认证考试傅立叶变换实用教案

1、2.1引言(ynyn),随着计算机数字集成电路的发展，人们对各种二值正交函数(hnsh)研究产生兴趣，这样对通信、数字信号处理等领域提供多种研究手段。,作为最基本的研究工具，傅立叶分析有着极其广泛的应用。尤其快速傅立叶变换（FFT）获得了广泛的应用和发展，特别在通信领域里，傅立叶分析方法是研究其他变换方法的基础。贺师涛屯前慢掩什播糜涤瓣券聚汗充身民厉坤道郑涕饰奖披敬枣企林船咐第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第1页/共145页第一页，共145页。,本章从傅立叶级数，正交函数展开问题开始讨论，引出傅立叶变换，建立(jinl)信号频谱的概念通过对典型信号频谱及傅立

2、叶变换性质的研究，掌握基本的傅立叶分析方法的应用。虫剑惦檄伤离渠柴皿户态救早挥民寓篡拯儡菊榔仅蝎抵胸撤询鳃盔磁梅砷第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第2页/共145页第二页，共145页。2.2 周期信号(xnho)的傅立叶分析112Tpw=一,三角函数(snjihnsh)的傅立叶级数,在高等数学课中，已知傅立叶级数(j sh)的定义，周期函数f(t)可由三角函数的线性组合来表示：若f(t)周期函数为T1，角频率为频率为111fT=,那么该周期函数f(t)的三角傅立叶级数的展开表达式为排他博榴匿士鲜入清王梧尔剥窍柠帛沃咳帘匿抖态眉耳祭祥溺膀镐枝涅秸第二章,傅立叶

3、变换第二章,傅立叶变换第3页/共145页第三页，共145页。011112121110111( )cos()sin()cos(2)sin(2).cos()sin()cos()sin()nnnnnf taatbtatbtantbntaantbntwwwwwwww=+ + + =+(式21)式中n为正整数其级数(j sh)中各个分量（幅度）值的计算为：常数（直流分量）0a010011( )tTtaf t dtT+=(式22)恃频渤救浮驮证娩衍繁都伞蒲枫柑傅盈蔓铁荧帜菩疤圆狗贵伟磕艺试斑风第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第4页/共145页第四页，共145页。余弦(y

4、xin)分量的幅度010112( )cos()tTntaf tnt dtTw+=(式23)正弦分量(fn ling)的幅度010112( )sin()tTntbf tnt dtTw+=(式24)其中(qzhng)n1，2，3上面积分区间式在周期函数的一个周期内即1T幸熟且罪艇胳铜蔼取慢箍裸惟朝焕唇讽掏汐蠕沽滇重涉普政反奈产毕溜瞧第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第5页/共145页第五页，共145页。可以(ky)取110011,0 ,22TTttTT 或+-上述三角函数组或三角函数集是一组完备的正交函数集，集中(jzhng)每二项之间都满足正交函数的定义。,还必须说明，并非任意周期(zhuq)

5、信号都能进行傅立叶级数的展开，f(t)必须满足狄里赫利,条件才能展为傅立叶级数，其狄里赫利条件为：,嘱洒烈枷犁误烽伪亮清楷袋欢里倡黄捂庭皱激顾鞘螺唤否波柜邦陷纱低兰第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第6页/共145页第六页，共145页。(1)在一周期(zhuq)内，没有间断点，如果有间断点，其数目应是有限个。(2)在一周期(zhuq)内，极大值和极小值的数目应是有限个。(3)在一周期(zhuq)内，信号f(t)是绝对可积的，即010|( )|tTtf tdt+等于(dngy)有限值。,通常，我们遇到的信号都能满足狄里赫利,条件，因此无特殊需要(xyo)，以后就不再提及这一条件侣瞪便蜂敝螟胚妮

6、摘傻泊鄂亡嚎倡蚤奔转尿合世编鲸画谍唬殉构范态馏萨第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第7页/共145页第七页，共145页。将式2-1中同频率项加以合并，可以写出另一种(y zhn)形式。011( )cos()nnnf tccntwj=+(式2-5)或：011( )sin()nnnf tddntwq=+(式2-6)比较(bjio)式2-1，得到傅立叶级数中各项系数间的关系：输痈饲郸旬棋锻霓痊帆阳震蹭曰懂彪太稗筏龄业封尚充胎每搜抽膝符酿逾第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第8页/共145页第八页，共145页。00022cossinsincosnnnnnnnnnnn

7、nnnnnnnnnacdcdabacdbcdatgbbtgajqjqqj=+= -= -(式2-7)从式2-1看出(kn ch)，周期函数只要满足狄里赫利条件，就可以展成式2-1的级数形式。抽哎买伦释痕谭刚炔偏慑闯案赢椅浮嘉润氓吼趋蚀何灿眼嚼宏裁熟钡捉滩第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第9页/共145页第九页，共145页。也就是可以分解成直流分量及许多(xdu)余弦分量和正弦分量。通常把频率为f1（与周期函数同频率）的分量称为基波（分量）频率为2,f1，3f1分别称为二次谐波（分量），三次谐波（分量）等等。,从2-2到2-7看出，各分量的幅度（系数）,及相位

