信号处理 第2章 连续时间系统的时域分析(文正)

1、第二章第二章连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析目录目录连续系统的微分方程与转移算子连续系统的微分方程与转移算子零输入响应零输入响应 单位冲激响应单位冲激响应零状态响应零状态响应 零状态响应零状态响应卷积及其性质卷积及其性质一、连续系统的微分方程与转移算子一、连续系统的微分方程与转移算子 LTI LTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为： 建立并求解建立并求解线性微分方程线性微分方程 由于在其分析过程涉及的函数变量均为由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间时间t t，故称，故称为为时域分析法时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学。这种方法比较直观，物理概念

2、清楚，是学习各种变换域分析法的基础。习各种变换域分析法的基础。 1、连续系统的微分方程连续系统的微分方程例：如图电路，由电路的基本定律，有例：如图电路，由电路的基本定律，有e(t ) +u (t ) + C uc(t ) + -uR (t ) +i (t )()()(1)(tetRidiCdttdiLt 两边微分两边微分 ，得系统数学模型，得系统数学模型dttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(22此为一个此为一个二阶二阶系统系统5n n 阶线性时不变系统的数学模型阶线性时不变系统的数学模型)()(.)()()()(.)()(0111101111tebdttdebdttedbd

3、ttedbtradttdradttrdadttrdmmmmmmnnnnn其中，其中，r r( (t t) )为响应函数，为响应函数，e e( (t t) )为激励函数。为激励函数。阶次由独立的动态元件的个数决定。阶次由独立的动态元件的个数决定。n n 阶线性常微分方程阶线性常微分方程6分析连续时间系统的方法：列写方程，求解方程。分析连续时间系统的方法：列写方程，求解方程。 域）变换域法（频域、复频利用卷积积分法求解零状态可利用经典法求解零输入应零输入响应和零状态响特解）通解经典法解方程网络拓扑约束根据元件约束列写方程: (,:2 2、转移算子、转移算子（1 1）微分算子的定义）微分算子的定义

4、令：微分算子令：微分算子 pdtdnnnpdtd 积分算子积分算子 tpdt1微分方程：微分方程： dttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(22可写为：可写为： )()(1)()(2tpetiCtRpitiLp或简化为：或简化为： )()()1(2tpetiCRpLp（2）转移算子转移算子n n阶线性微分方程为：阶线性微分方程为： ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111即：即： ebpbpbpbrapapapmmmmnnn)()(01110111)()()()(tepNtrpD令令: : 0111)(apa

5、pappDnnn0111)(bpbpbpbpNmmmm)()()()(tepDpNtr定义：定义： 转移算子转移算子 )()()(pDpNpH于是系统方程可写成：于是系统方程可写成： )()()(tepHtrH H( (p p) )把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。)(pH)(te)()()(tepHtr例例如图所示电路，求响应分别为如图所示电路，求响应分别为 及及 时的转移算子时的转移算子 （1 1） 与与 的方程的方程)(ti)(tvL)(ti)(te)()()(tetRidttdiL)()()(tetRitLPiRLPpH1)(1

6、RLP 1)(te)()()(1tepHti（2 2） 与与 的方程的方程)(tvL)(te)()()(tedLvRtvLL)(1)(teLPRtvL)()()(tePtvLRtvLLLPRPH11)(2)(te)()()(2tepHtvLLPR11二、零输入响应二、零输入响应概念概念：外加激励信号为：外加激励信号为0 0，仅仅由系统的初始条件，仅仅由系统的初始条件( (状态状态) )所产生所产生的响应，记为的响应，记为零输入响应的求解需要以下几步：零输入响应的求解需要以下几步： (1) (1) 建立系统的数学模型；建立系统的数学模型； (2) (2) 列特征方程，求特征根；列特征方程，求特征

7、根； (3) (3) 确定零输入响应的模式；确定零输入响应的模式； (4) (4) 用初始条件确定待定系数。用初始条件确定待定系数。)(trzi零输入响应的计算零输入响应的计算零状态响应的计算零状态响应的计算LTI系统系统(Linear Time Invariant)(te)()()(tzsrtzirtr)0( , )0( , )0(rrr零输入响应的求解零输入响应的求解 n n阶微分方程阶微分方程 即：即：（1 1） 分解为单次根分解为单次根ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn01111011110)(te001111radtdradtrd

8、adtrdnnnnn0)()(trPD)(PD系统的自然频率系统的自然频率零输入响应零输入响应其中其中 由系统的初始状态决定。由系统的初始状态决定。（2 2） 分解为重根分解为重根0 )(2121tececectrtnttzin , ,21nccc)0( , ),0( ),0() 1( nrrr)(PD0)()()()(11nkkppppD)()()(111112210teCeCetCtCtCCtrnknktkkzi习2.4已知系统的转移算子及未加激励时的初始条件分别如下，求零输入响应及各自的自然频率解： （1）233)(2ppppH1)0(r1)0( r习2.4已知系统的转移算子及未加激励时

9、的初始条件分别如下，求零输入响应及各自的自然频率解： （3）1)0(r123)(2ppppH2)0( r三、零状态响应三、零状态响应零状态响应求解零状态响应求解 )(pH)(te?)(trzs无初始状态无初始状态基本信号基本信号基本响应基本响应分解分解叠加叠加2.42.42.52.52.62.62.72.7- -2.82.81 1、单位冲激响应、单位冲激响应)(te?)(trzs)(pH)(t)(th20（1 1）定义）定义 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 激励下产生的零状态响应称为系激励下产生的零状态响应称为系统的统的冲激响应冲激响应 。 系统在单位阶跃信号系统在单位阶跃信号 激励下产

