集合知识点总结及典型例题

1、集合一【课标要求】1集合的含义与表示（ 1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（ 2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2集合间的基本关系（ 1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（ 2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3集合的基本运算（ 1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（ 2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（ 3）能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二【命题走向】有关集合的高考试题，考查

2、重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查， 并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时， 要注意利用几何的直观性，注意运用 Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。预测高考将继续体现本章知识的工具作用， 多以小题形式出现， 也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体三【要点精讲】1集合：某些指定的对象集在一起成为集合（ 1）集合中的对象称元素， 若 a 是集合 A 的元素，记作 aA ；若 b 不是集合 A 的元素，记作 b A ；（ 2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定

3、性：设 A 是一个给定的集合， x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（ 3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意

4、： 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（ 4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集） ，记作 N；正整数集，记作N*或 N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作 R。2集合的包含关系：（ 1）集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是 B 的子集（或 B 包含 A），记作A B（或AB ）；若A集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若 AB 且 A B，则称 A 是 B 的真子集，记作A（ 2）简单性质： 1） AA； 2）A； 3）若B 且 BB；AB，BA，则称C，则A 等于

5、B，记作 A=B；AC； 4）若集合A是 n 个元素的集合，则集合A 有 2n 个子集（其中2n 1 个真子集）；3全集与补集：（ 1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（ 2）若S 是一个集合，AS，则，CS = x | xS且xA 称S 中子集A 的补集；（ 3）简单性质：1） CS ( CS )=A； 2） CS S=， C S=S4交集与并集：（ 1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。交集AB x | xA且xB。（ 2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B的并集。 并集

6、 AB x | xA或 xB注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是 “且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时， 常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质：（1） AA A,A,ABBA;（2） AA,A BB A;（3） (A B)(A B);（4） ABABA;ABABB；（ 5） CS （ A B） =（ CS A）（ CS B）， CS （ A B）=（ CS A）（ CS B）。四【典例解析】题型 1：集合的概念(2009 湖南卷理 )某班共 3

7、0 人，其中15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12_答案：12解析设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有 (15x) 人，只喜爱乒乓球的有(10x) 人，由此可得 (15 x)(10x)x830 ，解得 x3 ，所以 15 x 12 ，即 所求人数为12 人。例 1已知全集 UR，集合 M x2x12 和N x x2k1, k1,2, 的关系的韦恩（ Venn）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A. 3个B. 2个C. 1个D.无穷多个答案B解析由 M x 2x12得1x3，则 MN 1,

8、3，有 2 个，选 B.例 2集合 A0,2, a, B1,a2, 若 AB0,1,2,4,16, 则 a 的值为( )A.0B.1C.2D.4答案 D解析 A0,2, a, B1,a2, AB0,1,2,4,16 a216 a4, 故选 D.a4【命题立意】 : 本题考查了集合的并集运算, 并用观察法得到相对应的元素, 从而求得答案 ,本题属于容易题 .题型 2：集合的性质例 3集合 A0,2, a, B1,a2, 若 AB0,1,2,4,16, 则 a 的值为()A.0B.1C.2D.4答案 D解析 A0,2, a, B1,a2, AB0,1,2,4,16 a216 a4, 故选 D.a4

9、【命题立意】 : 本题考查了集合的并集运算, 并用观察法得到相对应的元素, 从而求得答案 ,本题属于容易题 .随堂练习1. 设全集U=R， A=x N 1 x10 ， B= x R x 2 + x 6=0 ，则下图中阴影表示的集合为（）A2B 3C 3， 2D 2，32. 已知集合A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a 2+1)>0,B=y|y2 -6y+8 0 ，若AB ，则实数a 的取值范围为（）分析 ：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑 从反面考虑问题在集

10、合中的运用主要就是运用补集思想本题若直接求解，情形较复杂， 也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答解：由题知可解得A=y|y>a 2+1 或 y<a, B=y|2 y4, 我们不妨先考虑当AB 时 a 的范围如图a2a2由2，得a1 4a3或 a3a 24 a2+1 a3 或 3a2 .即 AB时 a 的范围为 a3 或3a2 . 而 AB时 a 的范围显然是其补集 , 从而所求范围为 a | a2或3a3 .评注 ：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想” 例 4已知全集 S