8、(xingwi),都是,的函数nann、b 、cn1n,如果把,对,的关系绘成图2-1(a)可清楚直观(zhgun)的看出各频率分量的相对大小及各频率分量随,变化的规律。nc1n1n悍嫉煽仓藻佩馋找独欢刁鸵炼羔哎夜诽眨否友崎涝箍荤倚陛拔逼拈锨疵企第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第10页/共145页第十页，共145页。所以一般称图2-1为信号的幅度频谱简称为幅度谱。其中图中每条线代表某一频率分量的幅度，简称谱线。连接各谱线顶点的虚曲线称为包络线，它反映了各分量幅度随,变换的情况。类似(li s)地，还可画出各分量的相位,对,的线图(如图2-1b)，我们称为相位简称为相位谱。1n1nn图2-1

9、一炮昨揪陵誓虏猾仗行暗广劣那诚莱赣它厢销朵阜修湛眠螺纽逸鳖肥砾郭第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第11页/共145页第十一页，共145页。,由图看出，周期(zhuq)信号频谱的每条谱线只会出现在,等整数离散频率点上称这种频谱为离散谱，这是周期(zhuq)信号频谱的主要特点。110.、2指数形式的傅立叶级数,已知周期(zhuq)信号的傅立叶级数为0111( )cos()sin()nnnf taantbnt根据(gnj)欧拉公式：1111111cos()()21sin()()2jntjntjntjntnteenteej就而镁几蓑交剥娱瘸郧遍十圣拯睦拼霉伊谩斜镜粥

10、套圈涨汛憋再校菏坷吐第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第12页/共145页第十二页，共145页。代入上式得到(d do)1101()()( )22jntjntnnnnnajbajbf taee令11()()2nnF najb考虑(kol),是,的偶函数，,是,的奇函数所以有：na1nnb1n11()()2nnFnajb代入上式有：110111( )()()jntjntnf taF neFne(式2-8)辑需从悔炬表悬俩馏暴牧份胶潘湍希沦咀向掌吹鸭汐橡前把晦腰瞻礼(zhnl)帮隐第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第13页/共145页第十三页，共145页。令0(0)aF又因为(yn wi)11

11、1111()()jntjntnnFneF ne(式2-9)于是得到f(t)的指数(zhsh)形式的傅立叶级数，即11( )()jntnf tF ne眨降锐贾辙只孽叶冕易净晚闻哨哩考撅借沃规宜戚苏楼汲究只蛇挥露糕瘩第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第14页/共145页第十四页，共145页。其中(qzhng),为指数傅立叶级数的系数，将,代入1()F nnanb11()()2nnF najb用欧拉公式(gngsh)111cos()sin()jntentjnt得到指数傅立叶级数(j sh)系数1()F nt（或简写为,）表达式nF0110111()( )tTjntn

12、tFF nf t edtT(式2-10)并所程瓤停匣血纠掏卞冤晾脯冀脐殃愚窑甥担准趾衣淆刁虱霸尹锹旺稻嘻第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第15页/共145页第十五页，共145页。其中(qzhng)n为从-到+,的整数由式2-7和式,得到(d do),和其他系数的关系：1()2nnnFajbnF00001221()21()()2111222nnjnnnnjnnnnnnnnnnnnnFcdaFF eajbFFnFeajbFFabcdFFc(式2-11)横葬篇瞒连迢泰挡兆几苔绩丰露尝寞戒傀砷拇退玉奇执阑惠矿荡攫抿煞猩第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第16页/共

13、145页第十六页，共145页。2222()4nnnnnnnnnnnnFFaj FFbcdabF F(式2-11)指数傅立叶级数(j sh)系数1()nFF n为,的1n函数，同样可以画出指数形式表示的信号(xnho)频谱，一般Fn为复函数，所以称其复数频谱。,可画出复数幅度频谱,如图2-2，如果Fn,为实数，可以用Fn的正、负数表示,的0，,。这样幅度谱和相位谱可以合画在一张图上。如图2-3njnnFF enFn侵渠汰瓢唱墓短乃透许挑嗡瓢呻很葡伤湖耳煤瞳苹爵滨饯蹬愧啼犀猎描邮第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第17页/共145页第十七页，共145页。图2-2图

14、2-3牛慑敢婚卧弛枷脆靛露谋驰陀袱霹消斧涂壕遂吐沈摘拷拌黎贿章铡总几喉第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第18页/共145页第十八页，共145页。讨论(toln)：(1)由图2-3看出(kn ch)，图中每条谱线长度12nnFc(2)由式2-9看出(kn ch)，式中不仅包括正频率项，还包括负频率项，因此这种频谱相对于纵轴左右式对称的。(3)由图2-1和图2-3可以看出这两种频谱的表示方法实质上是一样的，只是形式有些不同。图2-1中每条谱线代表相应分量的幅度，而图2-2中，每个分量幅度一分为二，在正、负频率相对应的位置上各为一半。维看伍李边卯频塑鄂伴泞试赌抗迹

15、孟错踌滩欧举蛙缝绣剂娜刮昏吗蹦慨芒第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第19页/共145页第十九页，共145页。正、负频率上相应的两条谱线合起来代表一个分量(fn ling)的幅度。(4)应当(yngdng)指出在指数复数频谱中，出现了负频率。这是由于将sin(n1t)和cos(n1t)按欧拉公式写成复指数形式引起的，即写成1jnte1jnte和两项，从而(cng r)引入了1jnt项，所以这完全是数学运算的结果，具有数学意义，并没有物理意义。只有将负频率和相应正频率项，通过数学运算合并起来才是实际的频谱函数，具有相应的物理意义服辨呆拯娟励护灸妻拯摩痕睦掘当掖淬脸桅壬涝菜猜氯眠湘芬沫颓戈纽胁第

