复变函数论试卷

1、复变函数论试卷复变函数论试卷一一、 填空（30分）1. 将复数化为三角表示式，则 把它化为指数表示式，则 2. ，的辐角的主值为 3. 0是的 阶零点.4.是的阶零点，则是的 阶极点.5.已知为解析函数，则6. 方程的根为 ， ， 二、 简要回答下列各题（15分）1. 用复数去乘复数的几何意义是什么？2. 函数在解析有哪几个等价条件？3. 设函数在单连通区域内处处解析，且不为零，是内的任一简单闭曲线，问积分是否等于零，为什么？三、 计算下列积分（16分）1. ，是从点到点的有向直线段2. 四、（12分）求函数在圆环内的洛朗级数展开式.五、（12分）证明方程在单位圆内及其上无解.六、（15分）

2、求映射，把带形区域共形映射成单位圆，且把映射成，把映射成.复变函数试卷二一、 填空题（20分）1. 2是 的一个平方根2. 设，则， 3. 若，则满足条件 4. ， 5. 设，则 6. 设变换为复常数，则称此变换为 变换，它是由 等三个变换复合而成.7. 幂级数的收敛半径 8.函数在处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为 9.变换将区域变换成区域 二、 判断下列命题之真伪（20分）1.在全平面上任意阶可微. 2. 若函数在有界区域内有解析，且在其中有无穷多个零点，则在内恒为零. （ ）3. 设扩充复平面上的点时函数的可去奇点，则.4. 若是区域内的保形变换，则在内单叶解析且保角.5. 若函数在区域

3、内解析，则，其中是内的任意一条围线.6. 设在区域内可导，则在内，7. 设函数在点解析，则总存在，在内能展成幂级数.8. 非常数的整函数必为无界函数.9. 设在区域内解析，则在内连续.10. 若函数在点可导，则在点解析.三、计算下列各题（24分）1. 求极限2. 求 ，其中是下半圆周，起点，终点3. 求的立方根4. 求 5. 求在及的残数6. 求四、（16分）1. 叙述儒歇定理2. 证明方程在单位圆内有根五、求下列变换（20分）1. 求将对应变成的线性变换2. 求出将圆变为半平面的保形变换，使得圆心变到4，而圆周上的点变到复变函数试卷三一、 填空题（45分）1. ，复数的模为 2. 设，则 3

4、. 设，则 4. 是周期函数，其基本周期为 5. 如果函数在区域内满足条件： ，则称为区域内的解析函数6. 设是连接与的直线段，则 7. 设圆周，则 8. 级数的收敛半径为 ，级数的收敛半径为 9. 为函数的 级零点10. 叙述最大模原理： 11. 设，则为的 级极点，为的 级极点12. 设，则在点处的旋转角 二、 判断下列命题之真伪（15分）1. 函数在平面上处处不解析 2.是整函数3.若函数在区域内解析，是内任一条围线，则4.设函数在点解析，则总存在，在内能展成幂级数2. 若函数在点可导，则在点解析三、 求解下列各题（20分）1. 求积分 2. 求积分3. 求积分4. 试将函数按的幂展开，

5、并指出其收敛范围5. 求将对应变成的线性变换四、证明题（20分）1. 叙述代数学基本定理试用复分析方法证明代数学基本定理2. 证明方程在单位圆内有根复变函数试卷四一、 填空题（50分）1. 已知，则 ， ， 2. 3. 设，则 4. 的零点为 ，的零点为 5. ， 6. 函数在区域内解析的充要条件是 7. 8 幂级数 的收敛半径为 9 是函数的 级零点10. 叙述最大模原理： 11.函数在平面内有 个奇点，它们是 12. 为函数的 级极点13. 方程在单位圆内有 个根14. 设，则在处的旋转角为 伸缩率为 15. 线性变换的逆变换为 16. 变换将平面上区域变换为平面上的区域： 二、判断题（1

6、5分）1. 设在区域内可导，则在内解析2. 互为共轭的两复数具有相同的模3. 复数的充要条件是4. 设在区域内解析，为内任一闭曲线，则5. 和都是平面上的有界函数三、计算下列各题（15分）1. 设，求在内的泰勒展式2. 求积分 3.求将对应地变成的线性变换四、证明题（20分）1. 证明函数在平面上处处不解析2. 设为的级零点，证明：必为函数的一级极点，并且复变函数试卷五一、 填空题（18分）1. 的所有值为： 2. 3. 4. 设，则 5 令，则 6. 线性变换在扩充平面上有下列特性，请你完整地予以叙述 保形性： 保交比性： 保圆周性： 保对称性： 7. 将平面上的直线变换为平面上的曲线 二、

