2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标I卷,解析版1)

1、2020年高考理科数学试题解析（课标）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页。2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。第卷一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的一项。1、已知集合 A=x| x2 2x&

2、gt; 0， B=x| 5< x< 5，则 （ ）A、AB= B 、 AB=R C 、B? AD、A? B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题 .【解析】 A=（- ,0） （2,+ ）, A B=R,故选 B.2、若复数 z 满足 （3 4i）z |43i | ，则 z 的虚部为 （ ） 44A、 4（B） 5（C）4（D） 5【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题 .22【解析】由题知 z=|4 3i|= 4 3 （3 4i） =3 4i，故 z 的虚部为 4 ，故选 D.3 4i （3 4i）（3 4i） 5 5

3、 53、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事 先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力 情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （ ） A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题 .【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样 方法是按学段分层抽样，故选 C.解析】由题知，5，即 5=c224a2 b2b2 =1 ，a2 4C 的渐近线方4、已知双曲线 C ：2 x2 aby22 1( ab20,b

4、0 ）的离心率为111A. y x B.yx C .yxD . y432命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题5 ，则 C 的渐近线方程为2x1程为 y 21 x ，故选 C.C .-4,324t t2 3,4 ，输出 s 属于 -3,4 ，故选 A.【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易 题.【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为 R-2，则 R2 (R222)2 42 ，解得 R=5，球的体积为4 533500 33 cm ，故选 A.7、设等差数列an 的前n 项和为 Sn， Sm 1 2， Sm 0，Sm 1

5、3，则 m ( )D .-2,5A.-3,4B .-5,2【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题解析】有题意知，当 t 1,1)时， s 3t 3,3) ，当 t 1,3 时， sA、3 命题意图】am 1Sm 1 - Sm =3 ，公差 d = am1am =1， 3= am 1 = 2 m ， m =5，故选 C. 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 16 8B. 8 8C. 16 16D. 8 16【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体 积公式，是中档题 .【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4，上边

6、放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体，故其体积为n 项和公式及通项公式， 考查方程思想， 是容易题 .本题主要考查等差数列的前解析】有题意知 Sm=m(a1 am ) =0， a1=am=( Sm- Sm 1)=2，1 22 4 4 2 2 = 16 8 ，故选 A.29、设 m为正整数， (x y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x y)2m 1展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13 a =7b ，则 m ( )A、5B 、 6C、7D、8命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题m1m 1 ，解析】由题知 a=C2mm，b=C2mm11，13

7、C2mm=7C2mm11，即13 (2m)! =7 (2m 1)!， m!m! (m 1)!m!解得 m =6，故选 B.22xy10、已知椭圆 2 2 1( a>b>0)的右焦点为F(3,0) ，过点F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若AB的中点坐标为 (1， 1)，则 E的方程为2 2 2 2 x yx yA、 1B、 145 3636 27命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题( )22 xy C、 27 18D、22xy 118 9解析】设 A(x1, y1),B(x2, y2)，则 x1 x2 =2， y1 y2 = 2，22ax122 by122 1 2x22

8、a2by222 1得 (x1 x2)(x1 x2 )(y1y2)( y1 y2)b20， kAB =x1 x222y1 y2 b (x1 x2) =b ，又 02 = 2 ，又 kAB =a2(y1 y2) a1=1312b22 a12 ，又 9=c2=a2b2，得 b2 =9， a2=18，22椭圆方程为 x y 1 ，故选 D.18 9x211、已知函数 f (x) =ln(x2x,x 0，若| f(x)| ax，则 a的取值范围是1),x 0A. ( ,0B. ( ,1C .-2,1D .-2,0命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。解析】 | f (x)

9、|=2x 2x,x 0 ， 由 | f (x) | ax 得 ， ln(x 1),x 0x0x2 2xaxx0ln(x1)axx由2x2x可得axx 2，则 a -2 ，排除，当 a=1 时，易证 ln(x1)x对 x 0恒成立，故 a =1不适合，排除 C，故选D.12、设 AnBnCn的三边长分别为 an, bn, cn， AnBnCn的面积为 Sn， n=1,2,3,cnanbn an若 b1>c1，b1c12a1，an1 an， bn1， cn1 2 ，则 (B、 Sn为递增数列S2n 为递减数列S2n 为递增数列A、 Sn为递减数列C、 S2n1 为递增数列，D、 S2n1 为

10、递减数列， 命题意图】 解析】 B第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题- 第(21)题为必考题，每个考生都必须作答。第( 22)题 - 第( 24)题为选考题，考生根据要求作答。 二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13、已知两个单位向量 a，b的夹角为60°， ct a (1 t) b，若b·c=0，则t =.【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题 .2 1 1【解析】 bgc=b?ta (1 t)b=ta?b (1 t)b2= t 1 t=1 t =0，解得 t=2.222114、若数列 an的前 n项和为 Sn an，则数列 an 的通项公式