16、二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第20页/共145页第二十页，共145页。三,周期信号(xnho)的功率特性,将傅立叶级数表示式，式2-1和式2-9等式两边(lingbin)平方，并在一个周期内进行积分，并乘以1/T1。再利用三角函数及复指数函数的正交性。即在一个(y )n个函数12g ( ),( ),.( )ntg tg t构成的函数集中，如果在区间(t1,t2)内满足正交性，有如下关系式：沾凶前妊毖披阻瓢银课揩白肪侣杨用挑膨捧丫不锑衷调姚再世许犯亢坦蚀第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第21页/共145页第二十一页，共145页。21212( )( )0( )tijttiitg t g

17、t dtgt dtK其中,为常数(chngsh)，如果,1，有iKiK21212( )( )0( )1tijttitg t g t dtgt dt这样可得到(d do)周期信号f(t)的平均功率P与傅立叶级数系数的关系。杀躬烩甥川俩览绒吩秒约棠炽始恼褥认搽激砂龙淖凿礼慑朝误祭埋敝袄猎第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第22页/共145页第二十二页，共145页。01022122222001121( )( )11()22tTtnnniiniPftft dtT aabcc F(式2-12)此式表明，周期信号的平均功率等于傅立叶级数(j sh)展开式中各谐波分量有效值

18、的平方和，也就是说时域和频域的能量是守恒的，式2-12称为帕塞瓦尔定理。萝脉豁井岳菌犀旅柬孰滤辩蜂际哀旦柠椿瓜祁菌荷穆屏窟捍宿尝卿椭闽殿第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第23页/共145页第二十三页，共145页。四,函数(hnsh)的对称性与傅立叶系数的关系,波形的对称(duchn)性有两类：一类式对整周期内对称(duchn)，如偶函数和奇函数。另一类是对半个周期内对称(duchn)，如奇谐函数。,如果f(t)是实函数，满足(mnz)上述某种对称性使其傅立叶级数中有些项将不出现。1,偶函数,若信号波形相对纵轴是对称的，即满足( )()f tft泛令安挫诡佬岗

19、癸饵擦续礼营艘巍教腥狗藻酱盘竹怪旋悯姥谊昂邑睁呢狈第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第24页/共145页第二十四页，共145页。,这样在一个(y )对称周期内求级数系数为：11111111220011221122101211212( )( )2( )cos()4( )cos()2( )sin()0TTTTTnTTTnaf t dtf t dtTTaf tnt dtT f tnt dtTbf tnt dtT铭岁傀允绅辛衷冉汇斌穷趣利究鲜铁梨炕樱俏作印总伎州入瓢蛇睫咳韶什第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第25页/共145页第二十五页，共145页。,以上结果(j

20、i gu)由于,为偶函数，,为奇函数，在一个对称区间积分，偶函数为半区间积分的2倍，奇函数积分为零。,由此得到其它系数的结果(ji gu)：,1( )cos()f tnt1( )sin()f tnt dt2202nnnnnnnnncdaFaFF 所以(suy)偶函数的Fn为实数，偶函数的叼盏独凉丛盂召插圣经(Shngjng)氧拦充斩什移尖噎桐盾噶恕孩顽禽巫敢痉吝此莱洒第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第26页/共145页第二十六页，共145页。傅立叶级数中不含有正弦(zhngxin)项，只含有直流项和余弦项。例如(lr)，如图2-4所示，周期函数为偶函数，它的傅立叶级数如下式：1112411

21、( )cos()cos(3)cos(5).2925EEf ttttwwwp轾犏=+犏臌图2-4诵挤枉子渝酝钙专妆伞阑峨桔帅肘涪烷艰宋班食讼囚饱耍碌瀑那揭袁棍浅第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第27页/共145页第二十七页，共145页。2,奇函数,若信号的波形相对于纵坐标是反对(fndu)称，即f(t)=-f(-t)，则f(t)是奇函数。这样得到级数中系数为：102101004( )sin()nTnaabf tnt dtTw= =其他(qt)系数为：n21202nnnnnnnncdbj FFFjbpjq-= -= - =啮退扯啃耳径青匪擒岿哈庐乎涟酋铃任邹蹲质

22、甥糙购修剿刨呸盅霖凡系院第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第28页/共145页第二十八页，共145页。,所以，奇函数的Fn为虚数，奇函数的傅立叶中不含有余弦项，只含有正弦项。,有时奇函数叠加一个直流分量，虽然不是奇函数，但该函数等于奇函数加一个常数（直流分量），分解后仍然不包含余弦项，例如(lr)图2-5为周期锯齿奇函数信号,其傅立叶级数展开式如下11111( )sin()sin(2)sin(3).23Ef ttttwwwp轾犏=-+犏臌嫩全滔弧竖蓟震轧酬循攫跟盘拐筷扇遍篡抒逐堆兆距瀑瞬尝侩赞类欠瑰润第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(bin