10、生的零状态响应称为系激励下产生的零状态响应称为系统的统的阶跃响应阶跃响应 。)(t)(th)(t)(tr)(pH)(t)(th)(tr)(tdhtrt)()(dttdrth)()(dttdt)()(dtt)()( （2 2）冲激响应求解）冲激响应求解22nmn=mmbth )(23nm1110( )m nm nm nm nh tCpCpCC ()(1)10( )( )( )( )m nm nm nm nh tCtCtCt )()(tte)()(3tetrt例：某线性非时变系统，激励为例：某线性非时变系统，激励为时，零状态响应为时，零状态响应为，求系统的单位冲激响应。，求系统的单位冲激响应。 解

11、：解：)()(tte)()(3tetrt)()(tdttde)()(3 )()(3)()(2333ttetetetedttdrtttt习习2.152.15求取下列微分方程所描述的系统的冲击响应求取下列微分方程所描述的系统的冲击响应（5） )(5)(4)()(2)(3)(223322tetedtdtedtdtrtrdtdtrdtd)()54()()23(232tepptrpp237512354)(2223pppppppppH23121ppp)(3)(2)()()(2tetettthtt所以：所以：tdtete0)()()()()()()()(0thtedthetrtzs2 2、零状态响应、零状态

12、响应LTILTI系统系统)()()(thtetrzs )(te)(th结论结论只要知道了系统的单位冲激响应只要知道了系统的单位冲激响应 ，就可以求就可以求 得系统对任何得系统对任何 所产生的零状态响应所产生的零状态响应 )(th)(te)(trzs四、卷积及其性质四、卷积及其性质1 1、定义定义 已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数2 2、卷积求解方法、卷积求解方法 （1 1）图解法图解法。适用于较简单的函数形式。适用于较简单的函数形式。 （2 2）利用）利用定义式定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函

13、数，多项式函数等。效。如指数函数，多项式函数等。 （3 3）利用）利用卷积积分表卷积积分表计算（计算（P60P60表表2-12-1） （4 4）利用）利用卷积性质卷积性质。 以上常常结合起来使用。以上常常结合起来使用。dtfftftftf)()()()()(212128 dtfftg 21积分变量改为),()(11ftf)()()()(2222tffftf平移反摺)()(. 321 tff相相乘乘：dtff)(. )(. 421积分求面积：)(ttt时时延延对对 左移右移00tt1 1、换元、换元2 2、反摺平移、反摺平移29例例2-7 2-7 图解法图解法t02)(2tf2t01)(1tf1

14、101)(1f1102)(2f2f1换元后f2换元并反摺后t2)(2tf2t平移 dtfftf21301t0)()(21tff0)(tft2t01)(1f1)(2tf1t2t1)(1f1)(2tf111t) 1(2)(ttft2)(1f)(2tf1t2t1)(1f1)(2tf131t)3(2)(ttf2t2)(1f)(2tf13t0)()(21tff0)(tft2t01)(1f1)(2tf1 dtfftf21310( )* ( )( )()( )ttttddtt 201( )* ( )( )()( )2tttttddtt （3 3）卷积表）卷积表323 3、卷积的性质、卷积的性质（1 1）交换

15、律）交换律（2 2）结合律）结合律（3 3）分配律）分配律 )()()()(1221tftftftftf )()()()()()(321321tftftftftftftf )()()()()()()(3231321tftftftftftftftf34 + + r(t)r(t)e e(t)(t)e(t)h1(t)h2(t)h1(t)+h2(t)一个系统由若干一个系统由若干LTILTI系统系统的并联构成，则系统总的的并联构成，则系统总的单位冲激响应等于各子系单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应之和。统单位冲激响应之和。35一由若干一由若干LTILTI系统级联所构系统级联所构成，则个系统是系统总的单

16、成，则个系统是系统总的单位冲激响应等于各个位冲激响应等于各个LTILTI子子系统单位冲激响应的卷积系统单位冲激响应的卷积. . h h1 1(t) (t) h h2 2(t) (t) r r(t)(t)r r(t)(t)()(21thth)(te)(te例：由几个子系统组合成的系统如图所示，求：系统的单位冲激例：由几个子系统组合成的系统如图所示，求：系统的单位冲激响应响应)(th)(tr)(te)(1th)(2th)(3th)()()()()(321thtththth习习2.162.16线性系统由图所示的子系统组合而成。设子系统的冲击响应分别线性系统由图所示的子系统组合而成。设子系统的冲击响应

17、分别为为 ， 。求组合系统的冲激响应。求组合系统的冲激响应。 ) 1()(1tth) 3()()(2ttth解：解：则系统的冲激响应为：则系统的冲激响应为：38（4 4）微分性质）微分性质（5 5）积分性质）积分性质)()()()()(2121tfdxxfdxxftfdxxfttt（6 6）微积分性质）微积分性质)(*)()()()()(212121tftfxftfdtdtfdtddxxftt)()()()()()(212121tftfdtdtfdtdtftftfdtd39（7 7）延时性质）延时性质若 ，则 )()(thtetf)()(2121tthttetttf例：已知例：已知 ， ，计算

18、计算 ，并画，并画 图。图。解：解：)2()()(tttx)3()()(ttty)()()(tytxtf)(tf)5()5()2()2()3()3()()()()(tttttttttytxtf41线性系统的时域求解小结线性系统的时域求解小结n阶微分方程ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111njtjziteCtrj1)()()()()(tethtrzs)()()(trtrtrzszinjtjtethteCj1)()()(njtjtekthj1)()(系数由初始状态列方程组得到系数由初始状态列方程组得到42解：解：列电路微分方程列电路微分方程)()()(tetudttduRCcc代入数值代入数值)()()(tetudtt