ch脉冲响应不变法和双线性变换法PPT学习教案

1、会计学1ch脉冲响应不变法和双线性变换法脉冲响应不变法和双线性变换法2 2第第4章章 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计第1页/共54页(1) 将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器的设计。(2) 设计满足技术指标的模拟滤波器。(3) 将模拟滤波器转换为数字滤波器。IIR数字滤波器设计的基本思想数字滤波器设计的基本思想W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)频率频率变换变换设计模拟设计模拟滤波器滤波器脉冲响应脉冲响应不变法不变法双线性变换法双线性变换法3第2页/共54页4 问题的提出问题的提出 脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法的基本原理 脉冲响应不变法设计脉冲响应不变法设计D

2、F的的步步骤骤 4.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 (Impulse Invariance)4第3页/共54页5 5如何将如何将模拟滤波器模拟滤波器转变为转变为数字滤波器数字滤波器?1. 脉冲响应不变脉冲响应不变法法2. 双线性变换法双线性变换法W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)频率频率变换变换设计模拟设计模拟滤波器滤波器AF到到DF的转换的转换第4页/共54页6 6 对模拟滤波器的单位冲激响应对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽等间隔抽样样来获得数字滤波器的单位脉冲响应来获得数字滤波器的单位脉冲响应hk kTtthkh)(脉冲响应不变法由脉冲响应不变法由H(s)获得

3、获得H(z)步骤步骤:1对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。2对h(t)等间隔抽样得到hk。 3计算hk的z变换得到H(z)。 第5页/共54页7 7H(s)h(t)hkH(z)拉氏反变换拉氏反变换抽样抽样t=kTz变换变换1111( )( )( )lMMp tlllllAh tLH sLAeu tsp对h(t)等间隔抽样得1 () lMp kTllh kh kTAeu k11( ) 1lMlpTlAH zZ h kez脉冲响应不变法由脉冲响应不变法由H(s)获得获得H(z)步骤步骤: :-lp模拟滤波器极点为lpTe数字滤波器极点为第6页/共54页8 8 脉冲响应不变法由脉冲响应

4、不变法由H(s)获得获得H(z) H(s)h(t)hkH(z)拉氏反变换拉氏反变换抽样抽样t=kTZ变换变换1( )MlllAH ssp11 ( )1lMlpTlAH zez1111lpTlspez 第7页/共54页9 9H(ejW W)和和H(jw w)的关系的关系1212()=()jnnnnH eHjHjTTTTwWW无混叠时：1()(),jH eH jTTWWW 数字滤波器在W点的频率响应和模拟滤波器在w 点的频率响应只差一个常数因子1/T。 数字频率数字频率W W与模拟频率与模拟频率w w的关系为的关系为W W w wT第8页/共54页例例1: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为设一阶模

5、拟低通滤波器的系统函数为cc)(wwssH利用脉冲响应不变法求利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出，并分别画出AF与与DF的幅度响应。的幅度响应。cc1( )1TH zezwwcc()1jTjH eeewwW W解：解：cc()H jjwwww利用利用H(s) 与与H(z)的映射关系，可得的映射关系，可得AF与与DF的频率响应分别为的频率响应分别为其中其中W W w wT，抽样频率为，抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下的幅度响应如下10第9页/共54页例例1: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为设一阶模拟低通滤波器的系统函数为cc)(wwssH利用脉冲响应不变法求利用脉冲响应不变法求H

6、(z)，并分别画出，并分别画出AF与与DF的幅度响应。的幅度响应。解：解：051015202500.81HzDFAF fsam=50 Hz11第10页/共54页例例1: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为设一阶模拟低通滤波器的系统函数为利用脉冲响应不变法求利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出，并分别画出AF与与DF的幅度响应。的幅度响应。02040608010000.81HzDFAFfsam=200 Hzcc)(wwssH12第11页/共54页1313脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点 缺点：缺点：存在频谱混叠，故不能用存在频谱混叠，故不能用脉冲

