ch二阶常系数线性微分方程PPT课件

1、2021-12-81.)()(xfyn 解法: 只要连续积分 n 次即得通解 . 复习特点特点: :右端仅含有自变量右端仅含有自变量 x2(.,)yf x y 型型特点：特点：解法：解法：.y不显含未知函数不显含未知函数.Py 则则3(.,)yf y y 型型,ddddddyPPxyyPy 则则特点：特点：.x右端不显含自变量右端不显含自变量解法：解法：第1页/共49页2021-12-8二阶线性微分方程的标准形式由线性微分方程解的结构知:非齐次线性微分方程的通解 y= 对应齐次线性微分方程的通解 Y + 非齐次线性微分方程的一个特解 y*,0)(时时当当 xf二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次

2、微分方程/,0)(时时当当 xf特点:方程左边关于 y, y 及 y 都是一次的v v 第2页/共49页2021-12-8二阶线性齐次方程定理定理1 1注意注意: :定义: :若在区间 I 上有常数， )()(21xyxy则称函数)(1xy与)(2xy在 I 上线性无关.v v v 第3页/共49页2021-12-8第七节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程 第四章第四章 第4页/共49页2021-12-8一、二阶常系数齐次线性微分方程1 1、定义n阶常系数阶常系数线性微分方程的线性微分方程的标准形式标准形式二阶常系数齐次二阶常系数齐次线性微分

3、方程的线性微分方程的标准形式标准形式二阶常系数非齐次二阶常系数非齐次线性微分方程的线性微分方程的标准形式标准形式 其中 p, q 为常数第5页/共49页2021-12-82、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入(1), 得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有为为(1)的特征方程的特征方程,2422,1qppr 特征根Euler指数法rxey 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. .第6页/共49页2021-12-8(1)(1)特征方程特征方程有有两个不相等两个不相等的实根的实根,2421qppr ,2422qppr 两个线

4、性无关的特解为:得齐次方程的通解为特征根为根据p2-4q 的值，可分三种情况：第7页/共49页2021-12-8(2)(2)特征方程特征方程有有两个相等两个相等的实根的实根,221prr 一特解为得齐次方程的通解为代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知则则2y设设另另一一特特解解为为特征根为xrexu1)( ？第8页/共49页2021-12-8(3)(3)特征方程特征方程有有一对共轭复根一对共轭复根,1 ir ,2 ir ),sin(cos)(1xixeeyxxi 重新组合)(21211yyy )(21212yyiy 得

5、齐次方程的通解为特征根为),sin(cos)(2xixeeyxxi 第9页/共49页2021-12-8 二阶常系数齐次方程 求通解的一般步骤:(1) 写出相应的特征方程:(2) 求出特征根:(3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解.v 特征根的情况 通解的表达式 实根21rr 实根21rr 复根 ir 2,1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 第10页/共49页2021-12-8解解特征方程为例例1 1解得故所求通解为.421xxeCeCy 解解特征方程为例例2 2解得故所求通解为.)(221xexCCy 第11页/共49页2021-1

6、2-8解解特征方程为解得故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3第12页/共49页2021-12-8微分方程定义微分方程定义注意注意: : 未知函数的导数( (或微分) )不能缺少！不能缺少！凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .v 微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶. .v ( (与函数及其导数的几次方无关) ) 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. . 微分方程的解微分方程的解 v 复习第13页/共49页2021-12-8微分方程的解的分类微分方程的解的分类(1)(1)通解通解: : 微分方

7、程的解中含有微分方程的解中含有独立的独立的任意常任意常 数数, ,且任意常数的且任意常数的个数个数与微分方程的与微分方程的阶数相同阶数相同. .(2)(2)特解：特解：确定确定 通解中通解中 任意常数后的解任意常数后的解. .v 齐次方程解法称为可分离变量的微分方程.)()(ddygxfxy 形如形如的方程的方程v v 一阶线性齐次方程0( )dyP x ydxv 第14页/共49页2021-12-8 利用公式应注意:1. 方程应化为标准型 .正确选择 P(x) 和 Q(x) .2. 对公式中的不定积分求解后不再加C .3. e lnP(x) , e - lnP(x) 等要化简.d( )( )

