专题28第5章相似三角形之旋转相似备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

1、28第5章相似三角形之旋转相似一、单选题1在rtabc中，bac90°，ad是abc的中线，adc45°，把adc沿ad对折，使点c落在c的位置，cd交ab于点q，则的值为（）abcd【答案】a【解析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出addcbd，acac，adcadc45°，cdcd，进而求出c、b的度数，求出其他角的度数，可得aqac，将转化为，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案【解答】解：如图，过点a作aebc，垂足为e，adc45°，ade是等腰直角三角形，即aedead，在rtab

2、c中，bac90°，ad是abc的中线，adcdbd，由折叠得：acac，adcadc45°，cdcd，cdc45°+45°90°，dacdca（180°45°）÷267.5°cad，b90°ccae22.5°，bqd90°bcqa67.5°，acaqac，由aecbdq得：，故选：a【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键2如图，在矩形abcd中，e是ad边的中点，beac于点f，连接

3、df，给出下列四个结论：aefcab；cf2af；dfdc；sabf：s四边形cdef2：5，其中正确的结论有（ ）a1个b2个c3个d4个【答案】d【解析】根据四边形abcd是矩形，beac，可得abc=afb=90°，又baf=cab，于是aefcab，故正确；根据点e是ad边的中点，以及adbc，得出aefcbf，根据相似三角形对应边成比例，可得cf=2af，故正确；过d作dmbe交ac于n，得到四边形bmde是平行四边形，求出bm=de=bc，得到cn=nf，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故正确；根据aefcbf得到ef与bf的比值，以及af与ac的比值，据此求出sae

4、f=sabf，sabf=s矩形abcd，可得s四边形cdef=sacd-saef=s矩形abcd，即可得到s四边形cdef=sabf，故正确【解答】如图，过d作dmbe交ac于n，四边形abcd是矩形，adbc，abc90°，adbc，beac于点f，eacacb，abcafe90°，aefcab，故正确；adbc，aefcbf，aeadbc，cf2af，故正确，debm，bedm，四边形bmde是平行四边形，bmdebc，bmcm，cnnf，beac于点f，dmbe，dncf，dfdc，故正确；aefcbf，saefsabf，sabfs矩形abcd，saefs矩形abcd

5、，又s四边形cdefsacdsaefs矩形abcds矩形abcds矩形abcd，sabf：s四边形cdef2：5，故正确；故选：d【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键二、填空题3已知正方形defg的顶点f在正方形abcd的一边ad的延长线上，连结ag，ce交于点h，若，则ch的长为_.【答案】【解析】连接eg，与df交于n，设cd和ah交于m，证明angadm，得到，从而求出dm的长，再通过勾股定理算出am的长，通过证明adgcde得到dag=dce，从而说明admchm，得到，最后算出ch的长.【解答】解：连接eg，与df交于n，

6、设cd和ah交于m，gna=90°，dn=fn=en=gn，mad=gan，mda=gna=90°，angadm，df=eg=2,dn=ng=1，ad=ab=3，解得：dm=，mc=，am=，adm+mdg=edg+cdg，adg=edc，在adg和cde中，adgcde（sas），dag=dce，amd=cmh，adm=chm=90°，admchm，即，解得：ch=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出ch的长.4如图，已知四边形abc

7、d与四边形cfge都是矩形，点e在cd上，点h为ag的中点，则dh的长为_ 【答案】【解析】延长ge交ab于点m，作于首先求出ag、ah，由adn，得，求出dn、an，hn，在中利用勾股定理即可解决问题【解答】延长ge交ab于点m，作于n四边形abcd与四边形cfge都是矩形，四边形bfgm是矩形，点h为ag的中点，在中，故答案为【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题5如图，在abc中，ab5，d为边ab上动点，以cd为一边作正方形cdef，当点d从点b运动到点a时，点e运动的路径长为_【答案】5【解析】如图，

8、构造等腰rtcbg，cbg=90°，则由cgecbd，得ge=bd，即可求得点e运动的路径长【解答】如图：作gbbc于b，取gb=bc，当点d与点b重合时，则点e与点g重合，cbg=90°，cg=bc，gcb=45，四边形cdef是正方形，ce=dc，ecd=45，bcd+dcg =gce+dcg =45，bcd =gce，且，cgecbd，即ge=bd，bd=5，点e运动的路径长为ge=bd=5【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键6已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含