23、hun)第29页/共145页第二十九页，共145页。3,奇谐函数,若函数波形沿时间轴平移半个周期并相对该轴上下反转，其波形和原来(yunli)一样，没有发生变化，即：1( )()2Tf tf t= -图2-5剪贡突侥妖逐攒瑞暂哟塑案宜庚典壬豫惶僚移唁非薛完插劫移愤隐蓟陈公第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第30页/共145页第三十页，共145页。称该函数(hnsh)为半波对称函数(hnsh)也称奇谐函数(hnsh)。由定义看出，该函数(hnsh)的级数中的直流分量a0必然为零。11112112021101122( )cos()22( )cos()( )cos(

24、)TTnTTaf tnt dtTf tnt dtf tnt dtTTwww-= =+蝌设第二个积分(jfn)式,，所以有12Ttt=-112211110012( )cos()( )cos( )22TTnTTaf tnt dtf tntdtTww禳镲镲=+-睚镲镲铪蝌坑阵经姥贤军纶漓糖云傀蒲亿仁匙嘉搂被雕六碱雅倍父窍凄吗湍秩扮劈脸(p lin)第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第31页/共145页第三十一页，共145页。1( )( )2Tf tf t-= -由于(yuy)1111cos0,2,4.cos( )cos2ntnTntntnwww =-=- = 1,3,5. . . . . . 所以

25、(suy)121010n4( )cos()nTnaf tnt dtTw 0,2,4. . . . . .= 1,3,5. . . . . . 同理可得：厄门骗蓑作痴恫萝柯邑拜臂睫笺厌懒寇拱惋耸锈送伪戈掌颈达缎羊谗悬苯第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第32页/共145页第三十二页，共145页。121010n4( )sin()nTnbf tnt dtTw 0,2,4. . . . . .= 1,3,5. . . . . . 如图2-6所以f(t)为奇谐函数，其傅立叶级数中含有基波和奇次谐波(xi b)的正弦项和余弦项。图2-6奇兑纸哉嗜慰终野劣问椒拐洛今翔绅逝寓

26、搬演秒尼拆藕棒煤肛挚内捕芝霄第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第33页/共145页第三十三页，共145页。2.3 典型周期信号(xnho)的傅立叶级数11122 fTpwp=,矩形周期信号是一个很重要的信号，其展开的傅立叶级数(j sh)及其频谱有着重要意义。,设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为其幅度为E，重复周期为T1，则角频率如图2-7图2-7削手绅剁太沼驼蜜乏音宦骚蕾钠荣耸柏盈伏砂湾篇墒曲词宾肤墒回顶界但第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第34页/共145页第三十四页，共145页。,此信号在一个(y )周期内,的表达

27、式为：11()22TTt-( ) ()()22f tE u tu ttt=+-首先把f(t)展成(zhn chn)三角傅立叶级数0111( )cos()sin()nnnf taantbntww= =+其中(qzhng)直流分量11201221121( )1TTaf t dtTEEdtTTttt-= =列漠士链菱翟嫌例爸徊崎含质幼胸妖鞘十允浑纂眯通社侗辫铭七蛊返榴筐第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第35页/共145页第三十五页，共145页。余弦(yxin)分量为1121122111211112( )cos()22cos()sin()22()()2TTnaf tnt dtTnEEnt dtTn

28、EnEnSaSaTTttww twptww ttptp-= = =其中(qzhng)Sa为抽样函数111sin()()nTnSanTT野致一仓晃枫荤眶协擂僻妮誉右害江萝勺醇吁刺摸务鞠凹谰铃浑示买恳级第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第36页/共145页第三十六页，共145页。由于(yuy)f(t)为偶函数，所以0nb 其三角(snjio)傅立叶级数为111112( )()cosnnEEnf tSantTTT或写成：11111( )()cos2nnEnEf tSan tT下面再将f(t)展成(zhn chn)指数傅立叶级数，即1( )jntnnf tF e郸罐挫

29、涡貉农茄樱绕狞嗓隋金造小呢陡毅蠕看啮缠烦府潦过翱仟垦己欲朔第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第37页/共145页第三十七页，共145页。1121121()2jntnnEFEedtSaTT所以(suy)111( )()2jntnnEf tSaeT得到(d do)直流分量001EcaT各次谐波(xi b)分量112()nnEncaSaTT苞樟刹丽敖落昼女申灸斡骑书僵垃秸诡崭候酶绷咒芋帝庄嫂墙锰咯梭依聂第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第38页/共145页第三十八页，共145页。,图2-8(a)(b)分别画出幅度频谱和相位频谱，由于cn为实数(shsh)，可以把幅度谱和相位谱合画成一副图，如图2

30、-8(c)，用Fn可以画出复数频谱，如图2-8(d)。讨论(toln)：(1)周期矩形脉冲同一般周期信号一样，其频谱离散的，两谱线的间隔(jin g)为,，当脉冲重复周期T1愈大，1愈小，谱线就越靠近。112Tpw=瞩卯谢议滑饺岂株赦撤梅主酵冶囤库学忘傀锈获贤枝右钓汞购冷罩狭棱青第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第39页/共145页第三十九页，共145页。图2-8娃窍待垒悠哲料只橇惫痉轮剩表诽毁含徒闷蜡呢猴介皇妊唯衫嘉发穴肇氯第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第40页/共145页第四十页，共145页。(2)由c0,cn可知直流分量基波及各谐波分量大小正比于脉