7、响应不变法脉冲响应不变法 设计设计高通、带阻高通、带阻等等滤波器。滤波器。 优点：优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性W W w wT第12页/共54页14脉冲响应不变法设计脉冲响应不变法设计DF的的步骤步骤将数字滤波器的频率指标将数字滤波器的频率指标 W Wk 转换转换 为模拟滤波器的频率指标为模拟滤波器的频率指标 w wk 2. . 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3. 利用脉冲响应不变法，将利用脉冲响应不变法，将H(s)转换转换H(z)。kkTw WW Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(

8、z)w w=W W/T设计模拟设计模拟滤波器滤波器脉冲响应脉冲响应不变法不变法14第13页/共54页15脉冲响应不变法设计脉冲响应不变法设计DF的的步骤步骤numd, dend = impinvar(numa, dena, Fs)numa,dena：AF分子、分母多项式的系数向量Fs=1/T：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量脉冲响应不变法的脉冲响应不变法的MATLAB实现实现15第14页/共54页解：解：(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标将数字低通指标转换成模拟低通指标w w=W W / T。w wpp p, w wsp p, Ap 2dB, As 15dB (

9、2) 设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器 （BW型）型）0.10.1101lg1012lg()psAApsNww=2c0.11/(2)(101)ppANww12)(1)(c2cLwwsssH20.51621.01610.5162ss16第15页/共54页(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 极点为极点为s1= j, s2= 0.5081 j利用利用 1111isTissez 可得可得DF的系统函数为的系统函数为1120.2974( )1 1.05140.3620zH zzzL120.50810.5081( )jjHsssss17第16页/共54页%

10、Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF BW LP specficationWp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15;Fs=1; %Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs;%determine the order of AF filterN=buttord(wp,ws,Ap,As,s);%determine the 3-db cutoff frequency of BW filter fro

11、m pass-band specficationwc=wp/(10(0.1*Ap)-1)(1/N/2);%determine the AF-BW filter numa,dena=butter(N,wc,s);18第17页/共54页 %determine the DF filter numd,dend=impinvar(numa,dena,Fs); %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); norm=max(abs(h); numd=numd/norm; plot(w/pi,20*log1

12、0(abs(h/norm); xlabel(Normalized frequency); ylabel(Gain,dB); %computer Ap As of the designed filter w=Wp Ws; h=freqz(numd,dend,w); fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1); fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2);19第18页/共54页01-18-16-14-12-10-8-6-4-20Normalized frequencyGain,dB

13、ApAs20第19页/共54页21 双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理 双线性变换法设计双线性变换法设计DF的的步骤步骤4.4 双线性变换法双线性变换法21第20页/共54页2222原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统)()(d)(dtxtaytty(1)(1)(1)d ( )( )( )dkTkTkTkTkTkTy tdtay t dtx t dttassH1)( 1kyky 12Ty ky k 12Tx kx k用梯形面积用梯形面积近似积分近似积分第21页/共54页23原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统原理：利用数值积分将模

14、拟系统变换为数字系统23(1) (1) 1 1222aTaTTy ky kx kx k1111(2)(1)1( )2 1(12)(12)1TzH zzaTaTzaTz将将H(z)和和H(s) 比较可得比较可得)()(d)(dtxtayttyassH1)(11211( )( )zsTzH zH s第22页/共54页2424稳定性分析稳定性分析11112zzTssTsTz222222(2)(2)TzTww令令s= +jw w，则有，则有第23页/共54页25251 1 0,0,|z| 0,0,|z|1S域虚轴映射到域虚轴映射到z域单位圆上域单位圆上S域右半平面映射到域右半平面映射到z域单位圆外域单