9、边界）的点处，的延长线交于点若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为_【答案】或【解析】根据得到点是的中点，再分两种情况讨论，如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形；利用相似三角形的性质即可求出ef；答案如图2当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点，得到，同即可求出ef【解答】解：，点是的中点，又点在正方形的对称轴上，分以下两种情况讨论：如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形，在正方形中，由折叠可知，设，则，解得，；如答案图2当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点

10、，则，同理可得，综上所述，折痕的长为或【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称变换，相似三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题7如图，在中，为边上一点，连接，作交于点，连接猜想线段与之间的数量关系，并证明【答案】，见解析【解析】过点作交于点，通过证明，可得，即在中，故，即【解答】解：证明：如图，过点作交于点，则，在中，即【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、正切的性质是解题的关键8已知中点分别在边、边上，连接点、点在直线同侧，连接且（1）点与点重合时，如图1，时，和的数量关系是 ；位置关系是 ； 如图2，时，猜

11、想和的关系，并说明理由；（2）时，如图3，时，若求的长度；如图4，时，点分别为和的中点，若，直接写出的最小值【答案】（1）ae=fc；aefc；ae=2fc；aefc；理由见解析；（2）fc = 6；mn的最小值为【解析】（1）利用sas证出abecdf，从而证出ae=fc，a=dcf，然后证出acf=90°即可得出结论；根据相似三角形的判定证出abecdf，从而得出a=dcf，然后证出acf=90°即可得出结论；（2）作gdbc于点d，交ac于点g；作ghab于点h，交ab于点h；dmac，利用sas证出edgfdc，从而得出eg=fc，令dc=a，bd=2a，根据三角形

12、的面积公式即可求出a值，从而求出结论；连接md和mc，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得dm=cm=，从而得出点m的运动轨迹为是cd的垂直平分线的一部分，作cd的垂直平分线mh交bc于h，然后证出四边形nmhg为平行四边形，从而求出结论【解答】（1）解：abc=edf=90°，abca=90°abeedc=cdfedcabe=cdfab=cb，de=dfabecdfae=fc，a=dcfdcfbca=90°acf=90°aefc故答案为：ae=fc；aefc；证明：ae=2fc；aefcdfdeedf=abc=90°abe=cdf&#

13、183;abecdfa=dcf，a+acb=90°dcf+acb=90°acf=90°；即fcae·（2）解：作gdbc于点d，交ac于点g；作ghab于点h，交ab于点h；dmac四边形bdgh为矩形db=hgabc=90°，a=hga =acb=45°dc=dgdedfedg=fdcedgfdc（sas）eg=fcbd=2cd令dc=a，bd=2aag=eg=，md=·解得，（舍）fc = eg=6，ab=10bc=5cd=由易证ecf=90°在rtedf和rtecf中，点m为ef的中点，连接md和mcdm=c

14、m=点m的运动轨迹为是cd的垂直平分线的一部分，作cd的垂直平分线mh交bc于h当nmmh时，mn的最小，易知mnbc，mhab，ch=取bc的中点g，连接ng，则cg=ng为abc的中位线ngabmhng四边形nmhg为平行四边形此时mn=gh=cgch=即mn的最小值为【点睛】本题主要考查几何变换综合题、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，解题关键是熟练掌握三角形的中位线的性质、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质9如图1，点o为正方形abcd 的中心，e为ab 边上一点，f为bc边上一点，ebf的周长等于 bc 的长.（1）求eof 的度数.（2）连接 oa、oc（

15、如图2）.求证：aoecfo.（3）若oe=of，求的值.【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）【解析】(1).在bc上取一点g，使得cg=be，连接ob、oc、og，然后证明obe和ocg全等，从而得出boecog，beocgo，oeog，根据三角形的周长得出ef=gf，从而得出foe和gof全等，得出eof的度数；(2)、连接oa，根据点o为正方形abcd的中心得出oae=fco=45°，结合boe=cog得出aeo=cof，从而得出三角形相似；(3)、根据相似得出线段比，根据相似比求出ae和co的关系，cf和ao的关系，从而得出答案【解答】解：(1).如图，在

16、bc上取一点g，使得cg=be，连接ob、oc、og.点o为正方形abcd的中心， ob=oc，boc90°，obeocg45°obeocg（sas）. boecog，beocgo，oeog.eog90°，bef的周长等于bc的长， efgf. eofgof（sss）.eofgof45°(2).连接oa 点o为正方形abcd的中心， oaefco45°boecog， aeoboeobeboe45°，cofcoggofcog45° aeocof，且oaefco aoecfo (3).aoecfo，即ae ×co，cf

