专题35第7章圆之与直径有关的辅助线备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

1、35第7章圆之与直径有关的辅助线一、单选题1如图，ab为o的直径，点c为弧ab的中点，弦cd交ab于点e，若，则tanb的值是（）abcd【答案】c【分析】如图（见解析），连接oc，过o作于e，过d作于f，先根据垂径定理得到，设，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得df、ef的长，从而可得bf的长，最后根据正切三角函数的定义即可得【详解】如图，连接oc，过o作于e，过d作于f设，则ab为o的直径，点c为弧ab的中点在和中，即解得或（不符题意，舍去），即解得则在中，故选：c【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函

2、数等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键二、填空题2如图，cd 为圆o的直径，弦abcd，垂足为e，若bcd22.5°，ab2cm，则圆o的半径为_【答案】【分析】连接ob，根据垂径定理以及勾股定理即可求出ob的长度【详解】如图，连接ob，ocob，bcd22.5°，eob45°，abcd，cd是直径，ab=2，ebab1，oeeb1，ob=，故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理及三角形外角性质，垂直弦的直径平分弦，并且平分弦这条弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键3如图，已知是的直径， 是的弦，过点作的切线，与的延长线交于点作

3、交直线于点若则_【答案】【分析】连接bc，求得bc=5，证明abceab，根据相似性质即可求出be.【详解】解：如图，连接在中，根据勾股定理，得是直径，是的切线，即，故答案为：【点睛】（1）见直径，想半径或想圆周角为直角；（2）见切线想做过切点的直径，构造直角；（3）求线段的长度在几何图形中一般选择勾股定理、相似、或三角函数来求解.4如图所示，中，分别在射线，上移动，且，则点到点的距离的最大值为_.【答案】.【解析】【分析】过，三点作，作直径连结，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同弧所对的圆周角相等得出，从而确定的直径即可【详解】如图所示，过，三点作，作直径连结，在中，在，弦的最大值等于直

4、径到点的距离的最大值为【点睛】本题考查了圆周角的性质定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股、勾股定理等知识点，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键5用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，已知长方形的长比宽多a m，则正方形面积与长方形面积的差为_.（用含a的代数式表示）【答案】【分析】设出长方形的长和正方形的长,设出铁丝的长度,用l表示面积做差即可得出.【详解】设长方形的长为x，结合题意可知宽为x-a，设铁丝的长度为l，建立方程,解得,则长方形的面积为而正方形的面积为,所以面积差为故答案为a2【点睛】本题考查了长方形面积计算公式，正方形面积计算公式，运用多项式做差是解题的关键.6如图，

5、、是半径为5的的两条弦，是直 径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为_.【答案】.【分析】a、b两点关于mn对称，因而pa+pc=pb+pc，即当b、c、p在一条直线上时，pa+pc的最小，即bc的值就是pa+pc的最小值【详解】连接oa，ob，oc，作ch垂直于ab于h根据垂径定理，得到be= ch=oe+of=3+4=7，bh=be+eh=be+cf=4+3=7，在直角bch中根据勾股定理得到bc=7，则pa+pc的最小值为7【点睛】正确理解bc的长是pa+pc的最小值，是解决本题的关键7如图，已知中，以为直径作，交于点，在上取点使，交于点，已知，则_【答案】【分析】连接ce，ef，

6、bf，过f作fgac于点g，设，则，利用求出的值，利用求出和的值，利用求出的值，进而求出，从而得出结论【详解】解：连接ce，bc是直径，ceba，又，设，则，连接ef，四边形bcfe是圆内接四边形，即： 解得：，连接bf，过f作fgac于点g，bc是直径，在中，由勾股定理得：， ，故答案为：【点睛】本题属于圆的综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形、相似、勾股定理、直角三角形，三角函数等知识点在解题过程中，要灵活应用，尤其是辅助线的构造，是解决本题的关键三、解答题8如图所示，是锐角三角形的外接圆的半径，于点，求证：.【答案】见解析.【解析】【分析】作直径，则，分别位于和中，根据等角的补角相等

