高中数学上学期同步测试第3单元 湘教版选修21高二

1、20102011学年度上学期单元测试高二数学试题【湘教版】选修2-1第3单元说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）。图1在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（ ）abcd2在下列条件中，使m与a、b、c一定共面的是（ ）a b cd3在正三棱柱abca1b1c1中，若abbb1，则ab1与c1b所成的角的大小为（ ）a60° b90°

2、; c105° d75°4如图，abcda1b1c1d1是正方体，b1e1d1f1，则be1与df1所成角的余弦值是（ ）图a bc d5如图，a1b1c1abc是直三棱柱，bca=90°，点d1、f1分别是a1b1、a1c1的中点，若bc=ca=cc1，则bd1与af1所成角的余弦值是（ ）图a bc d6正四棱锥的高，底边长，则异面直线和 之间的距离（ ）aa1dcbb1c1图a b c d7已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点。点到平面 的距离 （ ）a bc d8在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离（ ）a b c d9在三棱锥pabc中，ab

3、bc，abbcpa，点o、d分别是ac、pc的中点，op底面abc，则直线od与平面pbc所成角的正弦值（ ）a b c d10在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，d，e分别是与的中点，点e在平面abd上的射影是的重心g。则与平面abd所成角的余弦值（ ）a b c d11正三棱柱的底面边长为3，侧棱，d是cb延长线上一点，且，则二面角的大小（ ）a b c d12正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，e，f分别为棱ab，cd的中点，。则三棱锥的体积v（ ）a b c d 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。13在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 。14 在

4、棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离 。15已知棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是b1c1和c1d1的中点，点a1到平面dbef的距离 。16已知棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e是a1b1的中点，求直线ae与平面abc1d1所成角的正弦值 。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共74分)。17（12分）如图，已知正方体的棱长为a，m为的中点，点n在'上，且，试求mn的长18（12分）如图在空间直角坐标系中bc=2，原点o是bc的中点，点a的坐标是（，0），点d在平面yoz上，且bdc=90°，dcb=30&#

5、176;. （1）求向量的坐标； （2）设向量和的夹角为，求cos的值图19（12分）在四棱锥pabcd中，底面abcd是一直角梯形，bad=90°，adbc，ab=bc=a，ad=2a，且pa底面abcd，pd与底面成30°角 （1）若aepd，e为垂足，求证：bepd； （2）求异面直线ae与cd所成角的余弦值。20（12分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值； （）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。21（14分）已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，点e为棱ab的中点，求： （）d

6、1e与平面bc1d所成角的大小； （）二面角dbc1c的大小； （）异面直线b1d1与bc1之间的距离22（14分）如图5：正方体abcd-a1b1c1d1，过线段bd1上一点p（p平面acb1）作垂直于d1b的平面分别交过d1的三条棱于e、f、g。 （1）求证：平面efg平面a cb1，并判断三角形类型； （2）若正方体棱长为a，求efg的最大面积，并求此时ef与b1c的距离。参考答案一、选择题aabaa cabdb ac二、填空题13；14；151；16。三、解答题17解：以d为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为a，所以b（a，a，0），a'（a，0，a），（0，a，a）

7、，（0，0，a）由于m为的中点，取中点o'，所以m（，），o'（，a）因为，所以n为的四等分，从而n为的中点，故n（，a）根据空间两点距离公式，可得18解：（1）过d作debc，垂足为e，在rtbdc中,由bdc=90°,dcb=30°，bc=2，得bd=1，cd=，de=cd·sin30°=.oe=obbe=obbd·cos60°=1.d点坐标为（0，），即向量odtx的坐标为0，. （2）依题意：，所以.设向量和的夹角为，则cos=.19（1）证明：pa平面abcd，paab，又abadab平面pad又aepd，p

8、d平面abe，故bepd （2）解：以a为原点，ab、ad、ap所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点c、d的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）pa平面abcd，pda是pd与底面abcd所成的角，pda=30°于是，在rtaed中，由ad=2a，得ae=a过e作efad，垂足为f，在rtafe中，由ae=a，eaf=60°，得af=，ef=a，e（0，a）于是，=a，a，0设与的夹角为，则由cos=ae与cd所成角的余弦值为评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段20（）解：取线段ef的

9、中点h，连结，因为= 及h是ef的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系a-xyz则（2，2，），c（10，8，0），f（4，0，0），d（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为 （）解：设则， 因为翻折后，与重合，所以， 故， ，得， 经检验，此时点在线段上，所以。方法二： （）解：取线段的中点,的中点,连结。因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在

10、中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。 （）解：设, 因为翻折后，与重合，所以， 而， 得，经检验，此时点在线段上，所以。21解：建立坐标系如图，则、，a1b1c1d1abcdexyz， （）不难证明为平面bc1d的法向量， d1e与平面bc1d所成的角的大小为 （即） （）、分别为平面bc1d、bc1c的法向量， ， 二面角dbc1c的大小为 （） b1d1平面bc1d， b1d1与bc1之间的距离为22(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明efac，egb1c，fgab1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了。) （1）分析：要证平面efg平面acb1，由题设知只

11、要证bd1垂直平面acb1即可。证明：以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则a（a，0，0），b（a，a，0），c（0，a，0），d1（0，0，a），b1（a，a，a），e（xe，0，a），f（0，yf，a），g（0，0，zg）。=（a，a，a），=（0，a，a），（xe，yf，0），=（a，a，0），=（a，0，a），·=(a，a，a)·(0，a，a)=0， ，同理 ，而与不共线且相交于点a，平面acb1，又已知平面efg， 平面efg平面acb1；又因为平面efg，所以 ，则·=0， 即 (a，a，a)·(xe，yf，0

12、)=0，化简得 xeyf=0；同理 xezg=0, yfzg=0，易得 =， efg为正三角形。 （2）解：因为efg是正三角形，显然当efg与 a1c1d重合时，efg的边最长，其面积也最大，此时，=a1c1=·a， = = ·sin600= (·a)2·=·a2 。此时ef与b1c的距离即为a1c1与b1c的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点b1到平面 a1c1d的距离，记a1c1与b1d1交于点o1，作o1hd1b并交bb1于点h，则o1h平面a1c1d，垂足为o1，则o1(，a)，h(a，a，)，而作为平面a1c1d的法向量，所以异面直线ef与b1c的距离设为d是d = =·a。(证明（2）时一