8、dyP x yQ xx4. 公式右边括号内外都有“ln| . |”时，绝对值可去掉.1ln ln xxeedxCx例:第15页/共49页2021-12-8)()(xfyn 解法解法: 只要连续积分 n 次即得通解 .特点特点: 右端仅含有自变量 x( ,)yf x y 型特点：特点：解法：解法：.Py 则则( ,)yf y y 型特点：特点：解法：解法：ddddddddPPyPyPxyxy 则则v v v 不显含未知函数 y ，但显含 x .但显含 y .方程不显含 x ，()yf y 型特点：特点：v 方程不显含 x与y 第16页/共49页2021-12-8二阶线性齐次方程定理定理1 1注意

9、注意: :定义: :若在区间 I 上有常数， )()(21xyxy则称函数)(1xy与)(2xy在 I 上线性无关.v v v 第17页/共49页2021-12-8 二阶常系数齐次方程 求通解的一般步骤:(1) 写出相应的特征方程:(2) 求出特征根:(3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解.v 特征根的情况 通解的表达式 实根21rr 实根21rr 复根 ir 2,1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 第18页/共49页2021-12-8特征方程为特征方程的根通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复

10、根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n (参见参见书书P296)第19页/共49页2021-12-8解解特征方程为解得故所求通解为).sincos(3231xCxCeCyx 例例1 1第20页/共49页2021-12-8解解特征方程为解得故所求通解为).2sin2cos(4321xCxCexCCyx 例例2 2第21页/共49页2021-12-8思考题解答思考题解答, 0 y ,ln22yyyyy ,lnyyyx 令yzln 则, 0 zz特征根1 通解xxeCeCz 2

11、1思考题思考题求微分方程 的通解. yyyyyln22 第22页/共49页2021-12-8二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式由线性微分方程解的结构知:非齐次线性微分方程的通解 y= 对应齐次线性微分方程的通解 Y + 非齐次线性微分方程的一个特解 y*第23页/共49页2021-12-8二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构, yYyf (x) 常见类型常见类型,)(次多项式次多项式的的为为设设mxxPm难点难点：如何求特解？方法方法：待定系数法.1.( )mPx( );xmPx e 0 xe.sin)(,

12、cos)(. 2xexPxexPxmxm 3.以上两种的混合型第24页/共49页2021-12-8)()(xPexfmx 1 1、 型设非齐次方程特解为代入原方程，得以下确定以下确定Q(x)的次数的次数111211120()()r xr xr xu erp u erprq ue2y设设另另一一特特解解为为xrexu1)( 0ypyqy将将其其代代入入方方程程得得，22( )() ( )() ( )( )xxxxmQ x ep Q x epq Q x eP x e22( )()( )() ( )( )mQ xp Q xpq Q xPx回顾第25页/共49页2021-12-8)()(xPexfmx

13、 1 1、 型设非齐次方程特解为代入原方程，得)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不不是是特特征征方方程程的的根根，若若 )1(),()(xQxQm 可可设设是是特特征征方方程程的的单单根根，若若 )2(),()(xQxxQm 可设可设.)()(同同次次的的多多项项式式为为与与其其中中xPxQmm以下确定以下确定Q(x)的次数的次数方程两边必须是同次多项式则Q(x) 与Pm (x)同次则Q(x) 与Pm (x)同次第26页/共49页2021-12-8是是特特征征方方程程的的重重根根，若若 )3(),()(2xQxxQm 可可设设综上讨论综上讨论 是重根是重根是单根是单根不是根