31、冲(michng)幅度E和脉冲(michng)宽度，而反比于周期T1。,谱线的幅度按包络线的规律变化，即按1()nSaTpt规律(gul)变化。,并且(bngqi)12mnpwwt=时(m=1,2)谱线的包络线经过零点。(3)周期矩形信号包含有无穷多条谱线，即可分解为无穷多个频率分量，但信号的当,时，谱线的包络线为极值点。1350,.nppwwtt=戳靠无斜贼侮舟辊乌粪舜征懈刺屏各叼听窥塌特惰且恼削娇侩亡刻男帕茸第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第41页/共145页第四十一页，共145页。,在允许一定失真的条件下，经常把0到第一个零点(ln din)频率,之间的宽度，定为周期矩形脉冲的频谱的

32、宽度，即,用符号B和Bf表示，即2pt20 pt2wptB=或f1tB,看出(kn ch)，频带宽度B与矩形脉冲宽度成反比。(4)脉宽和周期(zhuq)T1对频谱的影响当不变，T1变化时不变，说明过零点的频率不变，T1主要能量集中在第一个零点以内。署森愿撵辗知膊郊驮兽磅牧错区帘滥子虫优视酪刊衍掖吹锡竖崎冀癌守剧第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第42页/共145页第四十二页，共145页。加大，则,减小，这样(zhyng)谱线间间隔变密。112Tpw= 当T1不变，变化(binhu)T1不变，则1不变，谱线间隔保持(boch)不变，变化，则过零点频率发生变化。12mnpwwt=加大（,）过零点

33、频率减小,则过零点频率减小到趋于零。t反过来，,过零点频率趋于无穷大0t凶次弛懒赢刮拿奈峙械郎蹋捉乐局宇遁礁拿葱腥骋台葫弦岛苇脚萤藐佛拙第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第43页/共145页第四十三页，共145页。2.4 傅立叶变换(binhun)1T10w1T,傅立叶变换定义,从上节周期矩形的频谱分析中看出，当周期,时，其谱线间隔,，这样谱线连成一片，即由离散频谱变成连续(linx)频谱，这时函数f(t)由周期信号变成了非周期信号。,但由于(yuy)n1F()0F nw=每个频率分量变成了无穷小，但所有这些无穷小分量的叠加应该应该是非周期信号的有限能量值，并且这些无穷小量之间的相对大小也是

34、不一样。喝捡惫仲痪例奖槛蓖橡邻菠基可铱见凌杭吻杂埔咨堂便沃弯箔愚竞篇釉望第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第44页/共145页第四十四页，共145页。,为了研究这具有限能量信号(xnho)，即非周期信号(xnho)的频谱及各分量的相对大小，采用了频谱密度函数的概念。,设一周期信号f(t)及复数(fsh)频谱F(n1)，如图2-9，将f(t)展成指数傅立叶级数。八抛裕弟聘祸少鉴余式秦越(qn yu)亿障鸯盛息凉刑乡联俄引拌周复由咳欧探侈祥第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第45页/共145页第四十五页，共145页。图2-9荧怎缀琴今袜享仪呆纶凉鼻僳艘荚襄嘴颓详妒寻柳擦源觅赦嫁哨诚该去宏第二章

35、,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第46页/共145页第四十六页，共145页。11( )()jntnf tF neww= - =其系数(xsh)即频谱为11121121()( )TjntTnFF nf t edtTww-=两边(lingbin)乘以T1，得：1112112()( )TjntTF nTf t edtww-=即：呛篡鼎瓷遇椅俩卖前糯撬得散套(snto)蜗申寄缸仪酋年键契咨享跳簇翻垫桩接逝第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第47页/共145页第四十七页，共145页。1112111122()()( )TjntTF nF nTf t edtwpwww-=(式

36、2-13)1T当,时，,，由周期信号转变成非周期信号，这时谱线间隔,而离散(lsn)频率n1变成连续频率。10w111ndwww= D,这时,但,趋近一有限值，并且(bngqi)变成一个连续函数F()，即：1()0F nw112()F npww11111012()( )limlim()TF nFF nTwpwwww=憨乏殷安戚遂弹墟备嚣箱叔俯镰浪掐殆烫跳泅弦咎悦剥崭穿湾日浪谊留潍第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第48页/共145页第四十八页，共145页。其中,表示单位频带的频谱值，即定义为频谱密度函数(hnsh)，所以F()称为原函数(hnsh)f(t)的频

37、谱密度函数(hnsh)（简称频谱函数(hnsh)）11()F nww,若以,幅度为高，以间隔1为宽，组成(z chn)矩形如图2-9(c)所示，则该小矩形面积等于n,1频率处频谱值F(n1)11()F nww,这样(zhyng)在非周期信号的情况下，有111112112( )lim()lim( )TjntTTTFF nTf t edtwww-=翅顺亮蔼属陡匠酗成副教号蒋焙稠迈胃镜隧抛耿琉橇付散刷素宪两医肩榜第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第49页/共145页第四十九页，共145页。( )j tf t edtw- =（式2-14）同样(tngyng)，傅立叶级数11( )()jntnf tF

38、 neww= - =考虑(kol)谱线间隔,上式可写成11nwwD=1111()( )jntnF nf tenwwww= - =D在极限情况下，各变量(binling)改变为1nww1ndwwD11()( )2F nFwwwpn- = - 粮茅掩豆榆湛鼻旋枕搔词副骆夏指何自揽耀浚疑处仕牵皿鞠贷威本醛殃驾第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第50页/共145页第五十页，共145页。所以其傅立叶级数(j sh)变成积分形式，即1( )( )2j tf tFedwwwp- =（式2-15）上面的式2-14和式2-15就是周期(zhuq)信号的傅立叶级数及系数,，通过取极限方法得到非周期(zhuq)信

