0.0317020.05615min 0.020523 0.002409 0.000642max 0.188269 0.0317020.05615(min)=0.000642(max)=0.18826917n记p个差的绝对值序列最小者为min，最大者为max，则第k个比较数列在 t时与参考数列的关联系数为:n其中:为分辨系数， 01， 越小，分辨力越大，一般取 =0.5。n的变化虽然改变关联度的大小，但不改变关联度的大小排序。(max)(max)(min)(00ttkk18例4.3个差的绝对值序列最小

9、者为：0.000642，最大者为：0.188269，取=0.5，计算关联系数如下： 1 2 31 0.475806 0.861002 0.7394112 0.450157 0.945901 0.6324793 0.621756 0.981693 0.7263544 0.746231 0.89769115 0.826601 0.916076 0.7893056 0.478729 0.921993 0.6828727 0.335606 0.753167 0.63064519n3.求关联度ntkktnr100)(1例见Excel操作：20例5:求联度： 1 2 31 0.475806 0.86100

10、2 0.7394112 0.450157 0.945901 0.6324793 0.621756 0.981693 0.7263544 0.746231 0.89769115 0.826601 0.916076 0.7893056 0.478729 0.921993 0.6828727 0.335606 0.753167 0.630645关联度0.562126 0.896789 0.743009结果说明，GDP2与GDP之间关联度最高，或第二产业对国民经济增长的贡献最大。21附，根据初值化处理后的数据计算的关联度： 1 2 311112 0.970189 0.925684 0.9032413

11、0.705259 0.872216 0.9557374 0.6260420.93988 0.7707425 0.518127 0.922355 0.6722136 0.405722 0.824281 0.6098237 0.3336870.7282 0.574434关联度0.651289 0.887516 0.78374122第三节 GM(1,1)模型的建立23一、GM(1,1)模型的建立)1()1(:) 1 , 1 (aXdtdXGM模型的微分方程形式称为发展灰数,称为内生控制灰数。24 )(),3(),2(),1 (. 1)0()0()0()0()0()0(NXXXXXX选择原始时间序列数

12、据) 1 () 1 ()() 1()()(:)(,),2(),1 (. 2)0()1()0()1(1)0()1()1()1()1()1()1(XXkXkXiXkXnXXXXXki其中生成对原始序列作一次累加2526TnXXXXYnnXnXXXXXBYnB)(,),4(),3(),2(1)() 1(211)3()2(211)2() 1 (21. 3)0()0()0()0()1()1()1()1()1()1(和常数向量构造累加矩阵27nTTYBBBa1)(,. 4模型中两个参数用普通最小二乘法求出 teXtX) 1 () 1(:. 5)0()1(列的预测模型可得如下对一次累加序方程并求解将求出的参

13、数代入微分28)() 1() 1(. 6)1()1()0(tXtXtX序列的预测值进行还原得对原始时间例见Excel操作29例:设有数列X(0)如下: 1 2 3 4 5X(0) 2.874 3.278 3.337 3.39 3.679试建立GM(1,1)模型并进行预测.30第一步:作一次累加生成(AGO):558.165879.124489. 93152. 62874. 21:) 1 () 1 ()() 1()()(:)5(),4(),3(),2(),1 ()1()0()1()0()1(1)0()1()1()1()1()1()1()1()1(XXXkXkXiXkXXXXXXXXki计算得其中

14、设一次累加生成序列31TTXXXXYnXXXXXXXXBYnB)679. 339. 3,337. 3,278. 3()5(),4(),3(),2(17185.141184.1118205. 71513. 41)5()4(211)4() 3(211)3()2(211)2() 1 (21.)0()0()0()0()1()1()1()1(1)1()1()1(和常数向量构造累加矩阵第二步32832364. 1165537. 0165537. 0017317. 04236.38236.382435.42317185.141184.1118205. 71513. 411117185.14184.11820