14、不是根2,10k注意注意 上述结论可推广到 n 阶常系数 非齐次线性微分方程（k是重根次数）.)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 其特解可设为：其特解可设为： ( (可可以以注注: :是是复复数数) )则Q(x) 与Pm (x)同次即 Q(x) m+2次 设第27页/共49页2021-12-8综上讨论综上讨论 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k其特解可设为：其特解可设为：( )mypyqyPx 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2.10k000特殊：例例1 1y = = ax+bxex( )xe ( (可可以以注注: :是是复复数数) )1 c第28页/共49

15、页2021-12-8例例1 1解解特征方程, 0122 rr特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY 设原方程的特解为*2()xyxaxb e,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 对应齐次方程为,1是二重根是二重根 代代入入原原方方程程比比较较系系数数得得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm (技巧)第29页/共49页2021-12-8代代入入原原方方程程比比较较系系数数得得将将)(,)(,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为,262

16、3*xxexexy 故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy ,6)1()(3221xexxCCCy 特解为,)(2*xebaxxy , 1)652(21 eCC, 1)1( y, 1)31(21 eCC, 1)1( y第30页/共49页2021-12-8, 1)1( y, 1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由解得 ,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey , 1)1( y, 1)31(21 eCC.26)(2321xxxexexexCCy 第31页/共49页2021-12-8

17、2 2、 型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ()()( )( ),ixixmmPx ePx e,)(1ximkeQxy 利用欧拉公式利用欧拉公式由由情形情形1 1结果可设结果可设可借助情形1 的结论,max)(),(nlmmxPxP 次次复复系系数数多多项项式式的的互互为为共共轭轭mmm2222()()()()ixixlnlnPPPPi ei e第32页/共49页2021-12-8,)(1ximkeQxy 特特解解ximximxkeQeQ

18、exy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 12( )( )( ),( )mmRxRxm其其中中是是 次次 nlm,max 01iki 不不是是根根是是根根注意注意可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,)(1ximkeQxy 特特解解解的叠加原理mm2 2、 型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx (特殊情形特殊情形)实系数多项式( )(cossin)( )(cossin)kxmmx eQxxixQxxix ( )( )cos( )( ) sinkxmmmmx eQxQxxQxQx ix 第33页/共49页2021-12-8,sin)(cos)()()2(

19、xxPxxPexfnlx 次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max 01iki 不不是是根根是是根根解解2wii ()cos2()sin2yaxbxcxxd 故故例例1 1特征方程210,r 特征根12ri ri ，02 ，不是根0( cos20sin2 )xxxx e第34页/共49页2021-12-8解解例例2 2,2 不是特征方程的根不是特征方程的根ii .2sin)(2cos)(*xdcxxbaxy 设特解为设特解为得得代入方程代入方程 ,2cos2sin)433(2cos)433(xxxadcxxcbax 对应齐次方程为, 0 yy特征方程

20、为, 012 r对应齐次方程通解为,sincos21xCxCY 特征根,2, 1ir . 0)(,)(20 xPxxPnl， 第35页/共49页2021-12-8 , 043, 03, 043, 13adccba，得，得比较两端同类项的系数比较两端同类项的系数 940031dcba解解得得.2sin942cos31sincos21xxxxcxcy 从而所求的通解为从而所求的通解为.2sin942cos31*xxxy 第36页/共49页2021-12-83、小结可可以以是是复复数数） (),()()1(xPexfmx 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2.10k二阶常系数非齐次微分方程特解形

21、式：(待定系数法)第37页/共49页2021-12-8,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx 次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max 01iki 不不是是根根是是根根第38页/共49页2021-12-8例例3 3解解特征方程, 042 r特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 混合型第39页/共49页2021-12-8由，04 b，214 a解得，0

22、 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 ,2cos212sin42cos4xxcxd 第40页/共49页2021-12-8故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由，04 c，214 d即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 第41页/共49页2021-12-8例例4 4解解(1)由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxxp 第42页/共49页2021-12-8(2)原方程为.313xyxy , 1221的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解程程是是原原方方程程对对应应的的齐齐次次方方显显见见xyy 是原方程的一个特解，是