ch有理函数的不定积分及其应用PPT学习教案

1、会计学1ch有理函数的不定积分及其应用有理函数的不定积分及其应用有理函数的定义：有理函数的定义：两个两个多项式的商多项式的商表示的函数称为表示的函数称为有理函数有理函数. .nnnnmmmmbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；maaa,10及及nbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b. 第1页/共33页假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(nm 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(nm 这有理函数是这有理函数是假分式假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, , 假分式可以化成

2、一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和. .例例1123 xxx.112 xx要点要点 将有理函数化为将有理函数化为部分分式部分分式之和之和.第2页/共33页真分式化为部分分式之和的待定系数法真分式化为部分分式之和的待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1第3页/共33页2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,

3、0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2第4页/共33页例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得第5页/共33页例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.|1|ln11|lnCxxx 解解第6页

4、/共33页)()()(210nnsxsxsxbxQ 1、实、实系数多项式的分解问题系数多项式的分解问题(理论上理论上)（1）在复数范围内可分解为一次的乘积）在复数范围内可分解为一次的乘积 ( 代数基本定理代数基本定理: n 次代数方程在复数域内有次代数方程在复数域内有n个根个根 )ntttsxsxsxbxQktkttnk 21210)()()()(21（2）在实数范围内可分解为一次和）在实数范围内可分解为一次和(或或)二次的乘积二次的乘积. 04, 04,22)()( )()()(22220 srqpnsrxxqpxxbxaxbxQn 第7页/共33页（1）分母中若有因式分母中若有因式 ，则分

5、解后为，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 2、有理函数、有理函数化为部分分式之和的一般规律化为部分分式之和的一般规律其中其中kAAA,21都是常数都是常数.特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;axA 真分式的分子可以是常数到比分母低一次的多项式真分式的分子可以是常数到比分母低一次的多项式第8页/共33页（2）分母中若有因式分母中若有因式 ，其，其中中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM ,都是常数都是常数), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1

6、 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 第9页/共33页说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只有将有理函数化为部分分式之和后，只有三类情况出现：三类情况出现：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分讨论积分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 23 3、利用、利用待定系数法将待定系数法将真分式化为部分分式之和真分式化为部分分式之和第10页/共33页,422pqa ,2MpNb 则则 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 记记第11页/共33

7、页, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn这三类积分均可积出这三类积分均可积出, , 且且原函数都是初等函数原函数都是初等函数. .结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. ., 1)1( n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 第12页/共33页例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251|21|ln52.arctan51)1ln(51|21|ln522

8、Cxxx 第13页/共33页例例6 6 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136第14页/共33页Ctttt arctan3)1ln(23|1|ln3|ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23|1|ln3|ln6 ttdttttd 2221131)1(第15页/共33页课堂练习：课堂练习： 求积分求积分 dxx11. 14 dxx11. 24) 12)(12(2) 1

9、(2121222222244 xxxxxxxxxx.121222 dxxxDCxxxBAx.1112 dxxDCxxBxA第16页/共33页三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2xx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx xcos令令2tanxu xsin,2sin2cos22xx 1 1、三角函数有理式、三角函数有理式第17页/共33页2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,

10、12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能代换公式）（万能代换公式）第18页/共33页例例7 7 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能代换公式由万能代换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222第19页/共33页duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2

11、tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 第20页/共33页例例8 8 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 第21页/共33页解（二）解（二）修改万能代换公式修改万能代换公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 第22页/共33页解（三）解

12、（三）可以不用可以不用万能公式万能公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能置换不一便知万能置换不一定是最佳方法定是最佳方法, 故三角有理式的计算中故三角有理式的计算中先考虑其它手段先考虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已才用万能置换.思考：能否用其他方法求例思考：能否用其他方法求例7？第23页/共33页讨论类型讨论类型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例9 9 求积分求积分

13、dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 第24页/共33页,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 第25页/共33页例例1111 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.第26页/共33页u简单无理式的积分简单

14、无理式的积分 ( (换元换元) )u有理函数的有理函数的积分积分 ( (分解成部分分式之和分解成部分分式之和) )（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）u三角有理式的积分（三角有理式的积分（万能置换公式万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）第27页/共33页补充补充1: 1: 有理函数的积分的实际问题有理函数的积分的实际问题障碍障碍: : 五次和五次以上的方程没有根式解五次和五次以上的方程没有根式解. .Gauss, 高斯高斯, 德国德国, 17771855;Cauchy, 柯西柯西, 法国法国, 17891857;Liouville, 刘维尔刘维尔, 法

15、国法国, 18091882;Abel, 阿贝尔阿贝尔, 挪威挪威, 18021829;Galois, 伽罗瓦伽罗瓦, 法国法国, 18111832.第28页/共33页)1|0(sin1. 4ln1. 3sin. 2. 1222 kdxxkdxxdxxxdxex补充补充2: 2: 原函数不是初等函数的积分原函数不是初等函数的积分概率积概率积分分正弦积正弦积分分对数积对数积分分椭圆积椭圆积分分椭圆函椭圆函数数反函数反函数18341834年刘维年刘维尔尔第29页/共33页 作作 业业P269: 1(1,5,9,10,12,14), 2, 4(1,4,6,9), 6(2,6,7,10,11,12),7.第30页/共33页扩展扩展 求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2s