【高考模拟试卷】福建省2019届高中毕业班数学(理科)适应性练习（三）及答案

1、福建省2019届高中毕业班数学(理科)适应性练习（三）（满分：150分考试时间：120分钟）本试卷分第卷（选择题）和第卷（必考题和选考题两部分）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则ABCD2.已知是的共轭复数，且，则的虚部是ABCD3. 如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是 A2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个B与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长C去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D2017年第一季度GDP增速由高到低排

2、位第5的是浙江省4. 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，双曲线的渐近线与以焦点为圆心，为半径的圆相切，则的方程为A B C D 5. 的展开式中的系数为ABC D6. 已知是函数图象的一个最高点，是与相邻的两个最低点设，若，则的一个对称中心是 A B C D7. 若可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则A9B8C7D68九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的外接球的表面积为 A B C D9 有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的

3、名字命名的勒洛三角形这种三角形常书现在制造业中（例如图1中的扫地机器人）三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图2所示现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A B C D 10. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为ABCD11. 已知正数满足且，则实数的大小顺序为A B C D 12在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，为的两个三等分点，线段上（包括端点）存在点，使得，则四棱柱的体积的最大值为A B C D 第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 (13)(21) 题为必考题，每个试题考生都必

4、须作答第 (22) 、(23) 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13在菱形中，则14若满足约束条件则的最大值为 15若函数为定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为16 已知，集合，集合所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的

5、步骤。18（12分）如图，直三棱柱中，D是AB中点（1）记平面平面，在图中作出，并说明画法；（2）求直线与平面所成角的正弦值19（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆的左焦点为，点，过的直线交于点. （1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积的最大值20(12分)近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展，某汽车交易市场对2017年成交的二手车的交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到如图1所示的频率分布直方图，在图1对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率（1）在2017年成交的二手车中随机选取三辆，求恰有两辆车的使用年限在的概率；（2）根据该汽车交易

6、市场的历史资料，得到散点图如图2，其中（单位：年）表示二手车的使用时间，（单位：万元）表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中）；根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；该汽车交易市场拟定两个佣金收取方案可供选择：甲：对每辆二手车统一收取成交价格的的佣金；乙：对使用年以内(含年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间年以上(不含年)的二手车收取成交价格的佣金.假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图1，并以各时间组的区间中点值代表该组的各个值.若以2017年的数据作为决策依据，判

7、断该汽车交易市场应选择哪个方案.附注:对于一组数据，其回归直线的斜率和截距 的最小二乘估计分别为参考数据：21(12分)已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若曲线与直线有且仅有一个公共点，求的取值范围.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为（1）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；（2）设直线与曲线交于,两点，求23.（本小题满分10分

8、）选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式； （2）若且,证明： 福建省2019届高中毕业班数学(理科)适应性练习（三）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1【答案】C解：由得,得或,由得，2【答案】D解法一：由的虚部与的虚部相同,从而的虚部为,解法二：令 则 从而3【答案】A解：由图可知，2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省为江苏均居第一，河南均居第四4【答案】B解：依题意，焦点到渐近线的距离为，又因为，所以，所以的方程为 5 【答案】B解：的展开式中的系数为6【答案】D解：取的中点，连结，则，在中，由，得所以 ，的中点都是图象的对称中心，故选D7【答

9、案】A解：因为，所以，或，所以或，所以8【答案】D解：由题知几何体是一个倒放的直三棱柱，底面是一个腰长为等腰直角三角形，侧棱长为2，故几何体的外接球球心为上下底面斜边连线的中点，半径为，故选D9【答案】C解：设圆半径为，因为阴影部分面积为，勒洛三角形的面积为，若从勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为10【答案】C解：由题意得，准线，过作，垂足为，则由抛物线定义可知，于是，在上为减函数，当取到最大值时（此时直线与抛物线相切），计算可得直线的斜率为，从而，11【答案】B解：设，则且，因为，所以所以，故选B12【答案】D解：如图，在底面中，作，垂足为，因为在直四棱柱中， 平面，所以，

10、所以平面，所以，所以等价于，如图，在平面内，以为原点建立平面直角坐标系，设，则，设，则，所以，所以，所以，所以四棱柱的体积等号当且仅当时成立，所以四棱柱的体积最大值为另解：设，则，所以在单调递增，在单调递减，所以，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13【答案】解：14【答案】解：将所给约束条件画出如下图所示的可行域.的几何意义为可行域中的任一点与原点连线的斜率.由图形可得：在点A处取到最大值.又，故. 15【答案】解：由于是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是16【答案】19解：n=2时，的非空子集，此时n=3时，的非空子集之和n4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n-1

11、个元素，共有个非空子集，此时和为；当最小值为时，不含，含共有n-2个元素，共有个非空子集，此时和为；，由得. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (12分)解：方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） . 第一步：计算AM . 由正弦定理；第二步：计算AN . 由正弦定理；第三步：计算MN. 由余弦定理 .方案二：需要测量的数据有： A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）.第一步：计算BM . 由正弦定理；第二步：计算BN . 由正弦定理；第三步：计算MN . 由余弦定理18

12、.（12分）解法一：（1）所作直线如图所示， 取中点,连接则直线即为 （2） D是AB中点, 是的中点, 又, 故为中点分别以为轴,建立空间之间坐标系,如图 令,则有 设平面的法向量为由可取， 设与平面所成角为,则， 即直线与平面所成角的正弦值为 解法二：（1）延长与交于 ,连接交于点，则直线（或）即为 （2）取中点,， 取中点,连接,则,从而 ， 又， 连接,则即为所求与平面所成角 令,在中, 又,在中, 即直线与平面所成角的正弦值为 19.（12分）解：（1），又，由，解得：， ，椭圆方程为（2）当的斜率为0时，三点共线，不满足题意. 所以的斜率不为0，设直线AB的方程为. 由，设 ，解得

13、：. 设（），则，当且仅当，即，也即时取等（此时符合）故的面积的最大值为.20. (12分)解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为，所以在该交易市场2017年成交的二手车随机选取一辆，其使用时间在的概率为，记“在2017年成交的二手车中随机选取三辆，恰有两辆车的使用年限在”为事件，则，即在2017年成交的二手车中随机选取三辆，恰有两辆车的使用年限在的概率为（2）由得，即关于的线性回归方程为因为，所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为根据中的回归方程和图 1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时

14、间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；若采用甲方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元； 若采用乙方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为：万元；因为，所以采用甲方案可以获得更多佣金，因此选择甲方案21(12分)解：（1）依题意，的定义域为，（1）当时，在单调递减；（2）当时，令得因为，所以当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增；（3）当时，（i）当时，在单调递减；（ii）当时，令得因为，所以当时，；当时，；当时，；所以在单调递

15、减，在单调递增，在单调递减；综上，当时， 在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.（2）由，得，显然是该方程的一个解，即是曲线与直线的一个公共点， 设，则，所以当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减；所以当时均有成立，即当时，恒有，所以当，时，恒有，即当，时，恒有即当时曲线与直线有且仅有一个公共点，符合题意； 当时，设，则，令得或 （i）当即时，当时，在上单调递减，所以，又易知，所以，所以在上至少还有一个零点，即曲线与直线除外至少还有一个公共点，不合题意； （ii）当即时，当时，在上单调递减，所以，又因为，故且在上是连续不断的图像，所以在上至少还有一个零点，即曲线与直线除外至少还有一个公共点，不合题意；（iii）当即时恒成立，且当时，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，所以，所以在上恒成立，