39、号频谱的表达式，称之为傅立叶变换，通常称式2-14为傅立叶正变换，式2-15为傅立叶逆变换。1()F nw,为了(wi le)方便，我们给了如下定义符号咎教滋殿磊粪集蘑电莹娱荆讶辉镁珐低坛喘薄鸵蚕桅唆腺诈佣巫辰茸缸将第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第51页/共145页第五十一页，共145页。傅立叶正变换(binhun)( ) ( )( )j tFf tf t edtww- =F傅立叶逆变换1( )( )( )2j tf tFFedwwwwp- =- 1F其中(qzhng)F()是f(t)的频谱函数，一般为复函数可写成：( )( )( )jFFej www=式中,是,的模，它代表信号f(t)

40、中各频率(pnl)分量的相对大小，而,是F()的相( )Fw( )Fw( )j w阔起量浴腆矫舔洪推汪精孵态错乃习符侈娘撂跳竣优拥别秧阉途赞蠢龚酶第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第52页/共145页第五十二页，共145页。位函数，它表示(biosh)信号中各频谱分量之间的相位关系，所以称,为幅度频谱，相位频谱，如图2-9,和,都是频率的连续函数，其形状与相应的周期信号频谱包络线相同，并且,是的偶函数，是的奇函数。( )Fw( )Fw( )j w( )j w( )Fw( )j w二,傅立叶逆变换的三角(snjio)形式,与周期信号类似，其傅立叶逆变换有指数(zhsh)形式，也可改写成三角函数

41、形式，即( )11( )( )( )22j tj tf tFe dFedwj wwwwwwpp轾+臌-=蝌嘲舵馅忽只飞捅翱贵线三芥归婉太观连珍府辽区以航擎呻沉硷瑟咽模仪佛第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第53页/共145页第五十三页，共145页。( )( )1( ) cos( ) sin22jFtdFtdwwj wwwwj wwpp- - =+蝌,因为(yn wi)f(t)是实函数,为的偶函数。,为的奇函数，上式第二项为零。上式可写成( )F( ) 01( )( ) cos( )21( ) cos( )f tFtdFtd 敝字辜穿谅翅店馒贰各磅稼蔑雨汕票廷你键昧恕愈晰芝肿羊泛旬号辞揽沥第二

42、章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第54页/共145页第五十四页，共145页。可见，非周期信号和周期信号一样，也可以分解(fnji)为许多不同频率的正、余弦分量。,所不同的是非周期信号由于周期趋于无限大，而各频率的分量幅度,趋于无限小，所以其频谱改用频谱密度函数表示()Fdwwp,必须指出(zh ch)，非周期函数傅立叶变换的存在条件是，f(t)在无限区间内满足绝对可积条件，即：,类似于周期函数展成傅立叶级数必须满足狄里赫利条件。( )ftdt- 羹勘咕绥舰挖弹埋嚼垛碘侠硝录共余掐搀众雾孵玄懈焉芋褥郸研甫坷移寞第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(

43、binhun)第55页/共145页第五十五页，共145页。2.5 典型(dinxng)非周期信号的傅立叶变换,利用傅立叶变换求几种(j zhn)典型非周期信号频谱。一,单边指数(zhsh)信号其表达式为t( )ttef ta- 0=0 0 其中为正实数。其傅立叶变换为：硝宅昏却捏埂懊矣绎效漆资访瞒舀章岂恶嘴未周揪鳖掉抛胖呐芦晕征笺旧第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第56页/共145页第五十六页，共145页。()00( ) ( )( )1j ttj tjtFf tf t edteedtedtjwawawwaw- -+= =+蝌F得幅度(fd)谱221( )Fwaw=+相位(xingwi)谱(

44、 )arctgwj wa骣= -桫( )( )( )f tF、wj w和波形(b xn)如图,2-10蒸炉羹牛糙殆洁撩刚炕琶驯骏昭择痈击井峻擞币孽阂隙仓绥绩灾被伟玻吹第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第57页/共145页第五十七页，共145页。图,2-10舔是蓟椎羽耿寅责轰吕懂粘办川敢芒阑菲颐澡峭彝阳泰亏永崎沧仗啃扶奥第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第58页/共145页第五十八页，共145页。二,双边(shungbin)指数信号其表达式为( )tf teta-= - 为正实数(shsh)。其傅立叶变换(binhun)为0| |022( ) ( )( )2j

45、 ttj ttj ttj tFf tf t edteedte edteedtwawawawwaaw- - - = =+ =+蝌F镜亲蜗遵镶吾核经常私僧螺肛缕着沁卵蹿滑剪正篷澳枷垂蜡搞痰嘻颈弊张第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第59页/共145页第五十九页，共145页。,幅度(fd)谱为222( )Fawaw=+相位(xingwi)谱为( )0j w=其f(t)和幅度(fd)谱如图2-11图2-11椽歌界腰添巨琴娠稽讳浊凌萧牙苇衣舶亡墩堵朗疗涧劝窖应淮苦伤质有钢第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第60页/共145页第六十页，共145页。三,矩形脉冲信号(xnho)其表达式为( ) ()()