7、即可得证.【详解】延长交于，连结是直径 于点 又在中 .【点睛】本题考查了圆周角的性质定理，经常利用直径构造直角，来推理证明圆中角度问题.9如图，ab为o的直径，且ab4，dbab于b，点c是弧ab上的任一点，过点c作o的切线交bd于点e连接oe交o于f（1）求证：adoe；（2）填空：连接oc、cf，当db 时，四边形oceb是正方形；当db 时，四边形oacf是菱形【答案】（1）见解析；（2）4，bd4【分析】（1）连接oc、bc，由ab为o的直径，dbab于b，推出db是o的切线，进而证明oebc，acbc，即可得出结论；（2）若四边形oceb是正方形，cebeobocab2，由（1）可

8、证，得到debe2，bdbe+de4即可求出；若四边形oacf是菱形，则oaac，又oaoc，于是oac为等边三角形，a60°，在rtabd中，由tana，即可求得bd【详解】（1）证明：连接oc、bc，如图1，ab为o的直径，dbab于b，db是o的切线，ce与o相切于点c，bece，点e在bc的垂直平分线上，oboc，点o在bc的垂直平分线上，oebc，acb90°，即acbc，adoe；（2）如图2，若四边形oceb是正方形，ab4，cebeobocab2，oeac，debe2，bdbe+de4，故答案为：4；若四边形oacf是菱形，co平分acf，cfoa，acof

9、coaoc，oaoc，aacoaoc，aoc是等边三角形，a60°，abd90°，rtabd中，tana，bd4，故答案为：4；【点睛】本题是圆综合题，正方形的性质，菱形的性质，以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆的相关性质以及菱形和正方形的性质是解题的关键10如图，ab为o的直径，c为o上的一点，adcd于点d，ac平分dab（1）求证：cd是o的切线（2）设ad交o于e，acd的面积为6，求bd的长【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接oc，根据等腰三角形的性质，角平分线的定义得到dacoca，证明oc/ad，根据平行线的性质得到oceadc90°，

10、根据切线的判定定理证明；（2）设ac5x，cd3x，根据勾股定理得到ad4x，根据三角形的面积得到ad4，cd3，ac5，连接bc，根据相似三角形的性质得到ab，连接be交oc于f，由垂径定理得到ocbe，bfef，得到efcd3，根据勾股定理即可得到结论【详解】（1）证明：连接oc，oaoc，oacoca，ac平分dab，oacdac，dacoca，oc/ad，oceadc90°，cd是o的切线；（2）解：，设ac5x，cd3x，ad4x，acd的面积为6，adcd6，x1（负值舍去），ad4，cd3，ac5，连接bc，ab为o的直径，acb90°，acbadc，dacc

11、ab，adcacb，ab，daccab，连接be交oc于f，ocbe，bfef，ab为o的直径，aebdeb90°，四边形cdef是矩形，efcd3，be6，ae，de4，bd【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键11如图，ab为o的直径，点c是o上的一点，ab=8cm，bac=30°，点d是弦ac上的一点（1）若odac，求od长；（2）若cd=2od，判断形状，并说明理由【答案】（1）2；（2）等腰三角形，见解析【分析】（1）由直角三角形的性质求解再证明，即可得到答案；（2）如图，过作于 连

12、接 求解设 则 利用勾股定理求解，从而可得答案【详解】解：（1） ab为o的直径， ab=8cm，bac=30°， odac， ， （2）是等腰三角形理由如下：如图，过作于 连接 设 则 由勾股定理可得： 是等腰三角形【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理，三角形的中位线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键12如图，已知ab是半圆o的直径，ab6，点c在半圆o上过点a作adoc，垂足为点d，ad的延长线与弦bc交于点e，与半圆o交于点f（点f不与点b重合）（1）当点f为的中点时，求弦bc的长；（2）设odx，y，求y与x的函

13、数关系式；（3）当aod与cde相似时，求线段od的长【答案】（1）3；（2）y；（3）【分析】（1）连结of，交bc于点h得出bofcof则aoccofbof60°，可求出bh，bc的长；（2）连结bf证得odbf，则，即，得出，则得出结论；（3）分两种情况：当dcedoa时，abcb，不符合题意，舍去，当dcedao时，连结of，证得oaf30°，得出od，则答案得出【详解】解：（1）如图1，连结of，交bc于点hf是中点，ofbc，bc2bhbofcofoaof，ocaf，aoccof，aoccofbof60°，在rtboh中，sinboh，ab6，ob3，