15、位圆外因果因果、稳定的稳定的AF系统映射为因果系统映射为因果、稳定的稳定的DF系统系统稳定性分析稳定性分析2222(2)(2)TzTww第24页/共54页262611112zzTs1212TszTs令s=jw，z=ejW ，则有22222 122tan12jjjjjjeeejjTeT eeTwW2tan()2TwW W和和w w 的关系为的关系为W W和和w w 的关系的关系第25页/共54页27)2/tan(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww27双线性变换的频率非线性对双线性变换的频率非线性对DF幅度响应的幅度响应的影响影响第26页/共54页2828双线性变换法的优缺点双

16、线性变换法的优缺点缺点：缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真幅度响应不是常数时会产生幅度失真优点：优点：无混叠无混叠第27页/共54页29双线性变换法设计双线性变换法设计DF的的步骤步骤将数字滤波器的频率指标将数字滤波器的频率指标 W Wk 转换转换 为模拟滤波器的频率指标为模拟滤波器的频率指标 w wk 2. . 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3. 利用双线性变换法，将利用双线性变换法，将H(s)转换转换H(z)。)2tan(2kkTWw11112)()(zzTssHzH29第28页/共54页30W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H

17、(z)设计模拟设计模拟滤波器滤波器双线性变换双线性变换numd,dend = bilinear(numa,dena,Fs)：AF分子、分母多项式的系数向量Fs：抽样频率：DF分子、分母多项式的系数向量利用利用MATLAB2tan()2TwW11211( )( )zsTzH zH s30双线性变换法设计双线性变换法设计DF的的步骤步骤第29页/共54页解：解：设双线性变换中的参数为设双线性变换中的参数为T(1) 将将DF的频率指标转换为的频率指标转换为AF的频率指标的频率指标)2tan(2ppWwT(2) 设计设计3dB截频为截频为w wp的一阶的一阶BW型模拟低通滤波器，即型模拟低通滤波器，即

18、N=1, w wc = w wp1( )1cH ssw11psw故故112tan(2)psTW31例例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计 一个一个3dB截频为截频为W Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响的数字低通滤波器，并与脉冲响 应不变法设计的应不变法设计的DF比较。比较。第30页/共54页解：解：设双线性变换中的参数为设双线性变换中的参数为T(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器 结论：参数结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。的取值和最终的设计结果无关。 为简单起见，一般取为简

19、单起见，一般取T=2。 1( )12tan(2)pH ssTW11tan(2)(1)( )1tan(2)tan(2) 1pppzH zzWWW11112zzTs32例例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计 一个一个3dB截频为截频为W Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响的数字低通滤波器，并与脉冲响 应不变法设计的应不变法设计的DF比较。比较。第31页/共54页解：解：双线性变换法设计的双线性变换法设计的DF的系统函数为的系统函数为脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为的系统函数为pp11( )1eHzezWW脉取取W Wp

20、 ，令，令z=ejW W ，可分别获得两者的幅度响应。，可分别获得两者的幅度响应。33例例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计 一个一个3dB截频为截频为W Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响的数字低通滤波器，并与脉冲响 应不变法设计的应不变法设计的DF比较。比较。11tan(2)(1)( )1tan(2)tan(2) 1pppzHzzWWW双第32页/共54页00.6100.71Normalized frequencyAmplitude脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法W Wp 脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的脉冲响

21、应不变法存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的不满足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的DF满足给定指标。满足给定指标。 34例例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计 一个一个3dB截频为截频为W Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响的数字低通滤波器，并与脉冲响 应不变法设计的应不变法设计的DF比较。比较。第33页/共54页H双双(z)和和H脉脉(z)幅度响应比较的幅度响应比较的MATLAB实现实现Wp=0.6*pi;b=1-exp(-Wp);b1=tan(Wp/2)*1 1;a=1 -e

22、xp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1) );xlabel(Normalized frequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0 0.7 1);set(gca,xtick,0 Wp/pi 1);grid;35例例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计 一个一个3dB截频为截频为W Wp的数字低通滤波器，