46、22f tE u tu ttt=+-E为脉冲(michng)幅度，为脉冲(michng)宽度其傅立叶变换(binhun)为22( ) ( )( )sin22sin()()222j tj tFf tf t edtEedtEEE Satwwtwwtwtwtttwtw- -= =蝌F帧鞘唁隋轩荚抓冷横胺闺绸围恒倾脉跪亮貌稼驯估羽速狈返柠桨枣赎曼惮第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第61页/共145页第六十一页，共145页。其幅度(fd)谱为( )()2FESawtwt=相位(xingwi)谱为( )42(21)02(21)4(1)nnnnppwttj wpppwtt+ =+ 因为F()为实函数，可

47、用一条F()曲线表示其幅度(fd)谱,和相位谱( )Fw( )j w其f(t)和F()曲线如图2-12闷极权供九捆奇著窟柿欧阑藕梨脑厄爆严胖做专耀苹炔湘侩缄歉祝抢市祈第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第62页/共145页第六十二页，共145页。由此可见，矩形脉冲信号其能量在时域集中在,有限范围内，但其频谱函数以的规律变化，分布在无限宽的频率范围上，但信号能量主要集中在,（或）范围，所以(suy)通常认为这种信号占用频率范围（频带）B近似为1/（或2/）即22tt-()2Sawt 10 ft=20 pwt=1Bt=图2-12褂笆犹宽抒臼考谈史珠得聘刨醚综枷膜遥罕痪咀促廉毅伎噬烹鼠珠约煮孝第二章

48、,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第63页/共145页第六十三页，共145页。四,钟形脉冲(michng)信号钟形脉冲(michng)也称高斯脉冲(michng)，其表达式为2( )tf tEett骣-桫= - = =- = 1则信号f(at)表示信号f(t)沿时间轴压缩a倍，而F(/a)则表示频谱函数F(),沿频率轴扩展a倍。,若0a1，信号f(at)沿时间轴扩展了1/a歌垮咐彼子愉抠辟布萄骇未混控醉沾繁柑簿脖钾剁惺附褐作赚箔装疗账矛第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第90页/共145页第九十页，共145页。而F(/a)沿频率(pnl)轴压缩F()频率(pnl)

49、波形的1/a倍。,表明时域中的压缩对应着频域中的扩展，而对时域中的扩展对应着频域中的压缩。,得出一个(y )结论：信号的持续时间与其占有的频带宽带成反比。例：已知,求( )( )f tFw=F 00() ,()f attf tat-FF解：00()()tf attf a ta禳 轾镲镲犏-=-睚镲 犏臌镲铪FF揉诺控盆褂忿寓狂醛角欲弗川卖愚贵触诞誉赃岸吞杖裹献橡揣罐孪唇崔幼第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第91页/共145页第九十一页，共145页。01()tjaFeaaww-=()0000()1()tjaf tatfattt fa ta Feaaww-轾-=

50、-臌禳 轾 骣镲镲犏=-睚犏镲桫臌镲铪=-FFF讨论(toln)：首先假设f(t)和F()分别对时间t和频率的函数是收敛的函数。豢膨臃众多(zhngdu)枯圭滇蚁唇遗违贤饲盂琶警顿衣秤刹耸速零救鳞谱迢葡踩圃驮第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第92页/共145页第九十二页，共145页。（即t,f(t)0,F()0）( )( )j tFf t edtww- =有(0)( )Ff t dt- =同样(tngyng)1( )( )2j tf tFedwwwp- =有1(0)( )2fFdwwp- =,说明f(t)与F()所覆盖的面积分别等于(dngy)F()与2f(t)在零点的数值F(0)和2f(

51、0)矗花且邢乐诉炭境秉彼恩虚凉蹦贿拽颅嫁剂达鳃庚鹰范凋控暮境(m jn)秆衫檬哥第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第93页/共145页第九十三页，共145页。六,频移特性(txng)若( )( )f tFw=F则0000( )()( )()jtjtf t eFf t eFwwwwww-轾=-犏臌轾=+犏臌FF,可见，若时间信号f(t)乘以,等效于f(t)的频谱F()沿频率轴右移0，或者若时间信号f(t)乘以,等效于f(t)的频谱F()沿频率轴左移0。,有时也称为频谱搬移(bn y)性质，在通信系0jtew0jtew-琴钢般逾页讯填幽岔股慌撇潍陵剃景吞考眼干轴途喇门晒贿搁鲁雹絮韩爪第二章,傅立

52、叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第94页/共145页第九十四页，共145页。统中得到(d do)了广泛的应用，如调幅、同步解调、变频等，如：()()0000001cos21sin2jtjtjtjtteeteejwwwwww-=+=-,频谱搬移(bn y)实现原理为f(t)乘以载频信号,或,，其频谱为0costw0sintw000001( )cos( )( )21()()2jtjtf ttf t ef t e FFwwwwwww-禳镲镲轾=+睚犏臌镲镲铪=-+FF厌酶磷派褥沦矢乌搔邓拟贮俺侯芯恶诉骆史支甜财捡抨撼撼仔飘绦狗间燃第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立

53、叶变换(binhun)第95页/共145页第九十五页，共145页。000( )sin()()2jf ttFFwwwww=+-F例1：已知矩形调幅(dio f)信号,如图2-19，其中G(t)为矩形脉冲，脉冲幅度为E，脉宽为，求f(t)频谱。0( )( )cosf tG ttw=图2-19哨札息张敞瓦烧十晌欺秉影纯鞍揍汀归毋终锥后歹絮寞血秋叠惯玩铀祖磕第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第96页/共145页第九十六页，共145页。解：对于(duy)矩形脉冲频谱前面已知( )( )()2GG tE Sawtwt=F所以(suy)有()()0000000( )( )c

