文科数学第三节课件

1、( (文科文科) )第三节平面向量的数量积 第四章平面向量、数系的扩充与复第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入数的引入 ( (文科文科) )考考 纲纲 要要 求求1理解平面向量数量积的含义及其物理意义理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系断两个平面向量的垂直关系.( (文科文科) )课课 前前 自自 修修知识

2、梳理知识梳理一、平面向量的数量积的定义一、平面向量的数量积的定义1向量向量a，b的夹角：已知两个非零向量的夹角：已知两个非零向量a，b，过，过O点点作作 ，则，则AOB(0180)叫做向量叫做向量a，b的的夹角夹角当且仅当两个非零向量当且仅当两个非零向量a，b同方向时，同方向时，0，当且仅当，当且仅当a，b反方向时，反方向时，180，同时，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题角这一问题( (文科文科) )2a与与b垂直：如果垂直：如果a，b的夹角为的夹角为90，则称，则称a与与b垂直，垂直，记作记作ab.3a与与b的数量积：两个非零向量的数量积：两个非零向量

3、a，b，它们的夹角为，它们的夹角为，则则| |a|b| |cos 叫做叫做a与与b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作ab，即，即ab| |a|b| |cos ，规定，规定0a0，非零向量，非零向量a与与b当且仅当当且仅当ab时，时，90，这时，这时ab0.( (文科文科) )5ab的几何意义：的几何意义：ab等于等于a的长度与的长度与b在在a方向上的投影方向上的投影的乘积的乘积二、平面向量数量积的性质二、平面向量数量积的性质设设a，b是两个非零向量，是两个非零向量，e是单位向量，于是有：是单位向量，于是有：1eaae| |a| |cos .2abab0.( (文科文科) )三、平面向

4、量数量积的运算律三、平面向量数量积的运算律1交换律成立：交换律成立：abba.2对实数的结合律成立：对实数的结合律成立：(a)b(ab)a(b) (R).3分配律成立：分配律成立：(ab)cacbcc(ab).( (文科文科) )( (文科文科) )基础自测基础自测1(2012福建卷福建卷)已知向量已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则，则ab的充的充要条件是要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx012解析：解析：因为因为ab，所以，所以ab0，即，即(x1)2210，解得解得x0.故选故选D.答案：答案：D( (文科文科) )( (文科文科) )4已知平面向量已知平面向量，| | |1，|

5、| |2，(2)，则，则| |2| |的值是的值是_10( (文科文科) )考考 点点 探探 究究考点一考点一平面向量的数量积的概念平面向量的数量积的概念【例【例1】判断下列各命题正确与否】判断下列各命题正确与否(1)若若a0，abac，则，则bc；(2)若若abac，则，则bc当且仅当当且仅当a0时成立；时成立；(3)(ab)ca(bc)对任意向量对任意向量a，b，c都成立；都成立；(4)对任一向量对任一向量a，有，有a2|a|2；(5)0a0；(6)0a0.思路点拨：思路点拨：(1)(2)可由数量积的定义判断；可由数量积的定义判断；(3)通过计算判断；通过计算判断；(4)把把a2转化成转化

6、成aa|a|2可判断；对于可判断；对于(5)与与(6)，要清楚，要清楚0a为零向为零向量，而量，而0a为零为零( (文科文科) )解析：解析：(1)abac，|a|b|cos |a|c|cos (其中其中，分别为分别为a与与b，a与与c的夹的夹角角)|a|0，|b|cos |c|cos .cos 与与cos 不一定相等，不一定相等，|b|与与|c|不一定相等不一定相等b与与c也不一定相等也不一定相等(1)不正确不正确( (文科文科) )(2)若若abac，则，则|a|b|cos |a|c|cos (，为为a与与b，a与与c的夹角的夹角)|a|(|b|cos |c|cos )0.|a|0或或|b

7、|cos |c|cos .当当bc时，时，|b|cos 与与|c|cos 可能相等可能相等(2)不正确不正确(3)(ab)c(|a|b|cos )c，a(bc)a|b|c|cos (其中其中，分别为分别为a与与b，b与与c的夹角的夹角)(ab)c是与是与c共线的向量，共线的向量，a(bc)是与是与a共线的向量共线的向量(3)不正确不正确(4)正确，正确，(5)不正确，不正确，(6)正确正确( (文科文科) )点评：点评：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律通过该题我向量的数量积的运算律不同于实数乘

8、法的运算律通过该题我们应搞清楚向量的数乘与数量积之间的区别与联系们应搞清楚向量的数乘与数量积之间的区别与联系( (文科文科) )变式探究变式探究1(2012浙江卷浙江卷)设设a，b是两个非零向量是两个非零向量()A若若|ab|a|b|，则，则abB若若ab，则，则|ab|a|b|C若若|ab|a|b|，则存在实数，则存在实数，使得，使得baD若存在实数若存在实数，使得，使得ba，则，则|ab|a|b|( (文科文科) )解析：解析：利用向量运算法则，特别是利用向量运算法则，特别是|a|2a2求解求解由由|ab|a|b|知知(ab)2(|a|b|)2，即，即a22abb2|a|22|a|b|b|