14、bh，bc2bh3；（2）如图2，连结bfafoc，垂足为点d，addf又oaob，odbf，bf2od2x，即，y（3）aod和cde相似，分两种情况：当dcedoa时，abcb，不符合题意，舍去当dcedao时，连结ofoaof，oboc，oafofa，ocbobcdcedao，oafofaocbobcaodocb+obc2oaf，oaf30°，od即线段od的长为【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题13如图，已知，点在上，边

15、与相交于点，过经过圆心，与相交于点，的切线交于点（1）求证：（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）如图1，连接，由是的切线，得到，即，再由，由等角的余角相等可得，根据等腰三角形的判定得到即可得出（2）连接，通过利用三角函数求出，再由勾股定理求出ab=15，根据，即可解答【详解】解：（1）连接，是的切线，又，（2）连接，又，在中，【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键14如图，在正方形abcd中，e，f分别为bc，ad上的点，过点e，f的直线将正方形abcd的面积分为相等的两部分，过点a作于点g，连接dg，则线段dg

16、的最小值为_【答案】【分析】连接ac，bd交于o，得到ef过点o，推出点g在以ao为直径的半圆弧上，设ao的中点为m，连接dm交半圆弧于g，则此时，dg最小，根据正方形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论【详解】解：连接ac，bd交于o，过点e、f的直线将正方形abcd的面积分为相等的两部分，过点o，点g在以ao为直径的半圆弧上，则 设ao的中点为m，连接dm交半圆弧于g，则此时，dg最小，四边形abcd是正方形， 故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键15如图1，在中，弦与半径交于点，连接、，（1）求证：；（2）如图2，过点作交于点，垂足

17、为，连接，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点，连接、，过点作于点，交于点，连接，若，时，求线段的长度【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）延长交于，连接，根据等腰三角形的底角相等，三角形的外角的性质，结合，得，再结合圆周角定理，得，即可得到结论；（2）作于，于，根据等腰三角形三线合一，得，结合条件得，易证，结合垂径定理，即可得到结论；（3）延长交于，连接，先证，再证，得四边形是平行四边形，根据直角三角形和等腰三角形的性质得，结合平行线截得的线段成比例与勾股定理，即可求解【详解】（1）如图1中，延长交于，连接，；（2）如图2中，作于，于，cdab，

18、；（3）在图3中，延长交于，连接，四边形是平行四边形，ctdb，【点睛】本题主要考查圆的基本性质与全等三角形，相似三角形，勾股定理，平行四边形的综合，添加辅助线，构造全等三角形，相似三角形，是解题的关键16如图所示，四边形的四个顶点在上，且对角线于，求证：为定值.【答案】见解析.【解析】【分析】作直径，连结，根据直径所对的圆周角为直角得出，从而得出利用勾股定理即可解决问题【详解】作直径，连结，弧ad=弧ce, ，根据勾股定理得：，为定值.【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，两条平行线所夹的弧相等等知识，解题的关键是学会利用定理和性质进行转化17如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别

19、是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.【答案】的最大值为.【解析】【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求.【详解】连结， 为等边三角形，点，分别是，的中点， 为的一条弦最大值为直径14 的最大值为.【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.18如图，在四边形abcd中，abcd，且ab2cd，e，f分别是ab，bc的中点，ef与bd交于点h（1）求证：四边形debc是平行四边形；（2）若bd9，求dh的长【答案】（1）证明见解析；（2）6.【分析】（1）结合题意，得出dc=be，利用平行四边形的判定定理，证明，即可（2）结合三角

20、形相似，得出dh和bh的长度关系，计算结果，即可【详解】（1）证明：e是ab的中点，ab2eb，ab2cd，dcbe，又abcd，即dcbe，四边形bcde是平行四边形（2）解：四边形bcde是平行四边形，bcde，bcde，edmfbm，bcde，f为bc的中点，bfbcde，2，dh2hb，又dh+hb9，dh6【点睛】考查平行四边形的判定，考查相似三角形的判定，关键得出dh和hb的长度关系，即可，难度中等19如图，正方形aobc的边ob、oa分别在x、y轴上，点c坐标为（8，8），将正方形aobc绕点a逆时针旋转角度（0°90°），得到正方形adef，ed交线段bc于点q，ed的延长线交线段ob于点p，连接ap、aq（1）求证：acqadq；（2）求paq的度数，并判断线段op、pq、cq之间的数量关系，并说明理由；（3）连接be、ec、cd、db得到四边形becd，在旋转过程中，四边形becd能否是矩形？如果能，请求出点p的坐标，如果不能，请说明理由【答案】(