概率论与数理统计 2.2几种重要的离散型分布

1、一一 .伯努利分布（伯努利分布（01分布）分布）定义定义 若随机变量若随机变量X的概率分布为的概率分布为PX = 1= p ，PX = 0= 1p （0 p 1）2.2几种重要的离散型分布几种重要的离散型分布或或XP 0 1 q p其中其中0p1,q=1p,则称则称X X服从伯努利分布（或服从伯努利分布（或0-10-1分布），分布），有时也称两点分布。有时也称两点分布。设设E E为随机试验，为随机试验，A为为E的事件，的事件，P(A)=p(0p1),定义随机变量定义随机变量10AX ， 事事件件A A发发生生，事事件件 不不发发生生XP 0 1 1p p则则X服从两点分布服从两点分布 所以通常

2、，两点分布可作为描述试验只包含两个样本点的数学所以通常，两点分布可作为描述试验只包含两个样本点的数学模型如打靶中的模型如打靶中的“命中命中”与与“不中不中”；试验的；试验的“成功成功”与与“失败失败”等。等。 二二. 二项分布二项分布 定义定义 设事件设事件A 在一次试验中发生的概率为在一次试验中发生的概率为 P(A)=p (0p0是常数是常数,则称则称X服从参数为服从参数为 的的,记记为为 定义定义 设随机变量设随机变量X所有可能的取值为所有可能的取值为0,1,2,3,0,1,2,3, ,而取各个值的概率为而取各个值的概率为 kP Xkekk, (0,1,2,3.)! 3. 泊松泊松(Poi

3、sson)分布分布 ( )XP 泊松分布在各领域泊松分布在各领域尤其是社会生活和物理学尤其是社会生活和物理学领域中有着广泛的应用，常用来描述大量重复试验领域中有着广泛的应用，常用来描述大量重复试验中稀有事件（即概率较小的事件）出现的次数中稀有事件（即概率较小的事件）出现的次数. .如某如某段时间内电话交换台接到的呼叫次数、某一医院一段时间内电话交换台接到的呼叫次数、某一医院一天内的急诊病人数、某个地区一个时间间隔内发生天内的急诊病人数、某个地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、某车站一个时间间隔内候车的乘交通事故的次数、某车站一个时间间隔内候车的乘客数、一本书某页上的印刷错误数、某纺纱机一段客

4、数、一本书某页上的印刷错误数、某纺纱机一段时间间隔内的断头数、放射性物质在某时间段内发时间间隔内的断头数、放射性物质在某时间段内发出的出的 粒子数等等粒子数等等, ,都服从泊松分布。都服从泊松分布。 试求以下几种情况的概率试求以下几种情况的概率: : (1) (1) 车中无人车中无人; (2) ; (2) 车中只有车中只有2 2人人 ; ; (3) (3) 车中有车中有5 5人人 ; (4) ; (4) 车中超过车中超过5 5人人. .01010(1)00.000045;0!P Xe 例例3 已知到达某公园门口的每辆汽车的载人数服从已知到达某公园门口的每辆汽车的载人数服从 =10=10的泊松分

5、布的泊松分布, ,现任意观察一辆到达该公园门口的汽车现任意观察一辆到达该公园门口的汽车. . 解解 设设X为该车的载人数为该车的载人数, X P(10) ,故故51010(3)50.037833;5!P Xe (4)515P XP X kkek5100101!10.0670860.932914 21010(2)20.002270;2!P Xe 例例4 设某市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布设某市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布, ,据据 统计资料显示在一年中因交通事故死亡一人的概率是死统计资料显示在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的亡两人概率的1/2,1/2,计算一年中因交

6、通事故至少死亡计算一年中因交通事故至少死亡3 3人的概率人的概率. .解解 设随机变量设随机变量X表示一年中因交通事故死亡的人数表示一年中因交通事故死亡的人数, ,1122P XP X 21 2 2!ee 即即得得出出 = =4 4 P X 3 故则则X X 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布. .由已知条件得出由已知条件得出: :P X1210.23810.7619(1)()!kkkn knnnC ppenk 泊松定理泊松定理(Poisson) 设随机变量设随机变量( ,) ,nnXB n p且满足且满足lim(0) ,nnnp 为常数则对任意非负整数则对任意非负整数 k,有有根据泊

7、松定理根据泊松定理,若随机变量若随机变量XB(n,p) , 则当则当n很大很大,而而p又很小时又很小时,X近似服从泊松分布近似服从泊松分布 ( ) ,XP其中其中.np证证由由nPn 有有kn kn nn kknn(1).(1)( ) (1)! 对于任意固定的对于任意固定的k，当，当n 时时knnn121(1)(1).(1)1 (1)()!kkkn knnnC ppenk 故有故有kn kkknnnn121(1)(1).(1)(1)! kkn knnnC PP(1) n knkennn(1)(1) /(1) 例例5 5 某储蓄所开有某储蓄所开有10001000个资金帐户个资金帐户, ,每户资金