15、5. 7513. 4)()(:1111BBBBTT计算第三步33065363. 303720. 0679. 339. 3337. 3278. 311117185.14184.118205. 7513. 4832364. 1165537. 0165537. 0017317. 0)(:1NTTyBBBaa求参数列第四步3439254.822665.85) 1(39254.8203720. 0065363. 3874. 2) 1 () 1 () 1(065363. 303720. 0:0372. 0)1()0()0()1()1()1(kakekXaXaeaXkXXdtdX确定模型第五步35二、GM(

16、1,1)模型的检验%100)()()()()()()()0(tXtetqtXtXte相对误差绝对误差残差检验一36)()()(:. 1)()0()0(tXtXt计算离差的绝对值关联度检验二)(:)(:)(. 2tMaxtMint最大差最小差大差序列中找出最小差与最在375 . 0), 2 , 1()()()()()()(. 3一般取系数计算序列各时期的关联nttMaxttMaxtMintt.6 . 0,5 . 0)(1) 1 , 1 (. 41比较高就可认为模型预测精度若时取模型的关联度计算rtnrrGMnt38ntXXnXtXSSntnt1)0()0(12)0()0(11)(1)(:. 1)

17、(计算原始序列的均方差后验差检验三39ntntSStntnt11222)(1)()(. 2的均方差计算残差绝对值序列40值越小越好计算均方差比cSScc12. 3越大越好计算小误差概率PStPP)6745. 0)(. 4141判断模型精度等级. 5CP预测精度等级0.95好0.80合格0.70勉强合格0.650.70不合格当模型精度达到合格以上时才可以用于预测.426137. 3)5(4817. 3)4(3545. 3)2() 3() 3(232. 3) 1 ()2()2(784. 2) 1 () 1 (55597.16)5(, 494229.12)4(, 346059. 9) 3(, 210

18、603. 6)2(, 1784. 2) 1 (, 0:)0()0()1()1()0()1()1()0()1()0()1()1()1()1()1(XXXXXXXXXXXkXkXkXkXk还原数据残差检验精度检验之一第六步%7755. 1)5(%705. 2)4(%5259. 0)3(%402. 1)2(0) 1 (0653. 0)5(0917. 0)4(0175. 0)3(042. 0)2(0) 1 (:qqqqqeeeee相对误差计算绝对误差43第七步：精度检验之二关联度检验44第八步：精度检验之三后验差检验45三、残差修正的GM(1,1)模型n1.根据原来建立的GM(1,1)模型，求出原始数

19、据的残差序列e(0)n2.对残差序列e(0)进行一次累加生成e(1)n3.建立残差的GM (1,1)模型n4.将残差的GM(1,1)模型添加到原来建立的GM(1,1)模型上，得到残差修正的GM(1,1)模型。n5.作逆累加生成处理，进行预测。46) 1()() 1() 1(X:,5.GM(1,1)GM(1,1). 4) 1 () 1() 1 , 1 (. 3)(,),2(),1 (:,. 2)(,),2(),1 (,) 1 , 1 (. 1)0()1()1(0)0()1()1()1()1()1()0()0()0()0()0(kekXkXkeekeGMneeeeneeeeeGMk并进行预测作逆累

20、加生成模型上模型添加到原来建立的将残差的模型建立残差的得到新序列加生成对残差序列进行一次累原始数据的残差序列有求出模型根据原序列建立的47四、灰色预测法的特点n1.需要的原始数据较少n2.计算简单n3.不需要事先对序列变动的趋势类型作出判断。n4.预测误差较小n5.适用于呈单调趋势变化的时间序列48附:灾变预测步骤及例预测检验模型建立累加生成对灾变值序列进行一次变发生时间序列由灾变值序列转化为灾序号时间为灾变值在原序列中的中的其中灾变值序列原序列值从原始序列中找出灾变. 5. 4) 1 , 1 (,. 3),2 ,1 (. 2)()()(,),2(),1 (:)(,),2(),1 (:. 1)0()0()0()0()0()0()0()0()0()0(GMnWiiXnXXXXNXXXX49例：某地区17年来的降雨量数据