11、 1,3, x3x22x ，A=1, 2x1 如果 CSA 0 ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由解： CSA 0 ； 0 S且 0 A ，即 x3x22x 0，解得 x1 0, x21, x3 2当 x 0 时， 2x 11 ，为 A 中元素；当 x1 时， 2x 1 3 S当 x 2 时， 2x 1 3 S这样的实数x 存在，是x1 或 x2 。另法： CS A0 0S且 0A，3 A x3x22x 0 且 2x 1 3 x1 或 x2 。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x 0 时，2x 1 1”不能满足集合中元素的互异性。此题

12、的关键是理解符号 CS A 0 是两层含义：0S且 0A 。变式题：已知集合 A m, m d, m2d, B m, mq, mq2 ，其中 m0, 且A B,求 q 的值。解：由 AB 可知，mdmq2，或（ 2） mdmq（1）2dmq 2mm2dmq解（ 1）得 q1 ，解（ 2）得 q1,或 q1 ，2又因为当 q1 时， mmq mq2 与题意不符，所以， q1 。2题型 3：集合的运算例 5 已知函数 f (x)x1 的定义域集合是A, 函数 g( x) lg x2(2a 1)x a2a 的x2定义域集合是B（ 1）求集合 A、 B（ 2）若 A B=B, 求实数 a 的取值范围解

13、 （ 1） A x | x1或x 2B x | xa或xa1（2）由 ABB得 Aa1B，因此12a所以 1a 1 ,所以实数 a 的取值范围是1,1例 6已知集合 A1,3,5,7,9 , B0,3,6,9,12 , 则 AI CN B ( )A.1,5,7B.3,5,7C.1,3,9D.1,2,3答案A解析易有 A CNB1,5,7 ，选 A点评：该题考察了集合的交、补运算。题型 4：图解法解集合问题例 7（广西北海九中训练） 已知集合 M= x | x 2y21 ，N= y | xy1，则M N9432（）AB ( 3,0), ( 2,0)C3,3D 3,2答案C例 8 1. 设全集R

14、，函数 f (x)lg(| x 1| a 1)( a 1) 的定义域为A，集合B x | cos x1 ，若 (CA)B 恰好有 2 个元素，求 a 的取值集合。解： | x 1| 1 a 0| x 1| 1 aa 1 时， 1 a 0 xa或 x a 2 A(, a2)(a,)cos x1,x2k， x2k (k z) B x | x 2k, kz当 a1时， CA a2,a 在此区间上恰有2 个偶数。a1aa22a04a222、 Aa1，a2， ，ak(k 2)，其中 aiZ (i 1，2， ，k) ，由 A 中的元素构成两个相应的集合：S(a， b) aA， bA， ab A ， T(a

15、， b) a A， b A， a bA其中( a， b) 是有序数对，集合S 和 T 中的元素个数分别为m 和 n 若对于任意的aA ，总有aA ，则称集合 A 具有性质 P （I）对任何具有性质P 的集合 A ，证明： n k(k1) ；2（II ）判断 m 和 n 的大小关系，并证明你的结论解：（ I）证明：首先，由 A 中元素构成的有序数对( ai， a j ) 共有 k 2 个因为 0A ，所以 (ai，ai )T (i1，2， ，k) ；又 因 为 当 aA 时 ，a A 时 ，aA ， 所 以 当 (ai，a j )T 时 ，(a j，ai ) T (i，j1，2， ，k ) 从而

16、，集合 T 中元素的个数最多为1 (k 2k )k (k1) ，即 n k (k 1) 222（II ）解： m n ，证明如下：（1）对于 (a， b)S，根据定义，aA ， bA ，且 abA ，从而 (ab， b) T 如果 (a， b) 与 (c， d ) 是 S 的不同元素，那么ac 与 bd 中至少有一个不成立，从而a bc d 与 bd 中也至少有一个不成立故 (ab， b) 与 (cd， d) 也是 T 的不同元素可见， S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ，（2）对于 (a， b)T ，根据定义， a A ， bA ，且 abA ，从而 (a b， b) S 如