9、2，ab|a|b|.ab|a|b|cos，cos1，此时，此时a与与b反向共线，因反向共线，因此此A错误当错误当ab时，时，a与与b不反向也不共线，因此不反向也不共线，因此B错误若错误若|ab|a|b|，则存在实数，则存在实数1，使，使ba，满足，满足a与与b反反向共线，故向共线，故C正确若存在实数正确若存在实数，使得，使得ba，则，则|ab|aa|1|a|，|a|b|a|a|(1|)|a|，只有当，只有当10时，时，|ab|a|b|才能成立，否则不能成立，故才能成立，否则不能成立，故D错错误误答案：答案：C( (文科文科) )考点二考点二求向量的数量积求向量的数量积( (文科文科) )( (

10、文科文科) )变式探究变式探究14( (文科文科) )考点三考点三两个向量数量积性质的应用两个向量数量积性质的应用( (文科文科) )( (文科文科) )变式探究变式探究3(2012淮南市模拟淮南市模拟)若向量若向量a(2,1)，b(3，x)，若，若(2ab)b，则，则x的值为的值为()A3 B1或或3 C1 D3或或1B( (文科文科) )( (文科文科) )考点四考点四两个向量垂直的充要条件的应用两个向量垂直的充要条件的应用【例【例4】已知】已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求证：求证：ab与与ab互相垂直；互相垂直；(2)若若kab与与akb的模相等，求的

11、模相等，求(其中其中k为非零实数为非零实数)(1)证明：证明：(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与与ab互相垂直互相垂直( (文科文科) )( (文科文科) )变式探究变式探究( (文科文科) )考点五考点五向量模公式向量模公式|a|2a2的应用的应用【例【例5】(2012衡阳八中月考衡阳八中月考)已知已知|a|b|ab|2，则则|3a2b|_.解析：解析：因为因为(ab)2|a|22ab|b|2442ab4，解得解得ab2，|3a2b|29|a|24|b|212ab36162428，故故|3a2b|2 .答案：答案：277( (文科文科)

12、 )变式探究变式探究6(2012济南市模拟济南市模拟)已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为120，|a|3， | a+b| ，则，则|b|等于等于()A5 B4 C3 D113解析：解析：|a|3，|a+ b|2( (a+ b) )2a2b22ab13，|a|2|b|22|a|b|cos 12013，|b|23|b|40，|b|4，|b|1(舍去舍去)故选故选B.答案：答案：B( (文科文科) )7已知向量已知向量a，b满足满足ab0，|a|1，|b|2，则，则|2a-b|()A. 0 B2 C4 D. 82( (文科文科) )考点六考点六求向量的夹角求向量的夹角( (或其函数值或其函数值

13、) )【例【例6】(2012佛山市二模佛山市二模)设向量设向量a，b满足满足|a|1，|b|2，a(ab)0，则，则a与与b的夹角是的夹角是()A30 B60 C90 D120( (文科文科) )变式探究变式探究8(2012新课标全国卷新课标全国卷)已知向量已知向量a，b夹角为夹角为45，且，且|a|1，|2ab| ，则，则|b|_.10( (文科文科) )课时升华课时升华1本节的重点、难点：平面向量的数量积及其几何意义，本节的重点、难点：平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的充要条件利用平面向量的数量积处理有关长度、向量垂直的充要条件利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题角度和

14、垂直的问题2向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量，所以向量数量积的坐标表示向量的运算，结果却是一个数量，所以向量数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示是纯数量的坐标表示( (文科文科) )3向量向量a与与b的夹角：的夹角：(1)当当a与与b平移成有公共起点时两向量所成的角才是夹角平移成有公共起点时两向量所成的角才是夹角(2)0a，b180.特别地，当特别地，当a，b0时，两时，两向量共线且方向相同；当向量共线且方向相同；当a，b180时，两向量共线且方时，两向量共线且方向相反；当向相反；当a，b90时，两向量垂

15、直时，两向量垂直(3)121222221122cos,|a bx xy ya ba bxyxy( (文科文科) )4特别注意：特别注意：(1)数量积不满足结合律，即数量积不满足结合律，即a(bc)(ab)c；(2)消去律不成立，即由消去律不成立，即由abac不能得到不能得到bc；(3)由由ab0不能得到不能得到a0或或b0；(4)但是乘法公式成立：但是乘法公式成立：(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2；(ab)2a22abb2|a|22ab|b|2.( (文科文科) )感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考( (文科文科) )2(2012湖北卷湖北卷)已知向量已知向量a(1,0)，b(1,1)，则，则(1)与与2ab同向的单位向量的坐标表示为同向的单位向量的坐标表