7、判断题（10分）下列断语如果正确则打“ ”，否则打“×”1. 如果函数在点处解析，则存在，使在内可展成泰勒级数，且展式唯一 2. 设是平面上的一点，若为函数的可去奇点，则（ ）3. 如果函数在某有界区域内解析，且在内有一列零点，则在内恒为零 4. 和都是平面上的有界整函数 5. 若函数在区域内解析，则.其中是内的任意一条围线 三、解下列各题（24分）1. 求的值，其中是上半单位圆周，起点为，终点为2. 求函数在的留数3. 计算积分4. 将函数在处展开成幂级数，并求其收敛半径四、证明题（24分）1. 试证：在原点解析，且在处取下列值的函数是不存在的： 2. 试证：的根全在内五、（12分

8、）求将对应地变成的线性变换六、（12分）求出将圆变成半平面的保形变换，使得圆心变到4，而圆周上的点变到变到复变函数试卷六一、填空题（30分） 1已知z=1i，则arg z= （<arg z），| z |= , = 2变换W=Z3将Z平面上区域D：0< arg z <变换为W平面上的区域G： 3Ln（1）= , ii= , Arctg(2i) = 4函数f（z）在区域D内解析的充要条件是下列条件之一（1） （2） （3） （4） 5幂级数zz4z9的收敛半径为 6在原点解析，而在z= （n=1，2，）处取值为 f()=的函数为 7函数f（z）=z2（）的零点是 ，它是 级的 二

9、、判断题（10分）1 设f（z）在区域D内可导，则f（z）在D内解析 （ ）2 设f（z）在区域D内解析，C是D内任一闭曲线，则f（z）dz=0 3 Sinz和cosz都是z平面上的有界函数 （ ）4 f（z）=uiv在区域D内解析，则u是v的共轭调和函数 5 f（z）=| z |2在z平面上处处不解析 三、求下列积分（15分）1 I= ，其中c是连结o到1i的直线段2 I= 3 I= 四、（12分）已知u=x3+6x2y-3xy2-2y3,求解析函数f(z)=u+iv使合条件f（0）0 五、（12分）将函数f(z)=(a,b为复数，ab0)展开为z的幂级数，并指出展式成立的范围 ， 六、（1

10、2分）叙述并证明代数学基本定理七、（9分）设f（z）=u(x·y)+iv(x·y)在区域内解析，试证在D内，复变函数试卷七一填空题（20分） 1已知z1I，则argz (<arg z)，| z |= ，= 2变换W=Z3将z平面上的区域D变换为W平面上的区域G： ，其中D： 0< arg z < 3 sin2zcos2z1在直线zx，(y=0)上成立，则由 定理，sin2zcos2z1 在全平面上也成立 4设f(z)=2z4z311z21，f(z)在| z |<2内有 个零点，f(z)在 2| z |<3 内有 个零点，f(z)在3| z |&

11、lt;内有 零点，f(z)在z1处的旋转角为 ，伸缩率为 。 5幂级数zz4z9的收敛半径为 6设zx y，w，则 ，Imz 7设f(z)在z0的去心邻域内的罗朗展式为f(z)，则 8叙述解析函数的最大模原理 9在原点解析，而在z（n=1，2，）处取值为 f()=的函数为 二判断题（20分）1设a是z平面上一点，a为函数f(z)的可去奇点，则 （ ）2如果函数f(z)在某有界区域D内解析，且在D内有一列零点，则f(z)在D内恒为零 （ ）3如果f(z)=u(x·y)+iv(x·y)中的u(x·y)与v(x·y)在区域D内满足CR条件，则f(z)在区域D内

12、解析 （ ）4设f(z)在区域内解析，C是D内任一曲线，则f（z）dz=0 （ ）5设函数 f(z)在点a（）处解析，则总存在R>0，在|za|<R内 f(z)能展幂级数 （ ）6非常数的整函数必为无界函数 （ ）7设f(z)在区域D内单线解析，则f(z)在D内必保形 （ ）8sinz和cosz都是z平面上的有界整函数 （ ）9若函数 f(z)在a点可导，则f(z)在a点解析 （ ）10设f(z)沿围线C的积分为零，则C所包围的区域D为单连通区域 三计算下列各题（20分）1. 求极限2. 求积分I，其中C为0到1i的直线段3.求积分I，其中C：| z | 24. 求积分I四（10分

13、）叙述代数学基本定理并利用复变函数论的方法证明五（10分）试证明在线性变换下，四点的交比不变六（20分）1求将上半z平面保形变换成上半w平面的线性变换wL(z) ，使合条件L(i)1i，L(0)02求将对应变成的线性变换复变函数试卷八一填空题（40分）1设z22i，则 | z |= arg z= 2 3设f(z)ex（cosyisiny），则f (z)= 4sinz的零点为 ，cosz的零点为 5. 叙述柯西积分定理 6. 幂级数的收敛半径R ，幂级数1z2z4z9的收敛半径R 7. z0为函数f(z)zsinz的 级零点， z是函数f(z)sinz1的 级零点8. 方程z85z52z10在单

