经济数学基础(上)-函数与极限的笔记整理

1、经济数学基础（上）笔记整理目录一、函数21.函数的两个要素22.求定义域的方法23.分段函数34.常用的三角函数值35.函数的有界性36.函数的奇偶性37.判断函数的单调性48.基本初等函数：49.复合函数410.初等函数411常用经济函数5二、极限61.极限的几种常用记号72.定义1.1073.左极限与右极限74.定理1.175.分段函数讨论分段点处的极限76.极限的运算8（1）limxf（x）=f（）8（2）00型，未定式8（3）型，未定式。97.两个重要极限12（1）limx0sinxx=112（2）limx1+1xx=elimx01+x1x（P31）148.无穷小与无穷大159.函数的

2、连续性15【总结：极限运算的题型】181. limxf（x）=f（）182.00型，未定式。183.型，未定式。194.1型，未定式。195. 无穷小×有界函数=无穷小（0）196. 分段函数中，求分段点处的极限。197.函数的连续19附件：数学作业19第一次19第二次20第三次(3月21日)20第四次(3月29日)20一、函数1. 函数的两个要素：定义域和对应法则2.求定义域的方法：【会做书上P5的例2的（1）（2）（3）】分母0偶次根号内0对数中的真数0【练习】书P45，4（1）（2）（6）这三道题根据上边的知识点就能做出来了。求定义域取并集。（6）y=lg（3-x）x-1 解：

3、由题得，3-x>0x-1>0x<3x<-1或x>1此函数的定义域为（-，-1）（1,3）3.分段函数：分段函数是一个函数；分段函数的定义域取并集4.常用的三角函数值角度0（2）2sin010cos10-1tan0不存在05.函数的有界性（了解，书P8图）（1）从图像上看，函数的有界性是指：图像被两条平行于x轴的直线y=M，y=-M夹住了。（2）常见的有界函数：y=c常数函数；y=sinx；y=cosx，以及由这些有界函数经过复杂的运算后所得到的。6.函数的奇偶性（书P8）（1）常见的奇函数：y=x奇；y=sinx（2）常见的偶函数：y=x偶 ；y=cosx；y=c

4、注意：奇函数可以认为是的，偶函数可以认为是+的。判断奇偶性时直接带符号。但函数的奇偶性与它前边的正负号无关。7.判断函数的单调性（P9）（1）求导导数0，为增函数导数0，为减函数（2）图像从左到右图像上升为增函数图像下降为减函数8.基本初等函数：（书P11）（1）“基本”指的是函数的原型：自变量的位置是一个字母（2）其他函数还没讲9.复合函数（P16）（1）复合函数是由若干个基本的或简单的函数通过代入得到的（2）分解复合函数：由外向里，层层分解到基本的或简单的函数.书上的分解复合函数题得答案都是倒着的，你把顺序改过来就对了。【书P7的（1）（6），补充：y=esin2x+4，解：y=eu，u=

5、v2，v=sint，t=x+4】（3）y=sin3x=（sinx）310.初等函数（P17）初等函数只能用一个式子来表示，所以除了分段函数外，其他函数都是初等函数。11常用经济函数（P3941）书上有概念和公式，看懂就行了。主要记住线性的函数，均衡价格。【会做书上P40的例1、例2】【书P47 ，22】 解：R=130Q,0<Q700700×130+Q-700×130×90%,700<Q1000所以，R=130Q,0<Q70091000+117Q-700,700<Q1000【书P48，23】解：C(q)=2000+15qR(q)=20q保本

6、C（q）=R（q）2000+15q=20qq=400【书p48,26】解：设线性成本函数为c=a+bq由题得，【例题】游戏机每台卖110元，固定成本7500元，可变成本为每台60元。（1） 要卖多少台，厂家才可保本（收回投资）？（2）若卖100台，厂家盈利或亏损多少？（3）要获得1250元的利润，要卖多少台？解：（1）C（x）=C（固）+C（变）=7500+60xR（x）=110x保本C（x）= R（x）X=150（2） C（100）=7500+6000=13500R(100)=110×100=11000亏损= C（100）-R(100)=2500（3） L（x）=R（x）-C（x）