17、ao÷oeof，aeco，cfao 点睛：本题主要考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，综合性非常强，难度较大熟练掌握正方形的性质是解决这个问题的关键10在和中，与在同一条直线上，点与点重合，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，若，求和的面积【答案】和的面积分别为2和【解析】过点d作dmbc于点m，根据30°所对直角边为斜边一半，分别求出bc、dc的长度，且证bdcaec，在dmc中，可得dm=1，即bdc的面积可求，且，即aec的面积可求【解答】解：如图所示，过点d作dmbc于点m，ac=2，又，在bac和dec中，由旋转性质知，bdca

18、ec，故，在dmc中，bdcaec，bdc和aec的面积分别为2和【点睛】本题主要考察了含30°角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明bdcaec，且相似三角形的面积之比为边长之比的平方11问题背景：如图（1），已知，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，与相交于点点在边上，求的值；拓展创新：如图（3），是内一点，直接写出的长 【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：【解析】问题背景：通过得到，再找到相等的角，从而可证；尝试应用：连接ce，通过可以证得，得到，然后去证，通过对应边成比例即可得到答案；拓展创新：在ad的右侧作dae=bac，ae

19、交bd延长线于e，连接ce，通过，然后利用对应边成比例即可得到答案【解答】问题背景：，bac=dae， ，bad+dac=cae+dac，bad=cae，；尝试应用：连接ce，bad+dac=cae+dac，bad=cae，由于，即，又，即，又，；拓展创新：如图，在ad的右侧作dae=bac，ae交bd延长线于e，连接ce，ade=bad+abd，abc=abd+cbd，ade=abc，又dae=bac，又dae=bac，bad=cae，设cd=x，在直角三角形bcd中，由于cbd=30°，【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键12在中，c

20、d是中线，一个以点d为顶点的45°角绕点d旋转，使角的两边分别与ac、bc的延长线相交，交点分别为点e、f，df与ae交于点m，de与bc交于点n（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，在绕点d旋转的过程中，试证明恒成立；（3）若，求dn的长【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到bcdacd45°，bceacf90°，于是得到dcedcf135°，根据全等三角形的性质即可的结论；（2）证得cdfced，根据相似三角形的性质得到，即cd2cecf；（3）如图，过d作dgbc于g，于是得到dgnecn90&#

21、176;，cgdg，当cd2，时，求得，再推出cengdn，根据相似三角形的性质得到，求出gn，再根据勾股定理即可得到结论【解答】（1）证明：，cd是中线，在与中，； （2）证明：，即 （3）如图，过d作于点g，则，当，时，由，得 在中， 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键13abe内接于o，c在劣弧ab上，连co交ab于d，连bo，cobe （1）如图1，求证：coab；（2）如图2，bo平分abe，求证：abbe；（3）如图3，在(2)条件下，点p在oc延长线上，连pb，etab于t，p2aet，

22、et18，op25，求o半径的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）o半径的长是【解析】（1）连接ce、oa，根据圆周角定理可得ceb=cob，根据cobaeb可得coa=cob，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论；（2）过点o作ofbe于f，根据角平分线的性质可得od=of，根据垂径定理可得bd=ab，bf=be，根据勾股定理可得bd=bf，进而可得结论；（3）根据等腰三角形的性质可得aeb=eab，根据直角三角形两锐角互余的性质可得dbo=aet，根据p2aet可得p=abe，进而可得pob=pbo，即可证明op=pb，由etb=pdb=90°可证明betp

23、bd，根据相似三角形的性质可求出bd的长，进而根据勾股定理即可求出pd的长，根据线段的和差关系可得od的长，利用勾股定理求出ob的长即可得答案【解答】（1）如图，连接ce、oa，cob和ceb分别是所对的圆心角和圆周角，ceb=cob，cobaeb，ceb=aeb，coa=cob，oa=ob，ocab（2）如图，过点o作ofbe于f，ob平分abe，odab，ofbe，od=of，bd=ab，bf=be，bd=，bf=，bd=bf，ab=be（3）ab=be，aeb=eab，cob=aeb，cob=bae，etab，ocab，bae+aet=cob+dbo，dbo=aet，ob平分abe，ab

24、e=2dbo=2aet，p=2aet，p=abe，aeb=obo，aeb=eab，pob=pbo，op=pb，etb=pdb=90°，betpbd，et=18，op=25，2bd2=18×25，解得：bd=15，（负值舍去）pd=20，od=op-pd=5，ob=，即o半径的长是【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相关定理是解题