14、位圆内有 个根，方程z45z10在单位圆内有 个根9. 设f(z)z22z，则f(z)在z12i处的旋转角为 ，伸缩率为 10线性变换w，adbc0，可分解为下述两种简单类型变换的复合（） （） 二判断题（20分）1互为共轭的复数函数具有相同的模 （ ） 2 复数z0的充要条件是| z |=0 （ ）3复数函数 f(z)在z平面上处处不可微 （ ）4复指数函数ez是以2为基本周期的周期函数， 在复数域内有|sinz| 1 （ ）5设f(z)在区域D内解析，C为D内任一围线，则0 （ ） 6有界整函数f(z)必为常数 （ ）7如果复函数级数收敛，则必有0 （ ）8设a为函数f(z)的有限可去奇点

15、，则0 （ ）9如果f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点解析 （ ）三计算题（20分）1 计算积分I ，其中C表示以a为心，为半径的圆周2 计算积分I3 试将函数f(z)按z1的幂展开，并指出其收敛范围4 求将2，i，2对应的变成1，i，1的线性变换四证明题（20分）1设z1z2是两个复数，试证明，|z1+z2|2=| z1|2+| z2|2+2Re()2设f(z)（z1）（z4），C：| z |=3，试验证辐角定理复变函数试卷九一、填空题：（30分）（共15个空格，每格2分）1. 设，则_ ，_ _ ，_ 2. 的零点为 _ ,的零点为_ 3. _ , _ . _ , _ 5. 幂级数的

16、收敛半径为 _ 6. 函数在的幂级数展开式为 _ ,其收敛半径为_ 7. 变换将区域 变成区域_ 8.变换在处的旋转角为_ ,伸缩率为_二、判断下列命题之真伪：(15分) （共5小题，每小题3分）1函数在平面上处处不解析( )2设在区域D内解析，是内任一围线,则 ( )3若函数 在点可导，则在点解析 ( )4设是平面上的一点，若为的可去奇点,则( ) 5和都是平面上的有界整函数( )三、解下列各题：(20分)求函数 在，的留数计算积分求的值,其中是上半单位圆周，起点为，终点为z=1将函数在处展开成幂级数，并求其收敛半径四、证明题：(20分)1试证：在原点解析，且在处取下列值的函数是不存在的：2

17、试证：的根全在内五、(15分)求一个把角形变换成单位圆的保形变换复变函数试卷十一、填空题（30分）（共15个空格，每格2分）1. 2是 的一个平方根2. 设，则， _,=_.3. 设变换为复常数，则称此变换为 变换，它是由 _等三个变换复合而成.4. 幂级数的收敛半径 5.函数在处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为 6.变换将区域变换成区域 7.点关于圆周=1的对称点是_.关于圆周的对称点是_.8.设，则在处的旋转角为 伸缩率为 .二、断下列命题之真伪（20分）（共10小题，每题2分）1.在全平面上任意阶可微. ( ) 2. 若函数在有界区域内解析且在其中有无穷多个零点，则在内恒为零.( )3.

18、 设扩充复平面上的点是函数的可去奇点，则. ( )4. 若是区域内的保形变换，则在内单叶解析且保角. ( )5.若函数在区域内解析，则，其中是内的任意一条围线. ( )6. 设在区域内可导，则在内，. ( )7. 设函数在点解析，则总存在，在内能展成幂级数. ( )8. 非常数的整函数必为无界函数. ( )9. 设在区域内解析，则在内连续. ( )10. 若函数在点可导，则在点解析. ( )三、计算下列各题（24分）（共4小题，每题6分）1. 求极限.2. 求 ，其中c是下半圆周，起点，终点.3. 求的立方根.4. 求 . 四、（16分）（共2小题，每题8分）1. 叙述儒歇定理2. 证明方程在

19、单位圆内有根五、求下列变换:（10分）将对应变成的线性变换.复变函数试卷十一一、填空题（32分）（共16个空格，每格2分）1. 已知，则 ， ， .2. 的零点为 ，的零点为 .3. ， .4 幂级数 的收敛半径为 .5 是函数的 级零点.6.函数在平面内有 个奇点，它们是 .7. 为函数的 级极点.8. 设，则在处的旋转角为 伸缩率为 .9. 线性变换的逆变换为 .10. 变换将平面上区域变换为平面上的区域： .二、判断题（12分）（共4小题，每题3分）1. 设在区域内可导，则在内解析. ( )2. 复数的充要条件是. ( )3. 设在区域内解析，为内任一闭曲线，则. 4. 和都是平面上的有界函数 . 三、计算下列各题（32分）（共4小题，每题8分）1. 设，求在内的泰勒展式.2. 求积分.3求 4求将对应地变成的线性变换.四、证明题（24分）（共2小题，每题12分）1. 证明函数在平面上处处不解析.2. 设为的级零点，证明：必为函数的一级极点，并且.复变函数试卷十二一、 填空题（20分）（共10个空格，每格2分） 1已知，则argz (<arg z)，| z |= ，= . 2设f(z)=2z4z311z21，f(z)在| z |<2内有 个零