7、=1250110x-7500-60x=1250X=175二、极限（P21，重点讲P21的第2个极限：xx0时函数的极限）1.极限的几种常用记号xx0，x从x0两侧方向无限接近x0，xx0 xx0+，x从x0右侧方向无限接近x0，xx0 xx0-，x从x0左侧方向无限接近x0，xx0x，x无限增大x+，x的值无限增大x-，x的值无限减小2.定义1.10（P21）极限A是常数，y越来越接近A；yA与x在x0处是否有定义无关3.左极限与右极限（P21）知道左极限是limxx0-fx=A，右极限是limxx0+fx=A，就行了。不需要看懂定义。4.定理1.1（P22）5.分段函数讨论分段点处的极限，遇

8、分段点处左、右表达式不同时，必须考虑左右极限。（会做P22例5）【练习题】已知fx=3x2-a，x<12x+4，x1在x=1处有极限，求a解：Limx1-3x2-a=3-a（左极限，见1的） limx1+2x+4=6（右极限，见1的） x=1处有极限3-a=6a=-3【根据知识点4、5所知，函数有极限，说明左极限=右极限】6.极限的运算（P25）【会做下边的例题】（1）limxf（x）=f（），将后的“”代入f（x）中。（做任何题得方法都是先代入，看看该怎样做。分子分母没有得0或的，或只有一项得0或的，直接代入做，看第1步。若分子分母都为0的，看第2步。若分子分母中都为的，看第3步。）若

9、0k，则lim f（x）=0；若k0，则lim f（x）=若k，则=； 若k，则=0（2）00型，未定式。分解因式，约分有根号，有理化limx0sinxx=1lim0sin=1【见下边7的（1）】洛必达法则（还没讲）（3）型，未定式。limxaxnbxm=0，上小下大最高次幂，上大下小ab（最高次幂前的系数比），上=下 洛必达法则（还没讲）【例题：求极限】 limx3x2-9x-3（00型，未定式）【分解因式，再代入】=limx3x+3x-3x-3=limx3（x+3）=6 limx1x2-4x+3x2+x-2（00型，未定式）【分解因式，再代入】=limx1x-1（x-3）x-1（x+2）=

10、limx1x-3x+2=-23 limx0x+1-1x（00型，未定式）【有根号，分子有理化】=limx0（x+1-1）（x+1+1）x·（x+1+1）=limx0xx·（x+1+1）=limx01（x+1+1）=12 limx2x-2x+7-3（00型，未定式）【有根号，分母有理化】=limx2x-2（x+7+3）（x+7-3）（x+7+3）=limx2x-2（x+7+3）x-2=limx2x+7+3=6 limx2x2+x+13x2-2=23（型，未定式）【分子与分母的最高次方都是2，上=下，得前边的系数比】 limx2x2+x+13x3-2x=0（型，未定式）【分子的

11、最高次方是2，分母的最高次方是3，上小下大，得0】 limx2x3+13x2-2=（型，未定式）【分子的最高次方是3，分母的最高次方是2，上大下小，得】【课上的练习】 limx-22x2-x+1=11（直接把-2代入） limx3x-3x+1=0（把3代入，得0k=0） limx-1x-3x+1=（把-1代入，得k0=） limxx2+12=（把代入，得k=） limx1x+3=0（把代入，得k=0） limx4x2-5x+4x2-2x-8（00型，未定式）【分解因式，再代入】=limx4x-1x-4x+2x-4 =limx4x-1x+2 =limx436 =limx412 limx1x2-1

12、x-1 （00型，未定式）【分解因式，再代入】=limx1x+1x-1x-1 =limx1（x+1） =2 limx2x+13x-2=23（型，未定式）【分子与分母的最高次方都是1，上=下，得前边的系数比】limx3x2-5x4x3-2=0（型，未定式）【分子的最高次方是2，分母的最高次方是3，上小下大，得0】limxx3-56x2+2x=（型，未定式）【分子的最高次方是3，分母的最高次方是2，上大下小，得】【书上P46，12（1）（8）、（11）】（1） 直接代入。（2）先代入，得0k=0（3）直接代入。（4）先代入，得k0=（5）先代入，得00型，因式分解。limx1x2-12x2-x-1

13、 =limx1x+1x-1x-12x+1=limx1x+12x+1=23（6）先代入，得00型，因式分解。limx04x3-2x2+x3x2+2x = limx0x·（4x2-2x+1）x·（3x+2）=limx04x2-2x+13x+2=12（7）先代入，得型，未定式。【分子与分母的最高次方都是1，上=下，得前边的系数比】（8）先代入，得型，未定式。【分子的最高次方是1，分母的最高次方是3，上小下大，得0】（11）先代入，得00型，因式分解。limx3x2-5x+6x2-8x+15 =limx3x-2（x-3）x-3（x-5）=limx3x-2x-5 =- 127.两个重

