线性代数辅导第三章

1、第三章 向量组的线性相关性和秩一 基本要求1理解维向量的概念及运算，向量的线性组合与线性表示2理解向量组的线性相关与线性无关的定义及相关结论，并会判别向量组的线性相关性3了解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念， 会求向量组的最大无关组和秩4了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系5了解向量空间以及相关概念，了解基变换和坐标变换公式， 会求过渡矩阵二 主要内容1. 向量(1) 定义：个有顺序的数所组成的数组叫做维向量，数叫做向量的分量(或坐标)，称为向量的维数(2) 向量的运算加法运算：设有向量，则 加法运算满足运算规律：交换律：结合律：数量与向量的乘积：数乘运算满足运算规律：交换律

2、：结合律：分配律：，其中为数2. 向量的线性相关性(1) 对于向量，如果有一组数，使则说向量是的线性组合，或说可由线性表示(2) 设有维向量组，如果存在一组不全为0的数，使则称向量组线性相关，否则称为线性无关(3) 向量组线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示(4) 设线性无关，而线性相关，则能由线性表示，且表示式是唯一的(5) 若线性相关，则也线性相关(局部相关则整体相关)(6) 设有两个向量组，其中是这个自然数的某个确定的排列，则向量组与向量组的线性相关性相同(7) 设有两个向量组 ，即是由添加一个分量而得 若向量组线性无关，则向量组也线性无关 (低维无关则高

3、维也无关) (8) 向量组线性相关的充分必要条件是他们所构成的矩阵的秩小于向量的个数，即，该向量组线性无关的充分必要条件是(9) 个维向量线性无关的充分必要条件是他们所构成的方阵的行列式不等于0(10) 当时，个维向量一定线性相关3. 向量组的秩和最大无关组(1) 设有两个维向量组 如果向量组中的每个向量都能由向量组中的向量线性表示，则称向量组能由向量组线性表示 如果向量组能由向量组线性表示，且向量组也能由向量组线性表示，则称向量组和向量组等价行向量组记，组能由组线性表示，则存在矩阵，使，对于列向量组 记，组能由组线性表示，也就是存在矩阵，使 (2) 设有向量组，如果 在中有个向量线性无关；

4、中任意个向量(如果中有的话)都线性相关，则称是向量组的一个最大无关向量组，简称最大无关组；数称为向量组的秩并规定只含零向量的向量组的秩为零(3) 设向量组；向量组如果组能由组线性表示且组线性无关，则(4) 设向量组的秩为，向量组的秩为，如果组能由组线性表示，则(5) 设在向量组中有个向量满足 线性无关； 任取总能由线性表示，则是向量组的一个最大无关组，数是向量组的秩(6) 矩阵的秩等于它的列秩，也等于它的行秩(7) 设，则(8) 矩阵经过初等行变换化为矩阵，则、的行向量组之间等价，的列向量组与相对应的列向量组有相同的线性组合关系4. 向量空间(1) 设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加

5、法及数乘两种运算(线性运算)封闭，则称集合为向量空间 所谓封闭，是指在集合中可以进行加法及数乘两种运算，即若，则；若，则设有向量空间，若，则称是的子空间(2) 设为向量空间，如果个向量且满足 线性无关； 中任一向量都可由线性表示，则称向量组为向量空间的一个基，称为向量空间的维数，并称是维向量空间(3) 设向量组是向量空间的一个基，则中任一向量可以表示为，称有序数组为向量关于基的坐标(4) 设与是向量空间的两个基，则 即 或并把此公式称为基变换公式，矩阵称为由基到基的过渡矩阵设中的元素在基下的坐标为，在基下的坐标为，则有5. 线性相关性判定方法(1) 定义法 设存在一组数，使得方程 (*) 求解

6、方程，如果有非零解则线性相关，如果只有零解则线性无关 (2) 定理法-应用定理与重要结论判断 常用结论有： 单独一个非零向量是线性无关的，而零向量是线性相关的 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例 向量组中的向量个数大于维数，一定线性相关，多于n个的n维向量必线性相关 个维向量线性无关的充分必要条件是他们所构成的方阵的行列式不等于0 判断相关性的常用结论：向量组部分相关则整个向量组相关(部分相关则整体相关)低维(短)向量组无关，则低维(短)向量组添加分量得到的高维(加长)向量组也无关(低维无关则高维无关) (3) 向量组的秩向量组线性相关的充分必要条件是他们所构成的矩阵的秩小于向量的个数