11、是 an =.33 【命题意图】 本题主要考查等比数列定义、 通项公式及数列第 n 项与其前 n 项和的关系， 容易题 .21【解析】当 n=1 时， a1=S1 = a1，解得 a1=1，1 1 3 1 3 12 12122当n2时， an=SnSn 1=3an3(3an 13)=3an3an1，即an=2an1，3 33333 an 是首项为 1，公比为 2的等比数列， an=( 2)n 1.15、设当x=时，函数 f(x)sinx2cosx取得最大值，则 cos=【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题， 是难题 .解析】f (x)=sin x2 5

12、cosx)令 cos= 5 ，=5，sin255，则 f (x) = 5(sin xcossin cosx) = 5 sin( x )当x=2k,kz ，即 x =2k ,kz时，f (x) 取最大值，此时2225=2k,k z， cos=cos(2k) =sin=.22516、若函数 f (x)=(1 x2)(x2 ax b)的图像关于直线 x =2对称，则 f (x)的最大值是命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题解析】由 f (x) 图像关于直线 x =2对称，则0= f ( 1) f( 3)=1 ( 3)2( 3)2 3a b ，0= f(1) f ( 5)=1

13、 ( 5)2 ( 5)2 5a b，解得 a=8，b=15， f(x)=(1 x2)(x2 8x 15) ，2 2 3 2 f (x)= 2x(x2 8x 15) (1 x2)(2x 8)= 4(x3 6x2 7x 2)= 4(x 2)(x 2 5)(x 2 5)当 x (, 2 5 )(2, 2 5 )时， f (x)>0，当 x( 2 5, 2) ( 2 5,+ )时， f (x) <0，f （ x）在（， 2 5 ）单调递增， 在（ 25 ，2）单调递减， 在（ 2， 25）单调递增，在（ 2 5 ， + ）单调递减，故当 x=5和 x= 2 5时取极大值，f ( 2 5)

14、= f ( 2 5) =16.三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（本小题满分 12分）如图，在 ABC中， ABC90°， AB= 3 ，BC=1， 为 ABC内一点， BPC 90°1（1） 若 PB=2，求 PA；（2） 若 APB 150°，求 tan PBA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易 题.解析 】（）由已知得，PBC=60o ，PBA=30o，在PBA中，由余弦定理得PA2=3）3 sin150o tan3 1 cos30o = 7 ， PA= 7 ；242PBA= ， 由 已

15、 知 得 ， PB= sin ， 在 PBA 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ，sin sin(30o)，化简得， 3cos 4sin= 3， tan4PBA= 4318、（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中， CA=CB， AB=A A1，A1=60°.()证明 ABA1C;）若平面 ABC平面 AA1B1B， AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直 的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能 力、逻辑推论证能力，是容易题 .【解析】 （）取 AB中点E，连结CE， A1B ，A1E

16、， AB= AA1 ， BAA1 = 600 ， BAA1是正三角形， A1E AB， CA=CB， CEAB， CE A1E =E， AB面 CEA1 ，AB A1C ；6分）由（）知 ECAB， EA1 AB，又面 ABC面 ABB1A1 ，面 ABC面 ABB1 A1 =AB，EC面 ABB1A1 ， EC EA1， EA， EC， EA1两两相互垂直，以 E 为坐标原点，uuur uuur EA的方向为 x轴正方向， | EA| 为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz ，有 题 设 知 A(1,0,0), A1 (0,3 ,0),C(0,0,uuru3 ),B( 1,0,0)

17、, 则 BC = ( 1,0 ，uuur uuur3 ) , BB1 = AA1 =( 1,0, 3 ),uuurA1C =(0, 3 , 3),9分设n=（x,y,z） 是平面 CBB1C1的法向量，uuur n ?BCuuurn ?BB10 ，即0x 3zx 3y0，可取 n=（ 3，1，-1），0uuur cos n, A1Cuuurn?A1C10uu1ur，| n | A1C | 5直线 A1C 与平面 BB1C1C所成角的正弦值为512 分19、（本小题满分 12 分） 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4件产 品中优质品的件数记为 n。如果

18、 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品， 则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否 为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品检验费用为100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元) ，求 X的分布列及数学期望。【命题意图】【解析】设第一次取出的 4件产品中恰有 3件优质品为事件 A，第一次取出的 4 件产品中全 为优质品为事件 B,

19、第二次取出的 4件产品都是优质品为事件 C，第二次取出的 1 件产品是优 质品为事件 D，这批产品通过检验为事件 E，根据题意有 E=(AB) (CD), 且 AB与 CD互斥，3 1 2 1 1 4 1 4 1 3P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= C43( )2 ( )4+( )4 = . 6 分4 2 2 2 2 2 64() X 的可能取值为 400,500,800 ，并且1 1 1 11 1 1 1 1P(X=400)=1- C43(1)3 1 (1)4=11，P(X=500)= 1 ，P(X=800)= C43(1)3 1=1，4 2 2