25、关键14如图，四边形abcd和四边形aefg都是正方形，c，f，g三点在一直线上，连接af并延长交边cd于点m（1）求证：mfcmca；（2）求的值，（3）若dm1，cm2，求正方形aefg的边长【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）由正方形的性质得acd=afg=45°，进而根据对顶角的性质得cfm=acm，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明acfabe，由相似三角形的性质得出结果；（3）由已知条件求得正方形abcd的边长，进而由勾股定理求得am的长度，再由mfcmca，求得fm，进而求得正方形aefg的对角线

26、长，便可求得其边长【解答】（1）四边形abcd是正方形，四边形aefg是正方形，acd=afg=45°，cfm=afg，cfm=acm=45°，cmf=amc，mfcmca；（2）四边形abcd是正方形，abc=90°，bac=45°，ac=ab，同理可得af=，eaf=bac=45°，caf+cae=bae+cae=45°，caf=bae，acfabe，；（3）dm=1，cm=2，ad=cd=1+2=3，am=，mfcmca，即，fm=，af=amfm=，af=，即正方形aefg的边长为【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形

27、的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题15如图1，若点p是abc内一点，且有pbc=pca=pab，则称点p是abc的“等角点”（1）如图1，abc=70°，则apb= （2）如图2，在abc中，acb=90°，点p是abc的“等角点”， 若bac=45°求的值； 求tanpbc的值；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）结合题意，可得，结合abc=70°，即可计算得；（2）由bac=45°，acb=90°，可得 ,；结合点p是abc的“等角点”，得，从而得到，通过相似比即可得到答案；由（2

28、）可知，相似比可得cp和ap的关系，通过证明，得；将cp、ap关系式代入到三角函数，从而完成求解【解答】（1） pbc=pca=pababc=70°（2）bac=45°，acb=90°abc=45° , 点p是abc的“等角点”pbc =pab 由（2）得 acb=90° pbc=pca，即 【点睛】本题考查了相似三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、直角三角形、三角函数的性质，从而完成求解16如图，在中，ac8=90°，bac=a，点d在边ac上（不与点a、c重合）连接bd，点k为线段bd的中点，过点d作于点e，连

29、结ck，ek，ce，将ade绕点a顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)(1)如图1若a=45，则的形状为_；(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ade绕点a旋转，使得d，e，b三点共线，点k为线段bd的中点，如图2所示，求证：；(3)若三角形ade绕点a旋转至图3位置时，使得d，e，b三点共线，点k仍为线段bd的中点，请你直接写出be，ae，ck三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示） 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）be-ae=2ck；【解析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明ek=kc，ekc =90°即可；（2）在bd上截

30、取bg=de，连接cg，设ac交bf于q，结合等腰直角三角形的性质利用sas可证aecbgc，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证ecg是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得ck=ek=kg，等量代换可得结论.（3）在bd上截取bg=de，连接cg，设ac交be于q，根据等角的余角相等可得cae=cbg，由tan的表示可得，易证caecbg，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.【解答】（1）等腰直角三角形；理由：如图1中，a=45°，acb=90°，a=cba=45°，ca=cb，deab，deb=90°，dk=kb，ek=kb=d

31、k= bd，keb=kbe，ekd=kbe+keb=2kbe，dcb=90°，dk=kb，ck=kb=kd= bd，kcb=kbc，ek=kc，dkc=kbc+kcb=2kbc，ekc=ekd+dkc=2（kbe+kbc）=2abc=90°，eck是等腰直角三角形（2）证明：如图2中，在bd上截取bg=de，连接cg，设ac交bf于q=45°，deae，aed=90°，dae=45°，ade是等腰直角三角形，de=ae=bg，1+3=2+4=90°，1=2，3=4，ac=bc，aecbgc（sas），ce=cg，5=bcg，ecg=a

32、cb=90°，ecg是等腰直角三角形，kd=kb，de=bg，ke=kg，ck=ek=kg，beae= bebg=eg=ekkg =2ck（3）解：结论：be-aetan=2ck理由：如图3中，在bd上截取bg=de，连接cg，设ac交be于qdeae，acb=90°，cae+eqa=90°,cbg+cqb=90°eqa=cqb，cae=cbg，在rtacb中，tan=，在rtade中，tan= ， de=ae·tancaecbg，ace=bcg，ecg=acb=90°，kd=kb，de=bg，ke=kg，eg=2ck，bebg=eg

33、=2ck，bede=2ck，beaetan=2ck【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.17如图，o是abc的外接圆，ab为o的直径，过点a作ad平分bac交o于点d，过点d作bc的平行线分别交ac、ab的延长线于点e、f，dgab于点g，连接bd(1)求证：aeddgb；(2)求证：ef是o的切线；(3)若，oa4，求劣弧的长度(结果保留)【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）先证acb=adb=90°，再由平行得，由垂直得，再根据角度转换得，