7、，即，该向量组线性无关的充分必要条件是6. 最大无关组的求解方法(1) 逐个选录法 该方法是依据最大无关组的定义，对向量组自左向右逐个选择，去掉多余向量这种方法主要是说明如何理解最大无关组的概念，比较麻烦，只适用于向量组向量个数较少的情况，如2或3个(2) 最高阶非零子式法 将向量作为行向量(或作为列向量)构成矩阵，利用子式方法确定矩阵的最高阶非零子式，最高阶的非零子式所包含的行(列向量)向量构成的向量组就是原向量组的一个最大无关组(3) 初等变换法 设矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵，则的任意个列向量与的相 对应个列向量线性相关性相同， 因此首先把向量作为列向量构成矩阵，对进行初等行变换化为

8、行阶梯型阵， 根据的列向量的线性相关性可确定的最大无关组7. 求过渡矩阵常用方法(中间法)在向量空间中，求由基到基的过渡矩阵时，取的基 (当均为行向量时，也取为行向量)直接写出由基分别到和的过渡矩阵，即，则有或，从而可求得由基到的过渡矩阵，或由到的的过渡矩阵 三 例题精解例1 讨论向量组的线性相关性解 (1) 定义法设(设相关性方程)，按分量展开得到方程组 求解得到，可见是该方程组的一组非零解，故线性相关 (2) 秩方法将向量构成矩阵用初等变换求矩阵的秩故，因此线性相关例2 讨论向量组的线性相关性分析 3个3维向量构成方阵，线性相关的充分必要条件为解 作，计算，因此时，向量组线性无关，而当时，

9、向量组线性相关例3 设是互不相同的数，试讨论向量组，的线性相关性解 当，个维向量必线性相关 当时，令，即 因为，考虑前个方程，有 系数行列式 由于只有零解，即，故线性无关例 4 若向量组满足：都不能由线性表示，证明线性无关证明 采用反证法，设线性相关，则存在不全为零的数，使 设中第一个不为零的数为，则上式可写成，其中 由假设因此，于是，矛盾，故线性无关例5 设向量组线性相关，向量组线性无关，问：(1)能否由线性表示？说明理由; (2)能否由线性表示？说明理由解 (1)能由线性表示 因为线性相关，故存在数组不全为零，使得 如果，则不全为零，且有，即线性相关，从而线性相关，这与题设矛盾故，于是有

10、(2)不能由线性表示 用反证法：若可由线性表示，即存在数组使得 将的表示式代入得到 即可由线性表示，从而线性相关，这与题设矛盾，故不能由线性表示例6设向量可由向量组线性表示， 证明:表示法唯一的充要条件是线性无关证 必要性 设数组使，又由题设有，于是 由于由的表示式唯一，所以，也就是，故线性无关充分性：设有两种表示式 则有，由于线性无关，所以，即，故的表示式唯一例7 已知向量组，令证明 (1)当为偶数时，线性相关;(2) 当为奇数时，若线性无关，则也线性无关证明 设数组使得，则有 (*)诸系数为0显然是(*)的一组解，则 (*)其行列式为 当为偶数时，方程组有非零解，故线性相关(2) 当为奇数

11、时，由于线性无关，所以式(*)成立的充要条件为(*)式成立，此时方程组(*)的系数行列式，所以他们只有零解，即，故线性无关例8 (02303) 设三阶矩阵， 三维列向量， 已知与线性相关， 则=()解 ，由与线性相关，知对应分量成比例，因此得到，故例9 已知线性无关，可由线性表示，且表示的系数全不为零，证明中任意s个向量线性无关分析 只需证明在中去掉任一个后的s个向量线性无关，如果去掉后的向量组线性相关，则可由其它向量线性表示，这与表示系数全不为零矛盾，故用反证法较为简单证明 设线性相关，故存在不全为零的一组数使 假设， 则不全为零，这与线性无关矛盾，于是，于是有 这表明可由线性表示，从而与可

12、由线性表示且表示的系数全不为零的条件矛盾，故线性无关例10 (2k207-13) 已知向量组，与向量组具有相同的秩，且可由线性表示，求的值解 线性无关，所以向量组线性相关，且秩为2，是它的一个极大无关组 由于向量组与具有相同的秩，故线性相关，从而 解得 又可由线性表示，从而可由线性表示，所以线性相关，于是 解之得于是得例11 (02203) 设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数，必有( ) (A)线性无关； (B) 线性相关； (C) 线性无关；(D) 线性相关解 选(A) 显然(B)，(D)是错误的， 因为若成立，则可推出可由线性表示，与条件矛盾(C)也是