14、要极限（P29）【会做下边的例题】（1）limx0sinxx=100型，含三角函数lim0sin=1【见上边6的（2）的】做题时要把它化成这种形式来做。【例题：求极限】limx-10sin（x-1）x-1=1limx1sin（x-1）x-1=1 limx1sinx2-1x-1=limx1sinx2-1（x+1）x2-1=x+1=2limx1sinx-1x2-1=limx1sin（x-1）x-1x+1=1x+1=12limx0sinkxx=k，如limx0sin5xx=sin5x·5x·5=5limx0sin3xsin4x=sin3x3x·3xsin4x4x

15、3;4x=34limx0tanxx=limx0sinxcosx·1x=limx0sinxx·1cosx=limx01cosx=1【书上P46，13（1）（6）】（1）同上的（6）limx0x-sinxx+cosx =limx0x-sinxx·xx+sinxx·x=limx0x-sinxxx+sinxx=limx01-sinxx1+sinxx=limx01-11+1=0（2）limx1+1xx=elimx01+x1x（P31）【会做下边的例题】1型，未定式。括号内为“1+”（见下边例题的第2、3道）括号内“+”后边的式子与外边的指数互为倒数。求极限时，指数

16、中出现的“+、-的所有常数” 都去掉，对题目无影响。（见下边例题的第4道）【例题：求极限】 limx（1+2x）x（1型）=limx（1+2x）x2·2=e2 limx（1-23x）4x（1型）=limx1+（2-3x）-3x2·（-83）=e-83【注意括号内必须为（1+），此题为“1-”。最好把负号放在x的前边】 limx01-2x13x（1型）=limx01+-2x1-2x·-23=e-23 limx（1+35x）2x+1（1型）=limx（1+35x）2x=limx（1+35x）5x3·65=e65【本题中指数后边的加减常数，对题目无影响，所以在

17、第1步中先直接去掉。】8.无穷小与无穷大l 知道极限为0的函数就是无穷小，就行了。l 无穷大的倒数是无穷小。l 恒不为0的无穷小的倒数为无穷大。l 记住p24的性质1.2【0（无穷小）×有界函数（见函数的5.）=0】9.函数的连续性（书P33）函数f（x）在点x0处连续，必须同时满足以下3个条件： f（x）在点x0处有定义 limx0f（x）存在（左极限=右极限） limx0f（x）=f（x）函数在点x0处连续，则其图像在点x0处不断开。若3条中有一条不满足，称x0为间断点。【例题】设fx=x，x16x-5，x>1，讨论f（x）在x=1处的连续性。解： f（1）=1 limx1

18、-x=1 limx1+（6x-5）=1 limx1f（x）=1 limx1fx=1=f（1） 即函数在x=1处连续【满足3个条件就可以了】【练习】已知fx=sin3xx，x0b，x=0（1+x）1x+a，x0 在x=0处有极限，求a、b 在x=0处连续，求a、b【分析：有极限，只要“左极限=右极限”就可以了，不用管中间。连续，则需要满足3个条件，“左极限=右极限=中间”】解： limx0-（1+x）1x+a=e+a limx0+sin3xx=3 f（x）在x=0处有极限e+a=3，a=3-ebR f（0）=blimx0f（x）=3 f（x）在x=0处连续b=3，此时a=3-e【作业中的题】已知

19、fx=x·sin3x+a，x<0b+1，x=0ex-2，x>0 在x=0处有极限，求a、b 在x=0处连续，求a、b解：limx0-（x·sin3x+a）=a 【x·sin3x=0，用到了“无穷小×有界函数=无穷小0”的知识点。】limx0+ex-2=-1 f（x）在x=0处有极限a=-1，bRf（0）=b+1limx0fx=-1 f（x）在x=0处连续b+1=-1，此时a=-1【总结：极限运算的题型】1. limxf（x）=f（），将后的“”代入f（x）中。（做任何题得方法都是先代入，看看该怎样做。分子分母没有得0或的，或只有一项得0或的，直接代入做，看第1步。若分子分母都为0的，看第2步。若分子分母中都为的，看第3步。）若0k，则lim f（x）=0；若k0，则lim f（x）