8、每户资金1010万元万元. .假设假设每日每个资金帐户到储蓄所提取每日每个资金帐户到储蓄所提取20%20%现金的概率为现金的概率为0.006,0.006,问该问该储蓄所每日至少要准备多少现金才能以储蓄所每日至少要准备多少现金才能以95%95%以上的概率满足客以上的概率满足客户提款的要求户提款的要求? ? 解解 设每日提取现金的帐户数为设每日提取现金的帐户数为X, ,于是每日提取现金的总于是每日提取现金的总数为数为2 2X万元万元. .又设储蓄所准备的现金数为又设储蓄所准备的现金数为x万元万元, ,由题设由题设, ,应求应求最小的最小的x, ,故得故得: :PXx20.95 (1000,0.00

9、6),XB而而有有xP X0.952xP X2 xkkkkC2100010000(0.006) (0.994)0.95 故储蓄所每日至少应准备故储蓄所每日至少应准备2020万元现金万元现金.xkkek26060.95 (10000.0066)! 因 10202xx 故故 例例6 假设某段时间里光临电器超市的顾客数服从参假设某段时间里光临电器超市的顾客数服从参为为 的泊松分布的泊松分布, ,而在超市里每个顾客购买空调的概率为而在超市里每个顾客购买空调的概率为p, ,问这问这段时间里恰好有段时间里恰好有k个顾客买空调的概率有多大个顾客买空调的概率有多大? ? 解解 设设X和和Y分别表示这段时间里购

10、买空调的人数和进分别表示这段时间里购买空调的人数和进入电器超市的总人数入电器超市的总人数.由全概率公式由全概率公式 0| nP XkP Xk Yn P Yn 因为因为Y Y 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布, ,即即 .,(0,1,2,)!neP Ynnn 在已知在已知Y=n名顾客进入超市的条件下名顾客进入超市的条件下,购买空调的顾购买空调的顾客数为客数为X=k的条件概率为的条件概率为:0,|(1),kknknknPXkYnCppkn 0 |)nPXkPXkYnP Yn 故knknkpepknk()(1)!() ! X P ().p 故kn kn knppeknkn!() (1) .

11、!()! nkkn knn keC ppn (1).! kkpppepeekk(1)()().! 4. 超几何分布超几何分布kn KMNMnNC CkCklP X, (0,1,2,) 称随机变量称随机变量X X 服从超几何分布服从超几何分布. 记为记为XH(n,M,N) 定义定义 设一批产品共有设一批产品共有 N 件，其中有件，其中有 M 件次品件次品( MN ) . 现从中任取现从中任取 n 件产品（件产品（nNM)，则这，则这 n 件产品中所含的次品数件产品中所含的次品数X是一个离散型随机变量，是一个离散型随机变量，X的所有可能的值为的所有可能的值为0，1，2， l( l=min(M,N)

12、.其概率分布为其概率分布为: 注注1 若产品抽样是有放回方式若产品抽样是有放回方式,则每次抽取时则每次抽取时,优质品率都优质品率都一样一样,同为同为 MN , 这时抽取的这时抽取的 n 个产品中所含优质品数个产品中所含优质品数 XB（ n, MN ), 其概率分布其概率分布 注注2 虽然有放回与不放回是两种不同的抽取方式虽然有放回与不放回是两种不同的抽取方式,所得概所得概率不一样率不一样,但是当产品数但是当产品数 N 很大而抽取数很大而抽取数 n又不大时又不大时,采取放采取放回抽样与不放回抽样回抽样与不放回抽样,每次抽得优质品的概率相差不大。每次抽得优质品的概率相差不大。 kkn KnMMP

13、XkCNN() (1) 即当即当 N 很大，很大，n 相对较小时（一般满足相对较小时（一般满足 n/N 0.1), 可用可用二项分布代替超几何分布，即二项分布代替超几何分布，即 (,1)kNKkkn kMNMnnNC CMC p qPqpCN 也就是可把不放回抽样当做有放回抽样处理也就是可把不放回抽样当做有放回抽样处理. .5. 几何分布几何分布 定义定义 在伯努利试验序列中在伯努利试验序列中, , 试验成功的概率为试验成功的概率为0 0p1),1),不断重复进行试验不断重复进行试验,如果如果X为首次成功出现时的试验次数，则为首次成功出现时的试验次数，则X X 的可能取值为的可能取值为 1,2

14、,3,1,2,3,1,1,2,kP Xkqp k 称称 X 服从参数为服从参数为 p p 的几何分布。的几何分布。，其分布列为其分布列为( )XGe p记为记为1( );2XGe(0.01);XGe(0.9).XGe服从几何分布的例子有服从几何分布的例子有 （2）若一批产品的不合格率为）若一批产品的不合格率为1%，则有放回连续抽样中，则有放回连续抽样中首次抽到不合格品的抽查次数首次抽到不合格品的抽查次数 （1）连续地抛掷一枚均匀硬币，首次出现正面时的抛掷次数）连续地抛掷一枚均匀硬币，首次出现正面时的抛掷次数（3）若某射手的命中率为）若某射手的命中率为0.9，则首次命中目标的射击次数，则首次命中目标的射击次数( )XGe p定理定理 (几何分布的无记忆性几何分布的无记忆性) 设设，则对任意正整数，则对任意正整数m与与n，|P Xmn XmP Xn 证明证明 因为因为11(1)(1)(1)1(1)nknk nppP Xnpppp