34、即可证明aeddgb；（2）连接，证明，即可证明，从而解决本题；（3）先证，得到，再根据oa=4，然后求出，从而求出弧长.【解答】（1）ab为直径，acb=adb=90°，dgab，ad平分bac，ead=dag，（2）连接，ef是o的切线；（3），oa=4，ab=8，.【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆及相似三角形的性质定理是解决本题的关键.18如图1，抛物线ya（x+2）（x6）（a0）与x轴交于c，d两点（点c在点d的左边），与y轴负半轴交于点a（1）若acd的面积为16求抛物线解析式；s为线段od上一点，过s作x轴的垂线，交抛物线于点p，将线段sc，sp绕点s顺时针

35、旋转任意相同的角到sc1，sp1的位置，使点c，p的对应点c1，p1都在x轴上方，c1c与p1s交于点m，p1p与x轴交于点n求的最大值；（2）如图2，直线yx12a与x轴交于点b，点m在抛物线上，且满足mab75°的点m有且只有两个，求a的取值范围【答案】（1），t0时，最大值为2；（2）【解析】（1）由题意，令y=0，解得c（-2，0），d（6，0）得cd=8，令x=0，解得y=-12a，且a>0，a（0，-12a），即oa=12a，由sacd=48a=16，解得：a，所求抛物线的解析式为y(x+2)(x6)= x2x4；由于sp1p-sc1c=scc1，且msc=nsp1

36、mscnsp1得，设s（t，0）（0t6），则sp=(t+2)(t6)，sc=t+2，可得t=0时，最大值为2；（2）分两种情况讨论，由直线y=x-12a与x轴交于点b得b（12a，0），oa=ob=12a，oab=oba=45°，当点n在y轴的左侧时，此时mao=30°得直线am的解析式为：得点m的横坐标为得当点m在y轴的右侧时，过点b作x轴的垂线与中直线ae关于ab的对称直线交于点f，易证：ebafba，得baf=75°，bf=be=，fbo=90°，得直线af的解析式为：，点g横坐标为，点a关于抛物线对称轴x=2的对称点的坐标为：（4，-12a），

37、则，得，因此满足mab=75°的点m有且只有两个，则a的取值范围为：【解答】解：（1）由题意，令y0，解得x12，x26c（2，0），d（6，0）cd8令x0，解得y12a，且a0a（0，12a），即oa12asacd48a16，解得：所求抛物线的解析式为由题意知，sp1psc1cscc1，且mscnsp1mscnsp1设s（t，0）（0t6），则sp，sct+20t6t0时，最大值为2；（2）由题意，直线yx12a与x轴交于点b得b（12a，0），oaob12a，oaboba45°如图2当点m在y轴的左侧时，此时mao30°设直线am与x轴交于点e，则oe又a（

38、0，12a），直线am的解析式为：由得：解得：点m的横坐标为当点m在y轴的右侧时，过点b作x轴的垂线与中直线ae关于ab的对称直线交于点f，易证：ebafba，得baf75°，bfbe，fbo90°直线af的解析式为：由，解得：点g横坐标为，点a关于抛物线对称轴x2的对称点的坐标为：（4，12a），则，得，故要使满足mab75°的点m有且只有两个，则a的取值范围为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与其他函数图象相结合的问题，解题过程中利用相似三角形的判定与性质、方程组、全等三角形的判定及性质的知识，关键是结合图形找出相应的关系，贯穿了数形结合思想的应用19已知

39、，如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且，（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点是抛物线第一象限上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段长为，求与之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点作直线轴，在上取一点（点在第二象限），连接，使，连接并延长交轴于点，过点作于点，连接、若时，求值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）先令代入抛物线的解析式中求得与轴交点的坐标，根据可得的坐标，从而得的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图2，设，证明，列比例式可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，先得，则是等腰直角三角形，得，由，得，求得，证明是等腰直角三角形，及，则，代入可得的值，并根据（2）中的点只在第一象限进行取舍【解答】（1）如图1，当时，把，代入抛物线中得：解得：抛物线的解析式为；（2）如图2，设过作轴于；（3）如图3，连接，延长交轴于由（2）知：，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，不符合题意，舍去【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定定理与性质、平行线分线段成比例定理、三角形全等的判定定理与性质等知识点，本题较难的是（3），通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键20如图，函数yx2+bx+c的图象经过点a（m，0），b（0，n）两点，m，n分别是方程x2