23、并与脉冲响的数字低通滤波器，并与脉冲响 应不变法设计的应不变法设计的DF比较。比较。第34页/共54页解：解：(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标，取将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2 Ap2db, As15db (2) 设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器 （BW型）型）0.10.1101lg1012lg()psAApsNww=2)2/(11 . 0sc) 110(sNAww=0.8013 12)(1)(c2cLwwsssH9324. 0)2tan(2ppWwT4376. 1)2tan(2ssWwT20.64211.13320.6421ss36第35页/共54页解：解：(3) 用

24、用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 11112)()(zzTssHzH12120.23140.46270.23141 0.25800.1834zzzz37第36页/共54页%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF BW LP specficationWp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15;T=2;Fs=1/T; %Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*

25、tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-dB cutoff frequency N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,wc,s)38第37页/共54页%determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd

26、,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1 -50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,dB);%computer Ap As of the designed filterw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1);fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2);39第38页/共54页01-50-45-40-35-30-

27、25-20-15-10-50Normalized frequencyGain,dbApAs40第39页/共54页01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized frequencyGain,dB将将双线性变换法与脉冲响应不变法所双线性变换法与脉冲响应不变法所设计设计DF的结果比较。的结果比较。双线性变换双线性变换ApAs脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法脉冲响应不变脉冲响应不变Ap41第40页/共54页42非低通非低通IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计W Wp,W Wsw wp

28、,w wsH(z)w =W/T脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法H(s)模拟频模拟频率变换率变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器sp,ww)(LsH复频率变换复频率变换)2tan(2Tw 注意：注意： 脉冲响应不脉冲响应不变法不能设计变法不能设计高高通通和和带阻带阻数字滤数字滤波器波器11112zzTs 方法一方法一421111lp Tlspez 第41页/共54页43非低通非低通IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计W Wp,W WsH(z)w =W/T脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法数字频数字频率变换率变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器

29、sp,ww)(LsH)2tan(2WwT1111lp Tlspez 11112zzTssp,WW)(LzHz域域变换变换43 方法二方法二第42页/共54页解解: 脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。 (1) 将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标 )2tan(2WwT取取T=2，利用，利用得模拟带阻指标为得模拟带阻指标为w wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=11rad, Ap 1dB, As 10dB

30、 44第43页/共54页解解:(2) 将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标 21s2swwB9499. 92s1s0www3714. 0,max202p2p2202p1p1pwwwwwwwBBAp 1dB, As 10dB 1sww wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=11rad, Ap 1dB, As 10dB 模拟带阻指标模拟带阻指标45第44页/共54页解解:(3) 设计原型设计原型BW型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器 Ap 1dB, As 10dB 1,3714. 0spww原型模拟低通指

31、标原型模拟低通指标0.10.1101lg10122lg()psAApsNww5774. 0) 110()2/(11 . 0scsNAww原型模拟低通滤波器的系统函数为原型模拟低通滤波器的系统函数为 12)(1)(c2cLwwsssH3333. 08165. 03333. 02ss46第45页/共54页解解:(4) 由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器 3333. 08165. 03333. 0)(2LsssH202)()(LBSwsBsssHsH9801485210899. 4980119823424ssssss(5) 由双线性变换模拟带

32、阻滤波器转换成数字带阻滤波器由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器 11112)()(zzTssHzH432143219067. 06412. 35601. 58241. 319522. 07327. 35624. 57327. 39522. 0zzzzzzzz第46页/共54页48p, 若为带通或带阻滤波器，则Wp=Wp1, Wp2; Ws=Ws1, Ws248 BW型数字滤波器型数字滤波器第47页/共54页4949确定DF系统函数分子、分母多项式 低通 num,den = butter(N,Wc) 高通 num,den = butter(N,Wc,high) 带通 num,den = butter(N,Wc) 其中Wc=W1, W2 带阻 num,den = butter(N,Wc,stop) 其中Wc=W1, W2 BW型数字滤波器型数字滤波器第48页/共54页5050确定数字滤波器的阶数及参数WcN, Wc = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As)DF系统函数分子、分母多项式的确定 低通 num,den = cheby1(N,Ap,Wc)