20、 2 16 16 4 2 2 4X 的分布列为X 405800000P 1111161410 分1111EX=400× +500× +800× =506.25 12 分16164(20) ( 本小题满分 12 分 )已知圆 M : (x 1)2 y2 1,圆 N: (x 1)2 y2 9,动圆 P与M 外切并且与圆 N 内切，圆 心 P 的轨迹为曲线 C.()求 C 的方程；()l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C交于 A，B两点，当圆 P的半径最长时， 求|AB|.【命题意图】【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M(-1，0),半径 r1 =

21、1，圆N的圆心为 N (1,0), 半径r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x ， y )，半径为 R.)圆 P与圆M 外切且与圆 N内切， |PM|+|PN|= (R r1) (r2 R)=r1 r2=4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆 (左顶x2点除外 ) ，其方程为 x42y1(x 2) .3()对于曲线 C上任意一点 P( x， y )，由于 |PM|-|PN|= 2R 22，R2, 当且仅当圆 P的圆心为( 2， 0)时， R=2.当圆 P的半径最长时，其方程为 (x 2)2 y2 4 ， 当l的倾斜角为 900时，则 l与

22、y轴重合，可得 |AB|= 2 3.当l 的倾斜角不为 900时，|QP | R| r1由 r1 R知l不平行 x轴，设 l与x轴的交点为 Q，则|QQMP | =R，可求得Q(-4 ， 0)，设 l ：y k(x 4) ，|3k|由 l 于圆 M相切得1 ，解得 k1 k2当 k= 24时，将 y22 代入 x42y32 1(x22) 并整理得 7x2 8x 80 ，解得462x1,2 =7当k= 2 时，4， |AB|= 1 k2 |x1 x2 |=1818 由图形的对称性可知 |AB|= ，7综上， |AB|= 18 或|AB|= 2 3. 7(21) (本小题满分共 12 分)已知函数

23、 f(x) x2 ax b，g(x) ex(cx d) ，若曲线 y f (x)和曲线 y g(x)都过点P(0， 2) ，且在点 P 处有相同的切线 y 4x 2()求 a， b，c， d的值()若 x2时， f(x)kg(x)，求 k的取值范围。【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、 函数最值，考查运算求解能力及应用意识 , 是中档题 .【解析】()由已知得 f(0) 2,g(0) 2, f (0) 4,g (0) 4，而 f (x)=2xb，g (x)=ex(cx dc)， a=4 ， b=2 ，c=2 ， d =2 ；4分()由()知，f (x

24、)x2 4x2，g(x) 2ex (x1)，设函数 F(x) =kg(x)f (x)=2kex(x1)2x 4x 2 ( x2)，有题设可得 F (0) 0，即 k 1，令 F (x) =0得， x1= lnk，x2=2，(1)若1 k e2 ，则 2< x1 0，当 x ( 2, x1)时，F (x) <0，当 x (x1, )时，F(x)>0，即F(x)在( 2, x1)单调递减， 在(x1, )单调递增， 故F(x)在x=x1取最小值 F(x1)，2而 F(x1)=2x1 2 x1 4x1 2= x1(x1 2)0，当 x2时， F(x)0，即 f (x)kg(x)恒成

25、立，(2) 若 k e2，则 F (x) =2e2(x 2)(ex e2)，当 x2时， F (x)0， F ( x)在( 2,+ )单调递增，而 F( 2) =0，当 x2时， F(x)0，即 f (x)kg(x)恒成立，(3) 若 k e2，则 F( 2)= 2ke 2 2= 2e 2(k e2)<0，当 x2时， f (x)kg(x) 不可能恒成立，综上所述， k 的取值范围为 1, e2.请考生在第( 22)、( 23)、( 24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。(22) (本

26、小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，直线 AB为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC的角平分 线 BE 交圆于点 E， DB垂直 BE 交圆于 D。()证明： DB=DC；()设圆的半径为 1，BC=，延长 CE交 AB 于点 F，求BCF外接圆的半径。 【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题 . 【解析】()连结 DE，交BC与点 G.由弦切角定理得， ABF= BCE， ABE= CBE， CBE=BCE， BE=CE， 又 DBBE， DE是直径， DCE=900 ，由勾股定理可得 DB=DC.)由()知，CDE=BDE，BD=DC，故 DG是BC的中垂线， BG= 3设DE中点为 O，连结 BO，则 BOG=60o ， ABE= BCE= CBE=30o ， CFBF，Rt BCF的外接圆半径等于32（ 2