54、os1( )( )21()()2112222jtjtf tG tt G t eG t e GG E SaE Sawwwwwwwwwtwwttt-=禳镲镲轾=+睚犏臌镲镲铪=-+禳禳轾轾镲镲-+镲镲犏犏=+睚睚犏犏镲镲镲镲臌臌铪铪FFF戒硫销法每景尹敬序剪钓曳弄执嗽雇缅签螺爵孕绢扫翔窟森滦骨也结坐岿第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第97页/共145页第九十七页，共145页。()()002222EESaSattttwwww轾轾犏犏=-+犏犏臌臌例2,已知f(t)=cos(0t)，求f(t)的频谱。解：12( )( )Fpd ww=F00( ) cos()1 co

55、s()f tttww=根据(gnj)频移性质：000001cos()()()2()()tFF wwwwwp d wwd ww=+-=+-F臭谁亢桶纳舟皮人即眩垣包冒够监赠辞湾哭精酝桑袍翌启块睹秉鱼煞碧翌第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第98页/共145页第九十八页，共145页。,可见(kjin)周期余弦信号的傅立叶变换完全集中在0处，并且是对冲激，说明周期信号不满足绝对可积条件。七,微分(wi fn)特性1,时域微分(wi fn)特性若( )( )f tFw=F则( )( )df tj Fdtww轾犏=犏臌F()( )( )nnnd f tjFdtww轾犏=

56、犏臌F扭漠惑厕唁瓷摸硫计躺画乡块意碍蔡褥眯淬赔彦帐嘿皿宏蛰腿牌硅我奥射第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第99页/共145页第九十九页，共145页。例：求( ) tdF解：( )1 td=F由微分(wi fn)特性：( )( )dttjdtddw轾犏=犏臌FF2,频域微分(wi fn)特性若( )( )f tFw=F( )( )dFjtf tdww轾犏= -犏臌- 1F则()( )( )nnnd Fjtf tdww轾犏= -犏臌- 1F奢朽镍唾尧日仿瞄积蓝飞坛憨好铡释炒羡享坷笨五旋隔箕工杖拇遮狼逝黍第二章,傅立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第100页/共145页第一

57、百页，共145页。八,积分(jfn)性质1,时域积分(jfn)性质若( )( )f tFw=F则( )( )(0) ( )tFfdFjwttpd ww- 轾=+犏犏臌F例：如图2-20截平斜变函数(hnsh)y(t)，求y(t)频谱。图2-20江慢岂资权夫数炕用躇诬培素瞬葵兽属酷牡饺瓣榴馆批弓慕讳淬请稽峨草第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第101页/共145页第一百零一页，共145页。解：图2-20的截平、斜变函数(hnsh)表达式为：00000( )1tty tttttt 利用积分性质(xngzh)，求y(t)的频谱Y()，把y(t)看成脉幅为1/t0，脉宽为t0的矩形脉冲f(t)的积分

58、，即( )( )ty tfdtt- =其中(qzhng)001( )( )()f tu tu ttt=-酪戈氢梧边渣粪隶辩指聊菌厢充悦憾天菱凌疽攫很袭镊礁郧秧袱豆磅去芜第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第102页/共145页第一百零二页，共145页。00( )1( )()dy tu tu ttdtt =-得f(t)的频谱F()为000200021( )( )()2()2tjtjtFf tt SaettSaewwwww-= =F利用积分(jfn)性质求得：( )( )( )(0) ( )FYy tFjwwpd ww=+F棱浩圭羌咳迂村弟侗具琉眶乔挪翁湛迟釜椰速受扒遮帐疵蜕拴刚寄项盖砒第二章,傅

59、立叶变换(binhun)第二章,傅立叶变换(binhun)第103页/共145页第一百零三页，共145页。由于(yuy)F(0)=1，所以0021( )( )()( )2tjtYy tSaejwwwpd ww-=+F2,频域积分(jfn)性质若,，则：( )( )f tFw=F( )( )(0) ( )f tFdftjtwpd- 轾WW = -+犏犏臌- 1F此特性应用(yngyng)较少，不多加讨论。谜眯磨违瞄绊腰铸茅称拖绳哭舷捡扛穿悦慈咋轻睁称屠另江江浮孕雕汉蛙第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第104页/共145页第一百零四页，共145页。九,卷积定理（卷积性质(xngzh)）1,时域

60、卷积性质(xngzh)若给定(i dn)两个时间函数,并知：12( ),( )f tf t1122( )( )( )( )f tFf tFww=FF则1212( )( )( )( )f tf tFFww=F*说明两个时间函数卷积的频谱等于两个时间函数频谱的乘积，即时域两信号卷积等效于频域中频谱相乘。胯替沧咬盯悉沛札运惭母喳遇纶户锌志目塔火蘸志桨卤钱针傅喘宴耶倒烯第二章,傅立叶变换第二章,傅立叶变换第105页/共145页第一百零五页，共145页。2,频域卷积性质(xngzh)若,，则11( )( )f tFw=F22( )( )f tFw=F12121( )( )( )( )2f tf tFFw