13、错误的，因为对于的情况显然是错误的对于A，设，向量可由线性表示，即存在不全为零的数，使得，即得到 由条件知，这样，对于任意常数，均应有，故(A)是正确的例12 求向量组的最大无关组及秩解 (1) 逐个选录法 因为两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例， 显然线性无关，添加，由于，所以线性相关，去掉再添加，易知线性无关故是该向量组的最大无关组，从而向量组的秩为 从上面的计算可知，逐个选录法求最大无关组，计算量较大，一般很少用 (2) 子式法 以为行向量作矩阵 显然二阶子式，包含它的三阶子式有4个，计算知 而包含它的四阶子式就是行列式 因此矩阵的秩是3，其最高阶的非零子式所包含的第1，2，4行

14、，即为向量组的最大无关组 (3) 初等变换法 以向量作为列向量构成矩阵 对进行初等行变换进行化简易知的第1，2，4列线性无关，为的最大无关组 因此的第1，2，4列，即为向量组的最大无关组注 也可以把向量作为行向量，对矩阵作初等列变换来确定最大无关组例13设向量组：的秩为， 向量组：的秩为，向量组：的秩为，证明 并利用该结果证明：证明 显然向量组可由向量组线性表示，因此同理可知，下证 设向量组的最大无关组为，向量组的最大无关组为，则向量组：可由向量组线性表示，故 因此设，则，显然向量组 可由向量组线性表示，由定理7可知即例14 设与都是矩阵，证明：矩阵与等价的充分必要条件是证明 必要性与等价的充

15、分必要条件是存在阶可逆方阵和阶可逆方阵使由矩阵乘积秩的关系有由知，因此(或者由初等变换不改变矩阵的秩得出，由本题的证明可知用可逆矩阵左乘或者右乘均不改变矩阵的秩)充分性， 和的标准形由秩唯一确定，即它们的标准形均为， 即和均和标准形等价， 因此由等价的传递性， 知与等价例15 设是实矩阵，证明维向量的集合构成向量空间证 由知非空对于任意有，则有，所以对于任意，有，所以，故是向量空间注 称为矩阵的零空间或核，它由齐次线性方程组的全体解向量构成例16 在中，求在基，下的坐标分析 求向量在某组基下的坐标，通常采用待定系数法，或者利用坐标变换公式解法1 设，由向量相等的定义得 解此线性方程组，得唯一解

16、，故在给定基下的坐标为 解法2 向量的4个分量可以理解为在的基，下的坐标 容易求出由基到基的过渡矩阵 设在基下的坐标为，则由坐标变换公式求得 例17 设的两组基为(I)，(II)求由基(I)到基(II)的过渡矩阵解 取的标准正交系基，并写出由它到基(I)的过渡矩阵，及到基(II)的过渡矩阵， 因此，故由基(I)到基(II)的过渡矩阵为 例18 设的两组基为(I)：; (II) ，(1) 求由基(II)到基(I)的过渡矩阵;(2) 求在基(I)和基(II)下有相同坐标的全体向量解 由定义直接写出由基(I)到基(II)的过渡矩阵，则由基(II)到(I)的过渡矩阵为(2)设向量在基(I)与基(II)

17、下的坐标分别为与，则由坐标变换公式及题设可得 或者 该齐次线性方程组的解为，故在基(I)与基(II)下有相同坐标的全体向量为四 自测题1填空题(1) 已知向量组，则该向量组的线性相关性是 (2) (87103)已知三维向量空间的一个基为，则向量在该基下的坐标是 (3) 若能由唯一线性表示，则= (4) (97203)已知向量组的秩为2，则 = 2选择题(1) 设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )A ； B ；C ； D (2) 设任一两个维向量组和，若存在两组不全为零的数和，使则( )A 和都线性相关；B 和都线性无关；C 线性无关；D 线性相关(3) (99103) 设为矩阵，

18、是矩阵，则( )A 当时，必有行列式；B 当时，必有行列式；C 当时，必有行列式；D 当时，必有行列式(4) (95403)设矩阵的秩为，为m阶单位阵，下列结论正确的是( )A 的任意m个列向量必线性相关； B 的任意一个m阶子式不等于零；C 若矩阵满足，则； D 通过初等行变换必可变为的形式3设向量组中前个向量线性相关，后个向量线性无关，证明：(1) 能由线性表示; (2) 不能由线性表示4确定向量， 使向量组与向量组的秩相同， 且可由线性表示5求下面向量组的一个最大线性无关组 ， 并将其余向量用该最大线性无关组线性表示6在中已知从基到基的过渡阵为 又，求7已知中的一组基为又从到的过渡阵为 已知在下的坐