17、果 (a， b) 与 (c， d ) 是 T 的不同元素，那么ac 与 bd 中至少有一个不成立，从而a bc d 与 bd 中也不至少有一个不成立，故 (ab， b) 与 (cd， d) 也是 S 的不同元素可见， T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ，由（ 1）（ 2）可知， m n 例 9向 50 名学生调查对A、 B 两事件的态度，有如下结果赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对A、B 都不赞成的学生数比对A、 B 都赞成的学生数的三分之一多1 人。问对 A、 B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

18、3解：赞成 A 的人数为50×=30 ，赞成 B 的人数为30+3=33 ，如上图，记 50 名学生组成的集合为 U，赞成事件 A 的学生全体为集合 A；赞成事件 B 的学生全体为集合 B。UABX30-X33-XX+13设对事件A、 B 都赞成的学生人数为x, 则对 A、 B都不赞成的学生人数为x +1, 赞成 A 而不赞成B 的人数为30 x，赞成 B 而不赞成A 的人数3为 33 x。依题意 (30 x)+(33 x)+ x+( x +1)=50, 解得 x=21。所以对A、 B 都赞成的同学有321 人，都不赞成的有8 人 。点评： 在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交

19、并集，韦恩图法等， 需要考生切实掌握。 本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。例 10求 1 到 200 这 200 个数中既不是2 的倍数，又不是3 的倍数，也不是5 的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出Venn 图，不难看出不符合条件的数共有（ 200÷ 2）（ 200÷ 3） (200÷ 5)5的倍数 (200÷10) (200÷6) (200÷ 15) (

20、200÷30) 1462的倍数3的倍数所以，符合条件的数共有200146 54（个）点评：分析 200 个数分为两类， 即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。题型 7：集合综合题2x1例 11（1999 上海， 17）设集合A=x| x a|<2 ， B=x|x2<1，若 AB，求实数a 的取值范围。解：由 | x a|<2 ，得 a 2<x<a+2，所以 A=x| a 2<x<a+2。由 2x1<1，得 x3<0，即 2<x<3，所以 B=x| 2<x&l

21、t;3。x2x2因为 Aa22B，所以2，于是 0 a1。a3点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算， 解绝对值不等式、 分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。例 12已知 an 是等差数列， d 为公差且不为 0， a1 和 d 均为实数，它的前 n 项和记作Sn,设集合 A=( an, Sn )|n N *, B=( x,y)|1x2y2=1,x,y R 。n4试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：（ 1）若以集合 A 中的元素作为点的坐标

22、，则这些点都在同一条直线上；（ 2） AB 至多有一个元素；（ 3）当 a1 0 时，一定有A B。n( a1an )Sn1Sn)解：（ 1）正确；在等差数列 an 中， Sn=,则n(a1+an),这表明点 (an,n22的坐标适合方程 y1 ( x+a1),于是点 (an,Sn )均在直线 y=1x+1a1 上。2n22y1x1a122（ 2）正确；设 (x,y) A B,则 (x,y)中的坐标 x,y 应是方程组的解，由方程1x 2y 212= 4(*)，4组消去 y 得： 2a1x+a1当 a1=0 时，方程 (* )无解，此时 AB=；4a122y*)只有一个解 x=4 a12a1,

23、当 a10 时，方程 (2a1,此时，方程组也只有一解a124y4a1故上述方程组至多有一解。 A B 至多有一个元素。（ 3）不正确；取a1=1， d=1，对一切的 x N* ，有 an=a1+(n 1)d=n>0, Sn>0，这时集合 A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正， 另外， 由于 a1=1 0n如果 A B，那么据 (2)的结论， A B 中至多有一个元素 (x0,y0),而 x0=4 a122 0,y0= a1x03 2a15240，这样的 (x0,y0 ) A,产生矛盾，故a1=1,d=1 时 A B=，所以 a1 0 时，一定有 A B是不正确的。点评：该

24、题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。变式题：解答下述问题：（）设集合 A x | x22x2m 4 0, B x | x 0, ， 若AB,求实数 m的取值范围 .分析：关键是准确理解AB的具体意义，首先要从数学意义上解释AB的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。解：命题方程22x 2m4至少有一个负实数根,x0设M m |关于的方程x2两根均为非负实数,x2x 2m 4 04(2m3)0则 x1x2202m3,2x1 x2 2m40M m |2m3 设全集 U m |0 m | m322m 的取值范围是UM=m|m<-2.(解法二 )命题方程的小根 x12m302m3

25、12m31m 2.（解法三） 设 f ( x)x 22x4, 这是开口向上的抛物线，其对称轴 x10 ，则二次函数性质知命题又等价于f (0)0m2,注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。（）已知两个正整数集合A=a1,a2,a3,a4,2222a2 a3a4B a1 , a2 , a3 , a4 , 其中 a1若A B a1 ,a4 , 且a1 a410,且AB的所有元素之和是 124, 求集合 A 、B.分析：命题中的集合是列举法给出的， 只需要根据 “交、 并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，1 a1a2a3a4 , a12

26、a22a3 2a4 2 ,AB a1 , a4,只可能有 a1a12a11,而 a1a410,a49,a42a4 ,(1)若 a22a4 ,则 a23,AB 1,3, a3 ,9, a32 ,81,a3a3294124a35;(2)若 a32a4 ,则 a33,同样可得 a25a3 ,与条件矛盾 ,不合 ;综上, A1,3,5,9, B 1,9,25,81.（） 设集合 A( x, y) | y 2x1, B( x, y) | 4x 22x2y5 0,C ( x, y) | ykxb, 问是否存在自然数k, b, 使 ( AB)C,试证明你的结论 .分析：正确理解 ( A B) C, 并转化为

27、具体的数学问 题.要使 (AB)C(AC)(BC),必须AC且B C,由 y 2x1k 2 x2( 2kb1) xb210,ykxb当 k=0 时，方程有解xb21 ,不合题意；当 k0时由 1(2kb1) 24k 2 (b21)0得 b4k 214k又由 4x 22x2 y504 x22(1k) x52b0,ykxb由 24(1k) 216(52b)0得 b20(k1) 2，8120,由、得 b k1,而 b4k8b 为自然数， b=2，代入、得k=1点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。题型 6：课标创新

28、题例 13七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？解：设集合 A=甲站在最左端的位置 ，B=甲站在最右端的位置，C=乙站在正中间的位置，D=丙站在正中间的位置，则集合 A、 B、 C、 D 的关系如图所示，不同的排法有A774 A664 A552640种 .点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答， 则比较容易理解。 上面的例子说明了集合思想的一些应用， 在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。例 14 A 是由定义在 2,4上且满足如下条件的函数(x) 组成的集合：对任

29、意x 1,2 ，都有( 2x)(1,2)； 存在常数 L(0L1) ，使得对任意的x1 , x21,2 ，都有 | ( 2x )( 2x2) | L | xx |112（ 1）设( x)3 1x, x 2,4 ，证明：(x)A（ 2）设( x)A,如果存在 x(1,2) ,使得 x( 2x ) ,那么这样的x是唯一的 ;0000（ 3）设(x)A ,任取 xl(1,2) ,令 xn 1(2xn ), n 1,2, 证明 :给定正整数k,对任意的正整数 p,成立不等式 | xkLk 1| x2x1| H。lxk |L1解：对任意 x1,2 ,(2x)312x , x1,2 , 33( 2x)35

30、,1333 52 , 所以 (2x) (1,2)对任意的 x1, x21,2 ，| (2x1 ) (2x2 ) | | x1 x2 |22 ，23 1 2x1 1 x23 1 2x13 1 x233 12x1 2312x1 1x231x2，3所以 0<22,1 2x123 1 2x1 1 x23 1 x2233令2= L ，223 1 2x13 1 2 x1 1 x23 1 x20L1， |( 2x )(2x2) | L | xx2|11所以(x)A反证法：设存在两个x, x0(1,2), x0x使得 x0(2x0) , x0(2 x) 。000则由 |( 2 x 0 )( 2 x 0 / ) |L | x 0x 0 / | ，得 | x0/|L | x0/|，所以 L1x0x0，矛盾，故结论成立。x3x2(2x2 )(2x1 )L x2x1，所以 xn 1 xnLn 1 x2x1| xk pxk |xk pxk p 1xk p